(답) (1) [eqn: a=1], [eqn: b=3]   (2) [eqn: a=6], [eqn: b=8]

정답과 해설

비상교육(김원경 외)

Ⅰ-2. 나머지 정리와 인수분해

(답) (1) [eqn: 3]   (2) [eqn: 9 over8]

(답) [eqn: -3]

(답) (1) [eqn: (x+y+2)^2]   (2) [eqn: (a-3)^3]

(3) [eqn: (x+4)(x^2 -4x+16)]

(4) [eqn: 2(2a-b)(4a^2 +2ab+b^2 )]

(답) [eqn: a=2], [eqn: b=-1]

(풀이)

등식의 양변에 [eqn: x=-1], [eqn: x=1]을 각각 대입하면

[eqn: -a+2=0], [eqn: a+4=2b+8]

따라서 [eqn: a=2], [eqn: b=-1]

(답) [eqn: 2x+2]

(풀이)

[eqn: P(x)]를 [eqn: x^2 +x-2]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: ax+b`(a], [eqn: b]는 실수)라고 하면

[eqn: P(x)=(x-1)(x+2)Q(x)+ax+b]

[eqn: P(1)=4], [eqn: P(-2)=-2]이므로

[eqn: a+b=4], [eqn: -2a+b=-2], 즉 [eqn: a=2], [eqn: b=2]

따라서 구하는 나머지는 [eqn: 2x+2]

(답) [eqn: a=-5], [eqn: b=6]

(풀이)

[eqn: x^2 -x-6=(x+2)(x-3)]이고, [eqn: P(-2)=0], [eqn: P(3)=0]이므로

[eqn: -16-2a+b=0], [eqn: 9+3a+b=0]

따라서 [eqn: a=-5], [eqn: b=6]

(답) [eqn: 6]

(풀이)

[eqn: P(-1)=-2]이므로

[eqn: -a+2=-2], [eqn: a=4]

즉, [eqn: 2x^3 +x^2 +4x+3=(x+1)Q(x) -2]이므로 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: 10=2Q(1)-2], [eqn: Q(1)=6]

따라서 구하는 나머지는 [eqn: 6]이다.

(답) (1) [eqn: (x+1)(x-1)(x+2)(x-2)]

(2) [eqn: (x+1)^2 (x+3)(x-1)]

(답) (1) [eqn: (x-1)(x+2)(x-4)]

(2) [eqn: (3x+1)(x^2 +2x-1)]

(답) [eqn: a=3], [eqn: b=1]

(답) [eqn: a=-2], [eqn: b=3]

(답) [eqn: a=-1], [eqn: b=-2]

(풀이)

[eqn: y=x+1]이므로

[eqn: ax^2 +(x+1)^2 +b(x+1)+1=0]

등식의 양변에 [eqn: x=-1], [eqn: x=0]을 각각 대입하면

[eqn: a+1=0], [eqn: b+2=0], 즉 [eqn: a=-1], [eqn: b=-2]

(답) [eqn: 11]

정답과 해설

비상교육(김원경 외)

Ⅰ-2. 나머지정리와 인수분해

(풀이)

[eqn: P(x)]를 [eqn: x^2 -2x-3=(x+1)(x-3)]으로 나누었을 때, 몫을 [eqn: Q(x)]라고 하면 나머지가 [eqn: 3x+2]이므로

Ⅰ-2. 나머지 정리와 인수분해	비상교육(김원경 외)

[eqn: P(x)= (x+1)(x-3)Q(x)+3x+2]

[eqn: P(x+1)]을 [eqn: x-2]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: P(3)]이므로 구하는 나머지는 [eqn: 11]이다.

(답) [eqn: 1]

(풀이)

[eqn: {P(1)=4]이고, [eqn: P(x)]를 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 몫이 [eqn: Q(x)]이므로

[eqn: x^10 +x^7 +2=(x-1)Q(x)+4]

등식의 양변에 [eqn: x=-1]을 대입하면

[eqn: 2=-2Q(-1)+4], 즉 [eqn: Q(-1)=1]

따라서 구하는 나머지는 [eqn: 1]이다.

(답) [eqn: -6]

(풀이)

[eqn: P(x-1)]이 [eqn: x-2]를 인수로 가지므로

[eqn: P(2-1)=P(1)=0]

따라서 [eqn: P(1)=a+6=0]이므로 [eqn: a=-6]

(답) [eqn: (x+y+1)(x+y-2)]

(답) ④

(풀이)

[eqn: P(x)=(2x-1)Q(x)+R]

[eqn: = LEFT ( x - 1over2 RIGHT ) times2 Q(x) +R]

따라서 몫은 [eqn: 2Q(x)], 나머지는 [eqn: R]이므로 ④이다.

(답) [eqn: a=2], [eqn: b=-8]

(풀이)

[eqn: x^2 -3x-4=(x+1)(x-4)]이므로

[eqn: P(-1)=6+a+b=0], [eqn: P(4)= 16-4a+b=0]

따라서 [eqn: a=2], [eqn: b=-8]

(답) ㄱ, ㄹ

(답) [eqn: (x-1)(2x-1)(x^2 +1)]

(답) 299

(풀이)

(문제의 식)

[eqn: = {300^3 -1} over{300^2 +300+1}]

[eqn: = { (300-1)times(300^2 +300+1)} over{300^2 +300+1} = 299}]

(답) [eqn: 1]

(풀이)

등식의 양변에 [eqn: x=-1], [eqn: x=1]을 각각 대입하면

[eqn: 0=(1-a+b)^2], [eqn: 0=(1+a+b)^2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a=0], [eqn: b=-1]

따라서 [eqn: (x+1)^2 (x-1){P(x) =(x^2 -1)^2]이므로 등식의 양변에 [eqn: x=2]를 대입하면

[eqn: 9P(2)=9]    [eqn: THEREFORE] [eqn: P(2)=1]

(답) [eqn: 5]

(풀이)

[eqn: P(-1)=a+5], [eqn: P(-2)=4a-10]이고,

[eqn: P(-1)=P(-2)]이므로

[eqn: a+5=4a-10]    [eqn: THEREFORE] [eqn: a=5]

(답) ③

(풀이)

[eqn: P(2)=0]이므로 [eqn: k^2 -4k-5=0]

즉, [eqn: (k+1)(k-5)=0]에서 [eqn: k=-1] 또는 [eqn: k=5]

따라서 모든 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: 4]이므로 ③이다.

(답) [eqn: -12]

(풀이)

[eqn: x^2 -x =x(x-1)]이므로 [eqn: P(0)=0], [eqn: P(1)=0]

즉, [eqn: b=0], [eqn: a+b+1=0]이므로 [eqn: a=-1], [eqn: b=0]

따라서 [eqn: P(x)= -x^3 +2x^2 -x]에서 [eqn: P(3)= -12]이므로 구하는 나머지는 [eqn: -12]이다.

(답) [eqn: 18]

(풀이)

[eqn: P(4)=2]이므로 구하는 나머지는

[eqn: 6 times 3over2 times P{ LEFT ( 2 times 3over2 +1 RIGHT ) = 9 P(4)=18]

(답) [eqn: 9]

(풀이)

[eqn: x^4 -5x^3 +8x^2 -4x =x(x-1)(x-2)^2]

이때 [eqn: P(x)], [eqn: Q(x)]는 이차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차식이고, [eqn: P(1)!=0], [eqn: Q(0) !=0]이므로

[eqn: P(x)= x(x-2)], [eqn: Q(x)= (x-1)(x-2)]

따라서 [eqn: P(3)+Q(4)= 3+6=9]

(답) [eqn: 10099]

(풀이)

[eqn: 100=x]라고 하면

(문제의 식)[eqn: = root{(x-1)x(x+1)(x+2)+1}]

[eqn: = root{(x^2 +x)(x^2 +x -2) +1}]

[eqn: = root{(x^2 +x-1)^2}][eqn: =|`x^2 +x-1`|]

따라서 구하는 값은 [eqn: 10099]이다.

(답) [eqn: 1]

(풀이)

주어진 등식의 양변에 [eqn: x=1], [eqn: x=-1]을 각각 대입하면

[eqn: a_0 +a_1 +a_2 +cdots+a_10 =1]	[eqn: cdotscdots] ①

[eqn: a_0 -a_1 +a_2 - cdots +a_10 =-1]	[eqn: cdotscdots] ②

①[eqn: -]②를 하면

[eqn: 2(a_1 +a_3 +a_5 +a_7 +a_9 )=2]

따라서 [eqn: a_1 +a_3 +a_5 +a_7 +a_9 =1]

(답) [eqn: a=6], [eqn: b=-8]

(풀이)

[eqn: P(1)=0]이므로 [eqn: a+b+2=0]

이때 [eqn: b=-a-2]이므로

[eqn: P(x)= ax^4 +(-a-2)x^3 +2]

[eqn: = (x-1)(ax^3 -2x^2 -2x -2)]

[eqn: P(x)]를 [eqn: (x-1)^2]으로 나누었을 때, 몫을 [eqn: Q(x)]라고 하면

[eqn: (x-1)(ax^3 -2x^2 -2x-2) = (x-1)^2 Q(x)]

이 등식은 [eqn: x]에 대한 항등식이므로

[eqn: ax^3 -2x^2 -2x-2 = (x-1) Q(x)]

등식의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: a-6=0], [eqn: a=6]

[eqn: b=-a-2]이므로 [eqn: b=-8]

(답) [eqn: a=-5], [eqn: b=6]

(풀이)

[eqn: x^10 (x^2 +ax+b)_]를 [eqn: (x-3)^2]으로 나누었을 때, 몫을 [eqn: Q(x)]라고 하면 나머지가 [eqn: 3^10 (x-3)]이므로

[eqn: x^10 (x^2 +ax+b)=(x-3)^2 Q(x)+3^10 (x-3)]

등식의 양변에 [eqn: x=3]을 대입하면

[eqn: 3^10 (9 +3a+b)=0]

즉, [eqn: b=-3a-9]이므로 위의 등식은

[eqn: x^10 (x-3)(x+a+3)=(x-3)left{ (x-3)Q(x)+3^10 right}]

이 등식은 [eqn: x]에 대한 항등식이므로

[eqn: x^10 (x+a+3)=(x-3)Q(x)+3^10]

등식의 양변에 [eqn: x=3]을 대입하면

[eqn: 3^10 (a+6)=3^10]

즉, [eqn: a=-5]이므로 [eqn: b=-3a-9]에서

[eqn: b=6]

(답) [eqn: x ^{2} -x+1]

(풀이)

[eqn: P(x)]를 [eqn: n]차식이라고 하면 [eqn: 2n=4]에서 [eqn: n=2]이므로 [eqn: P(x)]는 이차식이고, 우변의 사차항의 계수가 1이므로 [eqn: P(x)= x^2 +ax+b] [eqn: (a], [eqn: b]는 실수)라고 하자.

문제의 식에 [eqn: P(x)]를 대입하여 정리하면

[eqn: x^4 +2ax^3 +(a^2 +2b)x^2 +2abx +b^2]

[eqn: = x^4 -2x^3 +3x^2 +2ax +2b-1]

즉, [eqn: 2a=-2], [eqn: a^2 +2b=3], [eqn: 2ab=2a], [eqn: b^2 =2b-1]이므로

[eqn: a=-1], [eqn: b=1]

따라서 [eqn: P(x)= x^2 -x+1]

(답) [eqn: 16]

(풀이)

[eqn: P(x)= (x-2) A(x)+10],

[eqn: P(x)= (x-8)B(x) -2]이므로 두 등식의 양변에 [eqn: x=5]를 각각 대입하면

[eqn: P(5)=3A(5) +10], [eqn: P(5)= -3 B(5) -2]

각 변끼리 빼어 정리하면

[eqn: A(5)+B(5)= -4]

따라서 구하는 나머지는

[eqn: left{ A(5)+B(5) right}^2 = 16]

(답) [eqn: x^2 +x +2]

(풀이)

[eqn: P(x)]를 [eqn: (x-1)(x^2 +1)]로 나누었을 때 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: R(x)]라고 하면 [eqn: P(x)]를 [eqn: x^2 +1]로 나누었을 때 나머지 [eqn: x+1]은 [eqn: R(x)]를 [eqn: x^2 +1]로 나누었을 때 나머지와 같고, [eqn: R(x)]는 이차 이하의 다항식이므로

[eqn: R(x)=a(x ^{2} +1)+x+1] (단, [eqn: a]는 실수)

[eqn: P(x)= (x-1)(x^2 +1)Q(x)+a(x^2 +1)+x+1]에서 [eqn: P(1)=4]이므로

[eqn: 2a+2=4], [eqn: a=1]

따라서 구하는 나머지는 [eqn: x^2 +x +2]

(답) [eqn: a=1], [eqn: b=5], [eqn: c=5]

(풀이)

(문제의 식)[eqn: = (x^2 +5x +4)(x^2 +5x +6) +a]

[eqn: = (X+4)(X+6) +a]  ◀ [eqn: x^2 +5x=X]

[eqn: = X^2 +10X +24+a]

문제의 식이 완전제곱식으로 인수분해되므로

[eqn: a=1]

즉, (문제의 식)[eqn: = (X+5)^2 =(x^2 +5x+5)^2]으로 인수분해되므로 [eqn: b=5], [eqn: c=5]

(답) [eqn: a=b]인 이등변삼각형

(풀이)

[eqn: a^3 +a^2 b -ab^2 -ac^2 +bc^2 -b^3]

[eqn: =a^2 (a+b)-b^2 (a+b)-c^2 (a-b)]

[eqn: = (a+b)(a^2 -b^2 )-c^2 (a-b)]

[eqn: =(a+b)^2 (a-b)-c^2 (a-b)]

[eqn: =(a-b) left{(a+b)^2 -c^2 right}]

[eqn: = (a-b)(a+b+c)(a+b-c)=0]

이때 삼각형의 세 변의 길이 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: a+b+c !=0], [eqn: a+b-c !=0]이므로

[eqn: a-b=0]

따라서 [eqn: a=b]이므로 삼각형 ABC는 [eqn: a=b]인 이등변삼각형이다.