교과서 밀착 문제

비상교육(김원경 외)

※ 교과서 속 문제를 재구성하여 단원별로 나열하였습니다.

Ⅰ-2. 나머지 정리와 인수분해

다음 등식이 [eqn: x]에 대한 항등식이 되도록 실수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 정하시오.

(1) [eqn: (x+a)(x+2)=x^2 +bx+2]

(2) [eqn: x^2 +4x+3 = (x-1)^2 +a(x-1)+b]

다항식 [eqn: P(x)=x^3 +2x^2 -x+1]을 다음 일차식으로 나누었을 때, 나머지를 구하시오.

(1) [eqn: x+1]

(2) [eqn: 2x-1]

다항식 [eqn: P(x)= x^3 +ax+2]가 [eqn: x-1]로 나누어떨어질 때, 실수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

다음 다항식을 인수분해하시오.

(1) [eqn: x^2 +y^2 +4 +2xy +4x+4y]

(2) [eqn: a^3 -9a^2 +27a -27]

(3) [eqn: x^3 +64]

(4) [eqn: 16a^3 -2b^3]

등식 [eqn: x^3 +ax+3=(x+1)(x^2 +bx+3)]이 [eqn: x]에 대한 항등식이 되도록 실수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 정하시오.

다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: x^2 -1]로 나누었을 때 나머지가 [eqn: x+3]이고, [eqn: x^2 -4]로 나누었을 때 나머지가 [eqn: x]이다. [eqn: P(x)]를 [eqn: x^2 +x-2]로 나누었을 때, 나머지를 구하시오.

다항식 [eqn: {P(x)=x^3 -2x^2 +ax +b]가 [eqn: x^2 -x-6]으로 나누어떨어질 때, 실수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하시오.

다항식 [eqn: P(x)= 2x^3 +x^2 +ax+3]을 [eqn: x+1]로 나누었을 때의 몫이 [eqn: Q(x)]이고, 나머지가 [eqn: -2]이다. [eqn: Q(x)]를 [eqn: x-1]로 나누었을 때, 나머지를 구하시오.

(단, [eqn: a]는 실수)

다음 다항식을 인수분해하시오.

(1) [eqn: x^4 -5x^2 +4]

(2) [eqn: (x^2 +2x+2)(x^2 +2x-4)+5]

다음 다항식을 조립제법을 이용하여 인수분해하시오.

(1) [eqn: x^3 -3x^2 -6x +8]

(2) [eqn: 3x^3 +7x^2 -x-1]

다음 등식이 [eqn: x]에 대한 항등식이 되도록 실수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 정하시오.

[eqn: (x-1) ^{2} +a(x-2) +3 =x^2 +bx-2]

다항식 [eqn: P(x)]에 대하여 등식

[eqn: x^7 +ax^4 -bx+9 = (x^2 -1)P(x)-2x+7]

은 [eqn: x]에 대한 항등식이다. 이때 실수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하시오.

[eqn: y-x=1]을 만족시키는 모든 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 등식 [eqn: ax^2 +y^2 +by+1=0]이 성립할 때, 실수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하시오.

Ⅰ-2. 나머지 정리와 인수분해	비상교육(김원경 외)

다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: x^2 -2x-3]으로 나누었을 때, 나머지가 [eqn: 3x+2]이다. [eqn: P(x+1)]을 [eqn: x-2]로 나누었을 때, 나머지를 구하시오.

다항식 [eqn: P(x)= x^10 +x^7 +2]를 [eqn: x-1]로 나누었을 때, 몫을 [eqn: Q(x)]라고 하자. [eqn: Q(x)]를 [eqn: x+1]로 나누었을 때, 나머지를 구하시오.

다항식 [eqn: P(x)= x^3 +ax^2 +2x+3]에 대하여 [eqn: P(x-1)]이 [eqn: x-2]를 인수로 가질 때, 실수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

다음 다항식을 인수분해하시오.

[eqn: x^2 +(2y-1)x+y^2 -y-2]

다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: 2x-1]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: R]라고 하자. [eqn: P(x)]를 [eqn: x- 1over2]로 나누었을 때, 몫과 나머지를 차례로 구한 것은?

① [eqn: 1over2 Q(x)], [eqn: 1over2 R]	② [eqn: 1over2 Q(x)], [eqn: R]

③ [eqn: Q(x)], [eqn: R]	④ [eqn: 2 Q(x)], [eqn: R]

⑤ [eqn: 2Q(x)], [eqn: 2R]

다항식 [eqn: P(x) = -x^3 +5x^2 -ax+b]가 [eqn: x^2 -3x-4]로 나누어떨어질 때, 실수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하시오.

다음 보기 중 다항식

[eqn: x(x+1)(x+2)(x+3)-3]

의 인수를 모두 고르시오.

	<보기>
ㄱ. [eqn: x^2 +3x-1] ㄴ. [eqn: x^2 +3x+1] ㄷ. [eqn: x^2 +3x-3] ㄹ. [eqn: x^2 +3x+3]

다음 다항식을 인수분해하시오.

[eqn: 2x^4 -3x^3 +3x^2 -3x+1]

인수분해를 이용하여 다음 식의 값을 구하시오.

[eqn: {90000 times300 -1} over{90301]

다항식 [eqn: P(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 등식

[eqn: (x+1)^2 (x-1){P(x)][eqn: =(x^2 +ax+b)^2]

을 만족시킬 때, [eqn: P(2)]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: a], [eqn: b]는 실수)

다항식 [eqn: P(x)= 3x^3 +ax^2 -6x+2]를 [eqn: x+1]로 나누었을 때 나머지와 [eqn: x+2]로 나누었을 때 나머지가 같다. 이때 실수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

다항식 [eqn: P(x)= x^3 -kx^2 -5x+k^2 -3]이 [eqn: x-2]로 나누어떨어지도록 하는 모든 실수 [eqn: k]의 값의 합은?

① 0	② 2	③ 4

④ 6	⑤ [eqn: 8]

다항식 [eqn: P(x)= ax^3 +2x^2 -x+b]는 [eqn: x^2 -x]로 나누어떨어진다. [eqn: P(x)]를 [eqn: x-3]으로 나누었을 때, 나머지를 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 실수)

다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: x-4]로 나누었을 때, 나머지가 [eqn: 2]이다. 다항식 [eqn: 6x P(2x+1)]을 [eqn: 2x-3]으로 나누었을 때, 나머지를 구하시오.

이차항의 계수가 1인 두 이차식 [eqn: P(x)], [eqn: Q(x)]의 곱이 [eqn: x^4 -5x^3 +8x^2 -4x]이다. [eqn: P(1) !=0], [eqn: Q(0) !=0]일 때, [eqn: P(3) +Q(4)]의 값을 구하시오.

인수분해를 이용하여 다음 식의 값을 구하시오.

[eqn: root{99 times100 times101 times 102 +1}]

실수 [eqn: a_0], [eqn: a_1], [eqn: ...], [eqn: a_10]에 대하여 등식

[eqn: (x^2 +x -1)^5]

[eqn: = a_0 +a_1 x +a_2 x^2 + cdots +a_10 x^10]

이 [eqn: x]에 대한 항등식일 때, [eqn: a_1 +a_3 +a_5 +a_7 +a_9]의 값을 구하시오.

다항식 [eqn: P(x)= ax^4 +bx^3 +2]가 [eqn: (x-1)^2]으로 나누어떨어질 때, 실수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하시오.

다항식 [eqn: x^10 (x^2 +ax+b)]를 [eqn: (x-3)^2]으로 나누었을 때, 나머지가 [eqn: 3^10 (x-3)]이다. 이때 실수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하시오.

최고차항의 계수가 양수인 다항식 [eqn: P(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: left{ P(x) right}^2 = 2P(x) +x^4 -2x^3 +x^2 -1]

을 만족시킬 때, [eqn: P(x)]를 구하시오.

다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: x-2]로 나누었을 때 몫은 [eqn: A(x)], 나머지는 [eqn: 10]이고, [eqn: x-8]로 나누었을 때 몫은 [eqn: B(x)], 나머지는 [eqn: -2]이다. 다항식 [eqn: left{ A(x) +B(x) right}^2]을 [eqn: x-5]로 나누었을 때, 나머지를 구하시오.

다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: x^2 +1]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: x+1]이고, [eqn: x-1]로 나누었을 때 나머지는 [eqn: 4]이다. [eqn: P(x)]를 [eqn: (x-1)(x^2 +1)]로 나누었을 때, 나머지를 구하시오.

다항식 [eqn: (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+a]가 [eqn: (x^2 +bx+c)^2]으로 인수분해될 때, 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 값을 구하시오.

삼각형 [eqn: rmABC]의 세 변의 길이 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 등식

[eqn: a^3 +a^2 b -ab^2 -ac^2 +bc^2 -b^3 =0]

이 성립할 때, 삼각형 [eqn: rmABC]는 어떤 삼각형인지 말하시오.