(답)  (1) [eqn: x=-4], [eqn: y= 0] (2) [eqn: x=3], [eqn: y= 5]

Ⅱ-1. 복소수와 이차방정식	동아출판(고호경 외)

정답과 해설

동아출판(고호경 외)

Ⅱ-1. 복소수와 이차방정식

(3) [eqn: x=-4], [eqn: y=2]

(답) (1) [eqn: 1-3i] (2) [eqn: 7+ sqrt {3} i] (3) [eqn: - sqrt {3}] (4) [eqn: -5i]

(답) (1) [eqn: x=1± sqrt {5} i], 허근

(2) [eqn: x= {3} over {2}] 또는 [eqn: x=1], 실근

(답) (1) 서로 다른 두 실근

(2) 서로 다른 두 허근

(3) 중근(실근)

(답) (1) 두 근의 합: [eqn: 4], 두 근의 곱: [eqn: 5]

(2) 두 근의 합: [eqn: 0], 두 근의 곱: [eqn: {2} over {5}]

(3) 두 근의 합: [eqn: -6], 두 근의 곱: [eqn: 0]

(답) [eqn: x^2 -2x+4=0]

(답) [eqn: x=-4], [eqn: y=1]

(답) (1) [eqn: k<9] (2) [eqn: k=9] (3) [eqn: k>9] (4) [eqn: k le9]

(답) (1) [eqn: 5over3]  (2) [eqn: 31]

(답) (1) [eqn: 4+i] (2) [eqn: -2-3i] (3) [eqn: 5-i] (4) [eqn: 1-5i over13]

(답) [eqn: -2+2i]

(풀이)

[eqn: sqrt {-2} sqrt {-8} + {sqrt {-36}} over {sqrt {-9}} - root12 overroot-3]

[eqn: = sqrt {2} i TIMES sqrt {8} i+ {sqrt {36} i} over {sqrt {9} i} -root12 over{root3 i}]

[eqn: = sqrt {16} i ^{2} + sqrt {4} +root4 i]

[eqn: =-4+2+2i=-2+2i]

(답) 서로 다른 두 실근

(답) [eqn: k le 25 over8]

(풀이)

이차방정식 [eqn: x ^{2} +5x+2k=0]의 판별식 [eqn: D]는 [eqn: D=5 ^{2} -4 TIMES 1 TIMES 2k ge0]에서

[eqn: 25-8k ge0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: k le {25} over {8}]

(답) (1) [eqn: 2]  (2) [eqn: 58]

(답) [eqn: x^2 -8x+15=0]

(답) [eqn: 104]
(풀이)
[eqn: P(a)=0], [eqn: P(b)=0]에서 [eqn: a], [eqn: b]는 이차방정식 [eqn: x^2 -6x-8=0]의 두 근이므로
[eqn: ab=-8]
[eqn: therefore``P(ab)=P(-8)=64+48-8 = 104]

(답) [eqn: - {21} over {8} - {3} over {8} i]

(답) [eqn: a=0], [eqn: b=-2]

(풀이)
[eqn: root-3 root-9 + root-2 root2 + root64 overroot-4 + root-81 overroot-3]
[eqn: =root3 i root9 i +root2 i root2 + root64 over{root4 i} + {root81 i} over {{root3 i}]

[eqn: =ROOT27 i^2 +root4 i -root16 i +root27]
[eqn: =-3root3 +2i -4i+3root3]
[eqn: =-2i]
따라서 [eqn: a+bi=-2i]이므로
[eqn: a=0], [eqn: b=-2]

(답) [eqn: -i]
(풀이)
[eqn: z= 1-i overroot2]의 양변을 제곱하면
[eqn: z^2 = left(1-i overroot2 right)^ 2 = 1-2i+i^2 over2 =-i]
[eqn: z^4 =(z^2 )^2 =(-i)^2 =-1]
[eqn: z^6 =(z^2 )^3 =(-i)^3 = i]
[eqn: z^8 = (z^2 )^4 = (-i)^4 =1]
[eqn: z^10 =(z^2 )^5 =(-i)^5 =-i]
따라서 구하는 식의 값은
[eqn: z^2 +z^4 +z^6 +z^8 +z^ 10 =-i-1+i+1-i =-i]

(답) [eqn: k ge8]

(답) 빗변의 길이가 [eqn: a]인 직각삼각형

(풀이)
이차방정식 [eqn: (a-c)x^2 -2bx+(a+c)=0]의 판별식 [eqn: D]에 대하여
[eqn: D =(-2b)^2 -4(a-c)(a+c) =0]
[eqn: b^2 -a^2 +c^2 =0]   [eqn: therefore``b^2 +c^2 =a^2]

따라서 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]를 세 변의 길이로 하는 삼각형은 빗변의 길이가 [eqn: a]인 직각삼각형이다.

(답) [eqn: a=-6], [eqn: b=-30]

(답) 단계1) [eqn: -2i]  단계2) [eqn: 16]

(풀이)
단계1) [eqn: z^2 =4+4x+(4x+2x^2 )i]가 음의 실수이려면 실수부분은 음수이고 허수부분은 [eqn: 0]이 되어야 한다.
즉, [eqn: 4+4x<0], [eqn: 4x+2x^2 =0]에서
[eqn: x< -1], [eqn: 2x(2+x)=0]이므로
[eqn: x=-2]
따라서 [eqn: z=2-2i-2=-2i]
단계2) 단계1)에서 [eqn: z=-2i]이므로 [eqn: z^4 =(-2i)^4 =16]이다.

(답) [eqn: 7over5 - 1over5 i]
(풀이)
[eqn: 1 overZ][eqn: = 1overZ_1 + 1overZ_2][eqn: = 1over3+i + 1over2-i]
[eqn: = 3-i over10 + 2+i over5][eqn: = 7+i over10]
따라서 [eqn: Z= 10 over7+i = 10(7-i) over {(7+i)(7-i)} = 7 over5 - 1over5 i]

(답) [eqn: -4]

(풀이)
주어진 이차방정식이 중근을 가지려면 판별식 [eqn: D]가 [eqn: D=0]이어야 하므로 [eqn: D over4 = (k+2) ^{2} - (k ^{2} -ak+4)=0]

[eqn: (4+a)k=0]

위의 식이 [eqn: k]의 값에 관계없이 항상 성립하려면

[eqn: 4+a=0]   [eqn: therefore``a=-4]

(답) 단계1) [eqn: b= {a ^{2}} over {3}]  단계2) [eqn: 1,~2,~3]
단계3) [eqn: a=3], [eqn: b=3]

(풀이)
단계1) 이차방정식 [eqn: x^2 +2ax+3b=0]의 판별식 [eqn: D_1]은
[eqn: D_1 =(2a)^2 - 4times1times3b=4a^2 -12b]
중근을 가지려면 [eqn: D_1 =0]이어야 하므로
[eqn: 4a^2 -12b=0], [eqn: b= a^2 over3]
단계2) 이차방정식 [eqn: x^2 +4x+a=0]의 판별식 [eqn: D_2]는
[eqn: D_2 =4^2 -4times1timesa=16-4a]
서로 다른 두 실근을 가지려면 [eqn: D_2 >0]이어야 하므로
[eqn: 16-4a>0], [eqn: a<4]
이때 [eqn: a]는 자연수이므로 [eqn: a]의 값은 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]이다.
단계3) [eqn: b= a^2 over3]에 [eqn: a]의 값 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]을 각각 대입하면
[eqn: a=1]일 때 [eqn: b= 1over3], [eqn: a=2]일 때 [eqn: b= 4over3], [eqn: a=3]일 때 [eqn: b= 3]
이때 [eqn: b]는 자연수이므로 [eqn: a=3], [eqn: b=3]이다.

(답) [eqn: 6], [eqn: 24]

(풀이)
단계1) 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
(두 근의 합)[eqn: =k-13], (두 근의 곱)[eqn: =k]
단계2) 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: alpha+5]라고 하면
[eqn: alpha+alpha+5=k-13], [eqn: 2alpha+18=k]	[eqn: cdotscdots]㉠
[eqn: alpha(alpha+5)=k]	[eqn: cdotscdots]㉡
㉠을 ㉡에 대입하면
[eqn: alpha(alpha+5)=2alpha+18], [eqn: alpha^2 +3alpha-18=0]
[eqn: (alpha+6)(alpha-3)=0], [eqn: alpha=-6] 또는 [eqn: alpha=3]
[eqn: alpha=-6]을 ㉠에 대입하면 [eqn: k=6]
[eqn: alpha=3]을 ㉠에 대입하면 [eqn: k=24]
따라서 실수 [eqn: k]의 값은 [eqn: 6], [eqn: 24]이다.

(답) ㄱ, ㄷ

(풀이)
[eqn: z=a+bi]([eqn: a], [eqn: b]는 실수, [eqn: b!=0])라고 하면
[eqn: barw =-z =-a-bi], [eqn: barz =a-bi], [eqn: w= -a+bi]
ㄱ. [eqn: z- w =a+bi- (-a+bi) =2a]
ㄴ. [eqn: i(w- {bar{z}} )=i LEFT { -a+bi-(a-bi) RIGHT } =-2b-2ai]
따라서 [eqn: a != 0]이면 실수가 아니다.
ㄷ. [eqn: z+bar{w}=0]에서 [eqn: bar{w}=-z]이므로 [eqn: w=bar{-z}=-bar{z}]

[eqn: {{bar{z}}} over {w} = {{bar{z}}} over {- {bar{z}}} =-1]이므로 항상 실수이다.
따라서 항상 실수인 것은 ㄱ, ㄷ이다.

(답) [eqn: m=-4], [eqn: n=16]

(풀이)
주어진 이차방정식이 중근을 가지려면 판별식 [eqn: D]가 [eqn: D=0]이어야 하므로 [eqn: D over4 = (m +k) ^{2} - (k ^{2} -8k+n)=0]

[eqn: (2m+8)k +(m^2 -n)=0]

위의 식이 [eqn: k]의 값에 관계없이 항상 성립하려면

[eqn: 2m+8=0], [eqn: m^2 -n=0]
[eqn: therefore``m=-4], [eqn: n=16]

(답) [eqn: 8]
(풀이)
두 근을 [eqn: alpha], [eqn: alpha+2]라고 하면 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
[eqn: alpha+alpha+2=k], [eqn: 2alpha+2=k]	[eqn: cdotscdots]㉠
[eqn: alpha(alpha+2)=2k+4]	[eqn: cdotscdots]㉡
㉠을 ㉡에 대입하면
[eqn: alpha(alpha+2)=2(2alpha+2)+ 4], [eqn: alpha^2 -2alpha-8=0]
[eqn: (alpha+2)(alpha-4)=0], [eqn: alpha=-2] 또는 [eqn: alpha=4]
[eqn: alpha=-2]를 ㉠에 대입하면 [eqn: k=-2]
[eqn: alpha=4]를 ㉠에 대입하면 [eqn: k=10]
따라서 실수 [eqn: k]의 값은 [eqn: -2], [eqn: 10]이므로 그 합은
[eqn: -2+10=8]

(답) [eqn: 36i]
(풀이)
[eqn: z= 10 over1+3i = 10(1-3i) over{(1+3i)(1-3i) }=1-3i]
[eqn: zw=10]에서 [eqn: w = 10overz =1+3i]	……(가)
[eqn: z-w = 1-3i -(1+3i)= -6i]	……(나)
[eqn: z^3 -w^3 =(z-w)^3 +3zw(z-w)]
[eqn: =(-6i) ^{3} +3 TIMES 10 TIMES (-6i)]
[eqn: =216i-180i=36i]	……(다)

단계	채점 요소	배점률
(가)	두 복소수 [eqn: z], [eqn: w] 구하기	[eqn: 40%]
(나)	[eqn: z-w]의 값 구하기	[eqn: 20%]
(다)	[eqn: z^3 -w^3]의 값 구하기	[eqn: 40%]

(답) 서로 다른 두 실근
(풀이)
이차방정식 [eqn: x^2 -4ax+4b^2 +12b+8=0]의 판별식 [eqn: D_1]은
[eqn: D_1 = (-4a)^2 -4times1 times (4b^2 +12b+8)]
[eqn: =16(a^2 -b^2 -3b-2)]
중근을 가지려면 [eqn: D_1 =0]이어야 하므로
[eqn: a^2 -b^2 -3b = 2]  [eqn: cdotscdots]㉠	……(가)
이차방정식 [eqn: bx^2 +2ax+b+3=0]의 판별식 [eqn: D_2]는
[eqn: D_2 = (2a)^2 -4timesb times(b+3)=4(a^2 -b^2 -3b)]
위의 식에 ㉠을 대입하면 [eqn: D_2 \=8]	……(나)
따라서 이차방정식 [eqn: bx^2 +2ax+b+3=0]은 서로 다른 두 실근을 갖는다.	……(다)

단계	채점 요소	배점률
(가)	이차방정식 [eqn: x^2 -4ax+4b^2 +12b+8=0]이 중근을 가짐을 이용하여 [eqn: a], [eqn: b] 사이의 관계식 구하기	[eqn: 40%]
(나)	이차방정식 [eqn: bx^2 +2ax+b+3=0]의 판별식의 값 구하기	[eqn: 40%]
(다)	이차방정식 [eqn: bx^2 +2ax+b+3=0]의 근 판별하기	[eqn: 20%]

(답) [eqn: - 4over5]
(풀이)
이차방정식 [eqn: x^2 +4x+5=0]의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta]이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
[eqn: alpha+beta=-4], [eqn: alphabeta=5]	……(가)
또, [eqn: alpha], [eqn: beta]가 이차방정식의 근이므로
[eqn: alpha^2 +4alpha+5=0], [eqn: beta^2 +4beta+5=0]	……(나)
[eqn: therefore``1over{alpha^2 +5alpha+5} + 1over{beta^2 +5beta+5 }]
[eqn: = 1overalpha + 1overbeta = alpha+beta overalphabeta = - 4 over5]	……(다)

단계	채점 요소	배점률
(가)	[eqn: alpha+beta], [eqn: alphabeta]의 값 구하기	[eqn: 30%]
(나)	이차방정식의 근의 의미 알기	[eqn: 30%]
(다)	식의 값 구하기	[eqn: 40%]