다음 등식이 [eqn: x]에 대한 항등식이 되도록 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 값을 구하시오.

(1) [eqn: (3a-b)x ^{2} +(6-b)x+(c+3)=0]

(2) [eqn: 2x ^{2} +3x-4=a(x-1) ^{2} +b(x-1)+c]

다음을 구하시오.

(1) 다항식 [eqn: -x ^{3} +4x ^{2} -2x+5]를 일차식 [eqn: x-3]으로 나누었을 때의 나머지

(2) 다항식 [eqn: 16x ^{3} -4x ^{2} +4x+3]을 일차식 [eqn: 2x-1]으로 나누었을 때의 나머지

다음 식을 인수분해 하시오.

(1) [eqn: x ^{2} +y ^{2} +9z ^{2} +2xy+6yz+6zx]

(2) [eqn: 27a^3 +27a^2 +9a+1]

(3) [eqn: a ^{3} +8b ^{3}]

(4) [eqn: x^4 +15x^2 -16]

다항식 [eqn: x ^{3} +9x ^{2} +15x-25]를 인수분해 하면 [eqn: (x-a)(bx+c) ^{2}]일 때, 세 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 값을 각각 구하시오.

다항식 [eqn: P(x)=x ^{3} +ax ^{2} +a+3]을 [eqn: x-2]로 나누었을 때, 나머지가 [eqn: 16]이다. 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

다음 식을 인수분해 하시오.

교과서 밀착 문제

동아출판(고호경 외)

※ 교과서 속 문제를 재구성하여 단원별로 나열하였습니다.

Ⅰ-2. 나머지 정리와 인수분해

(1) [eqn: (x ^{2} +2x+2)(x ^{2} +2x-4)+9]

(2) [eqn: x ^{3} -6x ^{2} +11x-6]

다항식 [eqn: x ^{3} +ax ^{2} -bx+3]을 [eqn: x+1]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: 4]이고, [eqn: x+3]으로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: 0]일 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 각각 구하시오.

다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: x ^{2} +2]로 나누었을 때의 몫은 [eqn: x-1]이고, 나머지는 [eqn: ax+b]이다. [eqn: P(2)=0], [eqn: P(3)=0]일 때, [eqn: P(0)]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: x ^{2} -1]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: 2x+3]이고, [eqn: x ^{2} -9]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: -x+8]이다. 다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: x ^{2} -2x-3]으로 나누었을 때의 나머지를 구하시오.

다음은 다항식 [eqn: x ^{4} -22x ^{2} +9]를 인수분해 하는 과정이다. (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 구하시오.

Ⅰ-2. 나머지 정리와 인수분해	동아출판(고호경 외)

[eqn: x ^{4} -22x ^{2} +9][eqn: =(x ^{4} -6x ^{2} +9)-] (가)

[eqn: =(] (나) [eqn: ) ^{2} -(4x) ^{2}]

[eqn: =(x ^{2} +4x-3)(x ^{2} -] (다) [eqn: -3)]

인수분해를 이용하여 [eqn: {77 ^{3} +1} over {77 ^{2} -77+1}]을 계산하시오.

다음 그림에서 선으로 연결되어 있는 다항식에 대하여 위의 두 다항식의 곱은 그 아래의 다항식과 같다. 모든 항의 계수가 자연수인 두 일차식 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 [eqn: A+B]를 계산하시오.

[eqn: A]			[eqn: x-1]					[eqn: B]
	[eqn: 2x ^{4} +7x ^{3} -5x ^{2} -19x+15]

[eqn: x^3]의 계수가 [eqn: 1]인 삼차식 [eqn: P(x)]에 대하여 [eqn: P(1)=P(0)=P(-1)=4]일 때, [eqn: P(x)]를 [eqn: x ^{2} +x-2]로 나누었을 때의 나머지를 구하시오.

다항식 [eqn: x ^{3} -x ^{2} -2x-a]가 [eqn: x-2]를 인수로 가질 때, 이 다항식을 인수분해 하시오.

(단, [eqn: a]는 상수이다.)

인수분해를 이용하여 [eqn: sqrt {14 ^{3} +2 ^{3} +3 TIMES 16 TIMES 28}]을 계산하시오.

등식 [eqn: x ^{4} -x ^{2} -1=a _{4} (x+1) ^{4} +a _{3} (x+1) ^{3} +a _{2} (x+1) ^{2}# ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+a _{1} LEFT ( x+1 RIGHT ) +a _{0}]

이 [eqn: x]에 대한 항등식일 때, [eqn: a _{4} +a _{2} +a _{0}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a _{0}], [eqn: a _{1}], [eqn: a _{2}], [eqn: a _{3}], [eqn: a _{4}]는 상수이다.)

삼차식 [eqn: P(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: P(0)=-9]

(나) [eqn: P(x-1)=P(x)-3x ^{2} +15x-22]

[eqn: P(x)]를 [eqn: x ^{2} -3x+2]로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: R(x)]라고 할 때, [eqn: R(-1)]의 값을 구하시오.

단계1) [eqn: P(1)], [eqn: P(2)]의 값을 각각 구하시오.

단계2) 나머지 정리를 이용하여 [eqn: R(x)]를 구하시오.

단계3) [eqn: R(-1)]의 값을 구하시오.

다항식 [eqn: (x-1)(x+3)(x+4)(x+8)+k]가 [eqn: x]에 대한 이차식의 제곱으로 인수분해 될 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

단계1) 다항식 [eqn: (x-1)(x+3)(x+4)(x+8)+k]를 [eqn: X ^{2} +aX+b]꼴로 변형하시오. (단, [eqn: X]는 상수항이 [eqn: 0]인 이차식이고, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

단계2) 단계1)의 [eqn: X ^{2} +aX+b]가 완전제곱식이 되도록 하는 상수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

두 다항식 [eqn: P(x)], [eqn: Q(x)]에 대하여 [eqn: P(x)+Q(x)]를 [eqn: x-1]로 나누었을 때, 나머지는 [eqn: 3]이고, [eqn: LEFT { P(x) RIGHT } ^{3} + LEFT { Q(x) RIGHT } ^{3}]을 [eqn: x-1]로 나누었을 때, 나머지는 [eqn: 18]이다. [eqn: P(x)Q(x)]를 [eqn: x-1]로 나누었을 때, 나머지를 구하시오.

다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: x ^{2} +1]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: x-2]이다. 다항식 [eqn: x left{P(x)right}^2]을 [eqn: x ^{2} +1]로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: R(x)]일 때, [eqn: R(1)]의 값을 구하시오.

두 정수 [eqn: a], [eqn: b]와 [eqn: 18] 이하의 자연수 [eqn: n]에 대하여 다항식 [eqn: x ^{3} -(1-2ab)x-n]이 [eqn: (x+1)(x-a)(x-2b)]로 인수분해 되도록 하는 모든 [eqn: n]의 값의 합을 구하시오.

다항식 [eqn: P(x)=x ^{3} -6x ^{2} +3x+6]을 [eqn: P(x)=a(x-1) ^{3} +b(x-1) ^{2} +c(x-1)+d] 꼴로 나타내고, 이를 이용하여 [eqn: P(11)]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]는 상수이다.)

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 두 다항식 [eqn: P(x)], [eqn: Q(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: P(x)-Q(x)=k] (단, [eqn: k]는 상수)

(나) [eqn: P(x)Q(x)]

[eqn: =x(x+1)(x+2)(x+3)-8]

[eqn: P(0)<Q(0)]일 때, [eqn: P(2)+Q(1)]의 값을 구하시오.