(답)  (1) [eqn: a=2], [eqn: b=6], [eqn: c=-3]
(2) [eqn: a=2], [eqn: b=7], [eqn: c=1]

(답) (1) [eqn: 8] (2) [eqn: 6]

(답) (1) [eqn: (x+y+3z) ^{2}] (2) [eqn: (3a+1)^3]

(3) [eqn: (a+2b)(a ^{2} -2ab+4b ^{2} )]

(4) [eqn: (x+1)(x-1)(x^2 + 16)]

(답) [eqn: a=1], [eqn: b=1], [eqn: c=5]

(답) [eqn: 1]

(답) (1) [eqn: (x^2}+2x-1)^2]

(2) [eqn: (x-1)(x-2)(x-3)]

(답) [eqn: a=3], [eqn: b=-1]

(답) [eqn: 24]

(답) [eqn: x+2]

(풀이)

[eqn: P(x)]를 [eqn: x ^{2} -2x-3]으로 나누었을 때 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: ax +b`]([eqn: a], [eqn: b]는 상수)라고 하면

[eqn: P(x)=(x+1)(x-3)Q(x)+ax+b]

[eqn: P(-1)=1], [eqn: P(3)=5]이므로

[eqn: -a+b =1], [eqn: 3a+b=5]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a=1], [eqn: b=2]

따라서 구하는 나머지는 [eqn: x+2]

정답과 해설

동아출판(고호경 외)

Ⅰ-2. 나머지정리와 인수분해

(답) (가) [eqn: 16x ^{2}] (나) [eqn: x ^{2} -3] (다) [eqn: 4x]

(답) [eqn: 78]

(풀이)

[eqn: 77 ^{3} +1=(77+1)(77 ^{2} -77+1)]이므로

[eqn: {77 ^{3} +1} over {77 ^{2} -77+1} = {(77+1)(77 ^{2} -77+1)} over {77 ^{2} -77+1}]

[eqn: =77+1=78]

(답) [eqn: 3x+8]

(답) [eqn: 3]

(답) [eqn: x(x-2)(x+1)]

(답) [eqn: 64]

(답) [eqn: 5]

(풀이)

주어진 등식의 양변에 [eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: -1=a _{4} +a _{3} +a _{2} +a _{1} +a _{0}]	……㉠

등식의 양변에 [eqn: x=-2]를 대입하면

[eqn: 11=a _{4} -a _{3} +a _{2} -a _{1} +a _{0}]	……㉡

㉠+㉡을 하면

[eqn: 2(a _{4} +a _{2} +a _{0} )=10]

정답과 해설

동아출판(고호경 외)

Ⅰ-2. 나머지 정리와 인수분해

[eqn: therefore] [eqn: a _{4} +a _{2} +a _{0} =5]

(답) 단계1) [eqn: 1,~5]  단계2) [eqn: 4x-3]  단계3) [eqn: -7]

Ⅰ-2. 나머지 정리와 인수분해	동아출판(고호경 외)

(풀이)

[eqn: P(x-1)=P(x)-3x ^{2} +15x-22]에서

[eqn: P(0)=P(1)-10]

[eqn: P(1)=P(2)-4]

이때 [eqn: P(0)=-9]이므로 [eqn: P(1)=1], [eqn: P(2)=5]

[eqn: P(x)]를 [eqn: x ^{2} -3x+2]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: R(x)=ax+b]([eqn: a], [eqn: b]는 상수)라고 하면

[eqn: P(x)=(x ^{2} -3x+2)Q(x)+ax+b]

[eqn: =(x-1)(x-2)Q(x)+ax+b]

[eqn: P(1)=1]이므로 [eqn: a+b=1]	……㉠

[eqn: P(2)=5]이므로 [eqn: 2a+b=5]	……㉡

㉠, ㉡을 연립하면 풀면 [eqn: a=4], [eqn: b=-3]

따라서 [eqn: R(x)=4x-3]

[eqn: THEREFORE] [eqn: R(-1)=-7]

(답) [eqn: 100]

(풀이)

[eqn: (x-1)(x+3)(x+4)(x+8)+k]

[eqn: =(x-1)(x+8)(x+3)(x+4)+k]

[eqn: =(x ^{2} +7x-8)(x ^{2} +7x+12)+k]

[eqn: x ^{2} +7x=X]로 놓으면 주어진 식은

[eqn: (X-8)(X+12)+k][eqn: =X ^{2} +4X-96+k]

이 식이 완전제곱식이 되려면 [eqn: -96+k=4]이어야 하므로 [eqn: k=100]

(답) [eqn: 1]

(풀이)

[eqn: P(1)+Q(1)=3], [eqn: LEFT { P(1) RIGHT } ^{3} + LEFT { Q(1) RIGHT } ^{3} =18]이고,

[eqn: LEFT { P(1) RIGHT } ^{3} + LEFT { Q(1) RIGHT } ^{3}]

[eqn: = LEFT { P(1)+Q(1) RIGHT } ^{3} -3P(1)Q(1) LEFT { P(1)+Q(1) RIGHT }]

즉, [eqn: 18=27-9P(1)Q(1)]이므로 [eqn: P(1)Q(1)=1]

따라서 구하는 나머지는 [eqn: 1]이다.

(답) [eqn: 7]

(풀이)

[eqn: P(x)]를 [eqn: x ^{2} +1]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)]라고 하면

[eqn: P(x)=(x ^{2} +1)Q(x)+x-2]

[eqn: (x ^{2} +1)Q(x)=A(x)]라고 하면	……㉠

[eqn: x LEFT { P(x) RIGHT } ^{2} =x LEFT { A(x)+x-2 RIGHT } ^{2}]

[eqn: =A(x)left{xA(x)+2x(x-2)right}+x(x-2) ^{2}]

이때 ㉠에서 [eqn: A(x)]는 [eqn: x ^{2} +1]로 나누어떨어지므로 [eqn: R(x)]는 [eqn: x(x-2) ^{2}]을 [eqn: x ^{2} +1]로 나누었을 때의 나머지이다.[eqn: x(x-2) ^{2} =x ^{3} -4x ^{2} +4x=(x ^{2} +1)(x-4)+3x+4]

따라서 [eqn: R(x)=3x+4]이므로

[eqn: R(1)][eqn: =7]

(답) [eqn: 20]

(풀이)

[eqn: x ^{3} -(1-2ab)x-n][eqn: =x ^{3} +(1-a-2b)x ^{2} -(a-2ab+2b)x+2ab]

에서 양변의 동류항의 계수를 비교하면

[eqn: a+2b=1], [eqn: n=-2ab]

이때 [eqn: n]이 [eqn: 18] 이하의 자연수이므로

[eqn: -2ab LEQ 18], [eqn: ab GEQ -9]

즉, [eqn: a+2b=1], [eqn: ab GEQ -9]를 모두 만족시키는 두 정수 [eqn: a], [eqn: b]의 순서쌍 [eqn: (a,~b)]를 구하면

[eqn: (3,~-1)], [eqn: (1,~0)], [eqn: (-1,~1)], [eqn: (-3,~2)]이다.

차례대로 [eqn: -2ab]의 값을 구하면 [eqn: 6,~0,~2,~12]이므로 자연수 [eqn: n]의 값이 될 수 있는 수는 [eqn: 2,~6,~12]이다.

따라서 모든 [eqn: n]의 값의 합은 [eqn: 2+6+12=20]

(답) [eqn: 644]

(풀이)

[eqn: P(x)=(x-1)(x ^{2} -5x-2)+4]

[eqn: =(x-1)left{(x-1)(x-4)-6right}+4]

[eqn: =(x-1)[(x-1) LEFT { (x-1)-3 RIGHT } -6]+4]

[eqn: =(x-1) ^{3}-3(x-1) ^{2} -6(x-1)+4]

……(가)

[eqn: therefore] [eqn: P(11)=10 ^{3} -3times10 ^{2} -6times10+4]

[eqn: =644]	……(나)

단계	채점 요소	배점률
(가)	다항식 [eqn: P LEFT ( x RIGHT )]를 주어진 식의 꼴로 나타내기	[eqn: 60%]
(나)	[eqn: P(11)]의 값 구하기	[eqn: 40%]

(답) [eqn: 16]

(풀이)

[eqn: P(x)Q(x)]가 사차식이고, [eqn: P(x)-Q(x)=k]([eqn: k]는 상수)이므로 두 다항식 [eqn: P(x)], [eqn: Q(x)]는 모두 최고차항의 계수가 1인 이차식이어야 한다.

……(가)

[eqn: x(x+1)(x+2)(x+3)-8]

[eqn: =(x ^{2} +3x)(x ^{2} +3x+2)-8]

[eqn: =(x ^{2} +3x) ^{2} +2(x ^{2} +3x)-8][eqn: =(x ^{2} +3x-2)(x ^{2} +3x+4)]

이때 [eqn: P(0)<Q(0)]이므로

[eqn: P(x)=x ^{2} +3x-2,~Q(x)=x ^{2} +3x+4]  ……(나)

[eqn: therefore] [eqn: P(2)+Q(1)=8+8=16]	……(다)

단계	채점 요소	배점률
(가)	두 다항식 [eqn: P(x)], [eqn: Q(x)]의 최고차항의 계수와 차수 정하기	[eqn: 30%]
(나)	두 다항식 [eqn: P(x)], [eqn: Q(x)]의 식 구하기	[eqn: 60%]
(다)	[eqn: P(2)+Q(1)]의 값 구하기	[eqn: 10%]