다음 등식이 [eqn: x]에 대한 항등식이 되도록 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 값을 정하시오.

교과서 밀착 문제

천재교과서(홍진곤 외)

※ 교과서 속 문제를 재구성하여 단원별로 나열하였습니다.

Ⅰ-2. 나머지 정리와 인수분해

(1) [eqn: ax ^{2} +bx+c=5(x+1) ^{2} +(x-1) ^{2}]

(2) [eqn: 3x ^{2} +x+a=b(x-1)(x+1)+c(x-1)]

다항식 [eqn: P(x)=9x ^{3} +2x ^{2} -3x+2]를 다음 일차식으로 나누었을 때의 나머지를 구하시오.

(1) [eqn: x+2]

(2) [eqn: 3x-1]

다항식 [eqn: P(x)=x ^{3} +ax ^{2} +7x+10]이 [eqn: x-2]로 나누어떨어지도록 상수 [eqn: a]의 값을 정하시오.

다음 다항식을 인수분해하시오.

(1) [eqn: x ^{2} +9y ^{2} +4z ^{2} +6xy-12yz-4zx]

(2) [eqn: 8x ^{3} -12x ^{2} +6x-1]

(3) [eqn: 27x ^{3} -64y ^{3}]

(4) [eqn: 2x ^{3} +x ^{2} -13x+6]

등식 [eqn: x ^{2} +3x+5=a(x-2) ^{2} +b(x-2)+c]가 [eqn: x]에 대한 항등식이 되도록 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 값을 정하시오.

다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: (x+2)(x-2)]로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: 3x+5]이다. 다항식 [eqn: P(3x-1)]을 [eqn: x-1]으로 나누었을 때의 나머지를 구하시오.

다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: x+5]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: 4]이고, [eqn: 2x-1]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: -7]이다. [eqn: P(x)]를 [eqn: (x+5)(2x-1)]로 나누었을 때의 나머지를 구하시오.

다항식 [eqn: (x ^{2} +4x-1) ^{2} -3(x ^{2} +4x)-37]을 인수분해하면 [eqn: (x+2) ^{2} P(x)]일 때, 다항식 [eqn: P(x)]를 구하시오.

다항식 [eqn: P(x)=4x ^{3} +ax ^{2} -19x+5]가 [eqn: 2x-1]로 나누어떨어질 때 상수 [eqn: a]의 값을 구하고, 다항식 [eqn: P(x)]를 인수분해하시오.

Ⅰ-2. 나머지 정리와 인수분해	천재교과서(홍진곤 외)

다항식 [eqn: x ^{4} +ax ^{2} +2b]가 [eqn: (x-1) ^{2}]으로 나누어떨어질 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하시오.

[eqn: x+y=1]을 만족시키는 모든 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 등식 [eqn: ax ^{2} +bxy+cy ^{2} =3]이 성립할 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 값을 구하시오.

다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: x ^{2} +3]으로 나누었을 때의 몫이 [eqn: x-1]이고 나머지가 [eqn: 2x-4]이다. [eqn: P(x)]를 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 나머지를 구하시오.

다항식 [eqn: x ^{30} +x ^{15} +1]을 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)]라고 할 때, [eqn: Q(x)]를 [eqn: x+1]로 나누었을 때의 나머지를 구하시오.

다항식 [eqn: P(x)]에 대하여 두 다항식 [eqn: 2P(x)+3], [eqn: xP(x)+x+1]이 [eqn: x-a]로 나누어떨어질 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

다음 다항식을 인수분해하시오.

(1) [eqn: (x-1)(x-2)(x+3)(x+4)-14]

(2) [eqn: (x+1) ^{3} +3(x+1) ^{2} (2x-y)]

[eqn: +3(x+1)(2x-y) ^{2} +(2x-y) ^{3}]

인수분해를 이용하여 [eqn: {1999 ^{3}+1} over {1998 TIMES 1999+1}]의 값을 구하시오.

다항식 [eqn: (x ^{3} +2x ^{2} -6x+5) ^{2} (4x-5) ^{3}]을 전개했을 때, 상수항을 포함한 모든 계수들의 합을 구하시오.

다항식 [eqn: 2x ^{3} +ax ^{2} +bx-4]가 [eqn: x ^{2} -3x+2]로 나누어떨어질 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하시오.

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 등식

[eqn: x ^{6} -2x ^{3} +1][eqn: =a _{0} +a _{1} (x+1)+a _{2} (x+1) ^{2} +cdots+a _{6} (x+1) ^{6}]

이 성립할 때, [eqn: a _{1} +a _{3} +a _{5}]의 값을 구하시오.

이차식 [eqn: P(x)]에 대하여 [eqn: P(1-x)]를 [eqn: x-1]로 나누었을 때, 나머지는 [eqn: 4]이고, [eqn: xP(x)]는 [eqn: (x-1)(x-4)]로 나누어떨어진다. [eqn: P(x)]를 [eqn: x-2]로 나누었을 때의 나머지를 구하시오.

다항식 [eqn: x ^{3} -3x ^{2} -(k ^{2} -2k-2)x+k ^{2} -2k]가 [eqn: (x-a)(x-b)(x-c)]로 인수분해된다. [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]를 세 변의 길이로 하는 삼각형 [eqn: rmABC]가 이등변삼각형이 되도록 상수 [eqn: k]의 값을 정하시오.