(답) (1) [eqn: a=2], [eqn: b=4], [eqn: c=1]
(2) [eqn: a=3], [eqn: b=1], [eqn: c=0]

정답과 해설

미래엔(황선욱 외)

Ⅰ-2. 나머지정리와 인수분해

(답) (1) [eqn: -8] (2) [eqn: -5]

(답) [eqn: 4]

(답) [eqn: 12]

(답) (1) [eqn: (a+2b+c) ^{2}]
(2) [eqn: (x-2)(x ^{2} +2x+4)]
(3) [eqn: (x+y+4)(x+y-2)]
(4) [eqn: (x-1)(x ^{2} +10x-1)]

(답) [eqn: 3]

(답)  [eqn: -6x-3]

(풀이)

[eqn: f(x)]를 [eqn: 3x ^{2} +8x-3], 즉 [eqn: (x+3)(3x-1)]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: ax+b]라 하면

[eqn: f(x)=(x+3)(3x-1)Q(x)+ax+b]    ……(가)

나머지 정리에 의하여

[eqn: f(-3)=15], [eqn: f LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) =-5]이므로

[eqn: -3a+b=15], [eqn: {1} over {3} a+b=-5]            ……(나)

이 두 식을 연립하여 풀면 [eqn: a=-6], [eqn: b=-3]

따라서 구하는 나머지는 [eqn: -6x-3]	……(다)

단계	채점 요소	배점률
(가)	다항식 [eqn: f(x)]를 몫과 나머지로 나타내기	[eqn: 30%]
(나)	[eqn: f(-3)=15], [eqn: f LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) =-5]를 이용하여 식 세우기	[eqn: 40%]
(다)	나머지 구하기	[eqn: 30%]

(답) [eqn: 16]

(답) [eqn: a=1], [eqn: f(x)=(2x+1)(x ^{2} -3x+1)]

(답) [eqn: 2017]

(풀이)

[eqn: x=2018]이라 하면

[eqn: {2018 ^{3} -1} over {2019 TIMES 2018+1} = {x ^{3} -1} over {(x+1)x+1}]

[eqn: = {(x-1)(x ^{2} +x+1)} over {x ^{2} +x+1}]

[eqn: =x-1]

[eqn: =2018-1=2017]

(답) [eqn: 30]

(답) ④

(답) [eqn: 15]

(답) [eqn: -9x+17]

정답과 해설

미래엔(황선욱 외)

Ⅰ-2. 나머지 정리와 인수분해

(답) ④

Ⅰ-2. 나머지 정리와 인수분해	미래엔(황선욱 외)

(답) [eqn: 16]

(답) ⑤

(답) [eqn: 0]

(답) [eqn: a=-2], [eqn: b=4]

(풀이)

[eqn: f(x)=3x ^{3} +ax ^{2} +bx-24], [eqn: g(x)=x ^{3} -ax ^{2} -2bx] 라 하자.

[eqn: f(x)]는 [eqn: x-2]로 나누어떨어지므로

[eqn: 24+4a+2b-24=0], [eqn: 2a+b=0] ……㉠ ……(가)

또 [eqn: g(x)]는 [eqn: x-2]로 나누어떨어지므로

[eqn: 8-4a-4b=0], [eqn: a+b=2]	……㉡ ……(나)

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: a=-2], [eqn: b=4]	……(다)

단계	채점 요소	배점률
(가)	다항식 [eqn: 3x ^{3} +ax ^{2} +bx-24]가 [eqn: x-2]로 나누어떨어짐을 이용하여 식 세우기	[eqn: 40%]
(나)	다항식 [eqn: x ^{3} -ax ^{2} -2bx]가 [eqn: x-2]로 나누어떨어짐을 이용하여 식 세우기	[eqn: 40%]
(다)	[eqn: a], [eqn: b]의 값 구하기	[eqn: 20%]

(답) [eqn: 3]

(풀이)

주어진 직육면체의 부피를

[eqn: V(x)=x ^{3} +3x ^{2} +cx-3]이라 하면 모든 양수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: V(x)=(x-1)(x+a)(x+b)]가 성립한다.

[eqn: x ^{3} +3x ^{2} +cx-3]은 [eqn: x-1]로 나누어떨어지므로

[eqn: 1+3+c-3=0]    [eqn: THEREFORE][eqn: c=-1]	……(가)

조립제법을 이용하여 [eqn: x ^{3} +3x ^{2} -x-3]을 인수분해하면

[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 3]	[eqn: -1]	[eqn: -3]
		[eqn: 1]	[eqn: 4]	[eqn: 3]
	[eqn: 1]	[eqn: 4]	[eqn: 3]	[eqn: 0]

[eqn: x ^{3} +3x ^{2} -x-3=(x-1)(x ^{2} +4x+3)]

[eqn: =(x-1)(x+1)(x+3)]  ……(나)

따라서 [eqn: a=1], [eqn: b=3] 또는 [eqn: a=3], [eqn: b=1]이므로

[eqn: a+b+c=3]	……(다)

단계	채점 요소	배점률
(가)	[eqn: c]의 값 구하기	[eqn: 30%]
(나)	다항식 [eqn: x ^{3} +3x ^{2} +cx-3] 인수분해 하기	[eqn: 50%]
(다)	[eqn: a+b+c]의 값 구하기	[eqn: 20%]

(답) [eqn: a=-5,~b=6]

(풀이)

다항식 [eqn: x ^{n} (x ^{2} +ax+b)]를 [eqn: (x-3) ^{2}]으로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q`(x)]라 하면 나머지는 [eqn: 3 ^{n} (x-3)]이므로

[eqn: x ^{n} (x ^{2} +ax+b)=(x-3) ^{2} Q`(x)+3 ^{n} (x-3)]

……㉠

나머지 정리에 의하여 [eqn: 3 ^{n} (3 ^{2} +3a+b)=0]이므로

[eqn: 9+3a+b=0], [eqn: b=-3a-9]	……㉡

……(가)

㉡을 ㉠에 대입하면

[eqn: x ^{n} (x ^{2} +ax-3a-9)=(x-3) ^{2} Q`(x)+3 ^{n} (x-3)]

[eqn: x ^{n} (x-3)(x+a+3)=(x-3) LEFT { (x-3)Q`(x)+3 ^{n} RIGHT }]

이므로

[eqn: x ^{n} (x+a+3)=(x-3)Q`(x)+3 ^{n}]      ……(나)

이 식에 [eqn: x=3]을 대입하면

[eqn: 3 ^{n} (a+6)=3 ^{n}]

이므로 [eqn: a+6=1]    [eqn: THEREFORE] [eqn: a=-5]

이를 ㉡에 대입하면 [eqn: b=6]	……(다)

단계	채점 요소	배점률
(가)	[eqn: a,~b]에 대한 식 세우기	[eqn: 30%]
(나)	나머지 정리를 이용하여 식 간단히 하기	[eqn: 50%]
(다)	[eqn: a], [eqn: b]의 값 구하기	[eqn: 20%]

(답) [eqn: a=b]인 이등변삼각형

(풀이)

주어진 식의 좌변을 인수분해하면

[eqn: a ^{3} -a ^{2} b+ab ^{2} +ac ^{2} -b ^{3} -bc ^{2}]

[eqn: (a-b)c ^{2} +a ^{3} -a ^{2} b+ab ^{2} -b ^{3}]

[eqn: (a-b)c ^{2} +a ^{2} (a-b)+b ^{2} (a-b)]

[eqn: (a-b)(a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} )]

즉, [eqn: LEFT ( a-b RIGHT ) LEFT ( a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} RIGHT ) =0]이고 [eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} >0]이므로 [eqn: a-b=0]에서 [eqn: a=b]

따라서 구하는 삼각형은 [eqn: a=b]인 이등변삼각형이다.

(답) [eqn: -7]

(풀이)

[eqn: f(x)+24]가 [eqn: (x-{2})^2]으로 나누어떨어지므로

[eqn: f(x)+24=(x-2) ^{2} (ax+b)] ……㉠

또, [eqn: 1-f(x)]가 [eqn: x ^{2} -9]로 나누어떨어지므로

[eqn: 1-f(x)=(x ^{2} -9)Q(x)] ……㉡

[eqn: x=-3], [eqn: x=3]을 ㉡에 각각 대입하면

[eqn: 1-f(-3)=0],　[eqn: 1-f(3)=0`]이므로 [eqn: f(3)=f(-3)=1]

[eqn: x=3]을 ㉠에 대입하면

[eqn: 3a+b=25] ……㉢

[eqn: x=-3]을 ㉠에 대입하면

[eqn: 25=25(-3a+b)]

[eqn: -3a+b=1] ……㉣

㉢, ㉣을 연립하여 풀면 [eqn: a=4], [eqn: b=13]

[eqn: a=4], [eqn: b=13]을 ㉠에 대입하여 정리하면

[eqn: f(x)=(x-2) ^{2} (4x+13)-24]

따라서 구하는 나머지는 [eqn: f(1)=-7]

(답) [eqn: 16]

(풀이)

[eqn: x^4 +ax^2 +b]는 [eqn: x-1]로 나누어떨어지므로

[eqn: 1+ a+b=0]	……㉠

이때 조립제법을 이용하여 [eqn: x^4 +ax^2 +b]를 인수분해하면

[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 0]	[eqn: a]	[eqn: 0]	[eqn: b]
		[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: a+1]	[eqn: a+1]
	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: a+1]	[eqn: a+1]	[eqn: a+b+1]

[eqn: x ^{4} +ax ^{2} +b=(x-1) LEFT { x ^{3} +x ^{2} +(a+1)x+a+1 RIGHT }]

이때 [eqn: x ^{3} +x ^{2} +(a+1)x+a+1]은 [eqn: x-1]로 나누어떨어지므로

[eqn: 1+1+a+1+a+1=0]

[eqn: 2a+4=0]   [eqn: THEREFORE] [eqn: a=-2]

[eqn: a=-2]를 ㉠에 대입하면 [eqn: b=1]

따라서 [eqn: x ^{4} -2x ^{2} +1=(x-1) ^{2} Q`(x)]이므로 이 식에 [eqn: x=3]을 대입하면

[eqn: 81-18+1=4 TIMES Q`(3)]    [eqn: THEREFORE] [eqn: Q`(3)=16]

(답) (1) [eqn: a=2,~b=1]  (2) [eqn: 3]

(풀이)

(1) [eqn: f(x)]를 [eqn: x ^{3} +1]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)]라 하면

[eqn: f(x)=(x ^{3} +1)Q(x)+ax^2}+b]

[eqn: =(x+1)(x ^{2} -x+1)Q(x)]

[eqn: +a(x ^{2} -x+1)+ax-a+b]

[eqn: =(x ^{2} -x+1) LEFT { (x+1)Q(x)+a RIGHT }]

[eqn: +ax-a+b]	……(가)

이므로 [eqn: f(x)]를 [eqn: x ^{2} -x+1]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: ax-a+b=2x-1]

즉, [eqn: a=2], [eqn: -a+b=-1]이므로

[eqn: a=2], [eqn: b=1]	……(나)

(2) [eqn: f(x)=(x ^{3} +1)Q(x)+2x ^{2} +1]을 [eqn: x+1]로 나누었을 때의 나머지는

[eqn: f(-1)=3]	……(다)

단계	채점 요소	배점률
(가)	몫과 나머지를 이용하여 항등식 세우기	[eqn: 30%]
(나)	[eqn: a], [eqn: b]의 값 구하기	[eqn: 50%]
(다)	[eqn: f(x)]를 [eqn: x+1]로 나누었을 때의 나머지 구하기	[eqn: 20%]