(답) (1) [eqn: a=6], [eqn: b=8], [eqn: c=6]                     (2) [eqn: a=-4], [eqn: b=3], [eqn: c=1]

정답과 해설

천재(홍진곤 외)

Ⅰ-2. 나머지정리와 인수분해

(답) (1) [eqn: -56] (2) [eqn: {14} over {9}]

(답) [eqn: -8]

(답) (1) [eqn: (x+3y-2z) ^{2}] (2) [eqn: (2x-1) ^{3}]            (3) [eqn: (3x-4y)(9x ^{2} +12xy+16y ^{2} )]

(4) [eqn: (x-2)(2x-1)(x+3)]

(답) [eqn: a=1], [eqn: b=7], [eqn: c=15]

(답) [eqn: 11]

(답) [eqn: -2x-6]

(답) [eqn: x ^{2} +4x-9]

(풀이)

[eqn: x ^{2} +4x=X]라 하면

[eqn: (x ^{2} +4x-1) ^{2} -3(x ^{2} +4x)-37]

[eqn: =(X-1) ^{2} -3X-37]

[eqn: =X ^{2} -5X-36]

[eqn: =(X+4)(X-9)]

[eqn: =(x ^{2} +4x+4)(x ^{2} +4x-9)]

[eqn: =(x+2) ^{2} (x ^{2} +4x-9)]

[eqn: therefore] [eqn: P(x)=x ^{2} +4x-9]

(답) [eqn: a=16], [eqn: P(x)=(2x-1) ^{2} (x+5)]

(답) [eqn: a=-2], [eqn: b= 1over2]

(풀이)

[eqn: x ^{4} +ax ^{2} +2b]가 [eqn: x-1]로 나누어떨어지므로

[eqn: 1+a+2b=0]	……㉠

이때 [eqn: x ^{4} +ax ^{2} +2b=(x-1) LEFT { x ^{3} +x ^{2} +(a+1)x+a+1 RIGHT }]이고

[eqn: x ^{3} +x ^{2} +(a+1)x+a+1]이 [eqn: x-1]로 나누어떨어지므로

[eqn: 1+1+(a+1)+a+1=0]    [eqn: THEREFORE] [eqn: a=-2]

[eqn: a=-2]를 ㉠에 대입하면 [eqn: b= 1over2]

(답) [eqn: a=3], [eqn: b=6], [eqn: c=3]

(풀이)

[eqn: y= 1-x]이므로

[eqn: ax^2 +bx (1-x) +c (1-x)^2 =3]

등식의 양변에 [eqn: x=0], [eqn: x=1], [eqn: x=-1]을 각각 대입하면

[eqn: c= 3], [eqn: a=3], [eqn: a-2b +4c =3]

따라서 [eqn: a=3], [eqn: b=6], [eqn: c=3]

(답) [eqn: -2]

(답) [eqn: 1]

(풀이)

[eqn: x ^{30} +x ^{15} +1]을 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: R]라고 하면

[eqn: x ^{30} +x ^{15} +1=(x-1)Q(x)+R]	……㉠

㉠의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: R=3]

㉠의 양변에 [eqn: x=-1]을 대입하면

정답과 해설

천재교육(홍진곤 외)

Ⅰ-2. 나머지정리와 인수분해

[eqn: 1=-2Q(-1)+3]    [eqn: THEREFORE] [eqn: Q(-1)=1]

따라서 구하는 나머지는 [eqn: 1]이다.

정답과 해설

천재교과서(홍진곤 외)

Ⅰ-2. 나머지 정리와 인수분해

(답) [eqn: 2]

Ⅰ-2. 나머지 정리와 인수분해	천재교과서(홍진곤 외)

(답) (1) [eqn: (x ^{2} +2x-1)(x ^{2} +2x-10)]

(2) [eqn: (3x-y+1) ^{3}]

(답) [eqn: 2000]

(답) [eqn: -2]

(답) [eqn: a=-8], [eqn: b=10]

(풀이)

[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{3} +ax ^{2} +bx-4]라고 하면 [eqn: P LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x ^{2} -3x+2]로 나누어떨어지므로 [eqn: x ^{2} -3x+2]를 인수로 갖는다.

즉, [eqn: x^2 -3x +2 = (x-1)(x-2)]이므로 [eqn: P LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x-1], [eqn: x-2]를 인수로 갖는다.	……(가)

[eqn: P LEFT ( 1 RIGHT ) =a+b-2=0]에서

[eqn: a+b=2]	…… ㉠

[eqn: P LEFT ( 2 RIGHT ) =4a+2b+12=0]에서

[eqn: 2a+b=-6]	…… ㉡	……(나)

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: a =-8], [eqn: b=10] ……(다)

단계	채점 요소	배점률
(가)	주어진 다항식을 [eqn: P LEFT ( x RIGHT )]라고 할 때, [eqn: P LEFT ( x RIGHT )]의 인수 확인하기	[eqn: 40%]
(나)	인수 정리를 이용하여 [eqn: a], [eqn: b]에 대한 연립방정식 세우기	[eqn: 40%]
(다)	[eqn: a], [eqn: b]의 값 구하기	[eqn: 20%]

(답) [eqn: -40]

(풀이)

주어진 등식의 양변에 [eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: 1=a _{0} +a _{1} +a _{2} +a _{3} +a _{4} +a _{5} +a _{6}]	……㉠

등식의 양변에 [eqn: x=-2]를 대입하면

[eqn: 81=a _{0} -a _{1} +a _{2} -a _{3} +a _{4} -a _{5} +a _{6}]	……㉡

㉠-㉡을 하면

[eqn: 2(a _{1} +a _{3} +a _{5} )=-80]

[eqn: therefore] [eqn: a _{1} +a _{3} +a _{5} =-40]

(답) [eqn: -2]

(풀이)

[eqn: P(x)=ax ^{2} +bx+c]([eqn: a!=0])라고 하면 [eqn: P(1-x)]를 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: 4]이므로

[eqn: P(0)=4]에서 [eqn: c=4]

[eqn: xP(x)]가 [eqn: (x-1)(x-4)]로 나누어떨어지므로

[eqn: P(1)=0]에서

[eqn: a+b+4=0], 즉 [eqn: a+b=-4]	……㉠

[eqn: P(4)=0]에서

[eqn: 16a+4b+4=0], 즉 [eqn: 4a+b=-1]	……㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: a=1], [eqn: b=-5]

[eqn: P(x)=x ^{2} -5x+4]이므로 [eqn: P(2)=-2]

따라서 구하는 나머지는 [eqn: -2]이다.

(답) [eqn: 1]

(풀이)

[eqn: P(x)=x ^{3} -3x ^{2} -(k ^{2} -2k-2)x+k ^{2} -2k]라고 하면 [eqn: P(1)=0]이므로 [eqn: x-1]은 [eqn: P(x)]의 인수이다.

……(가)

조립제법을 이용하여 [eqn: P LEFT ( x RIGHT )]를 인수분해하면

[eqn: P(x)=x ^{3} -3x ^{2} -(k ^{2} -2k-2)x+k ^{2} -2k]

[eqn: =(x-1)(x ^{2} -2x-k ^{2} +2k)]

[eqn: =(x-1)(x-k)(x+k-2)]         ……(나)

이므로 삼각형 [eqn: RMABC]의 세 변의 길이는 [eqn: 1], [eqn: k], [eqn: 2-k]이다.

이때 삼각형 [eqn: RMABC]가 이등변삼각형이 되려면

[eqn: k=1]	……(다)

단계	채점 요소	배점률
(가)	[eqn: P LEFT ( 1 RIGHT ) =0]임을 확인하기	[eqn: 20%]
(나)	[eqn: P LEFT ( x RIGHT )]를 인수분해하기	[eqn: 40%]
(다)	삼각형 [eqn: rmABC]가 이등변삼각형이 되도록 하는 [eqn: k]의 값 구하기	[eqn: 40%]