(답) (1) [eqn: x=6], [eqn: y=1] (2) [eqn: x=-2], [eqn: y=-4]

Ⅱ-1. 복소수와 이차방정식	미래엔(황선욱 외)

정답과 해설

미래엔(황선욱 외)

Ⅱ-1. 복소수와 이차방정식

(답) (1) [eqn: -3-2i] (2) [eqn: -5- sqrt {3} i]

(답) (1) [eqn: -3+5i] (2) [eqn: 2+i]
(3) [eqn: -11+7i] (4) [eqn: 0]

(답) (1) 서로 다른 두 실근
(2) 서로 다른 두 실근 (3) 서로 다른 두 허근

(답) ③

(답) [eqn: 5]

(답) ②

(답) (1) [eqn: 4 over9] (2) [eqn: 2] (3) [eqn: {1} over {3}] (4) [eqn: 2 over3]

(답) [eqn: 26]

(답) [eqn: z=2+4i]

(풀이)

[eqn: z=a+bi`]([eqn: a], [eqn: b]는 실수)라고 하면

주어진 등식에서 [eqn: 5a+(-2a+b)i=10]

복소수가 서로 같을 조건에 의하여

[eqn: 5a=10], [eqn: -2a+b=0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a=2], [eqn: b=4]

따라서 [eqn: z=2+4i]이다.

(답) [eqn: 1]

(풀이)

[eqn: sqrt {-5} sqrt {-5} + sqrt {8} sqrt {-8} + {sqrt {16}} over {sqrt {-4}}]

[eqn: =- sqrt {25} + sqrt {-64} - sqrt {-4}]

[eqn: =-5+6i]

따라서 [eqn: a=-5], [eqn: b=6]이므로 [eqn: a+b=1]

(답) [eqn: - 36over169]

(답) [eqn: -3]

(답) [eqn: 4]

(답) [eqn: 40]

(풀이)

이차방정식 [eqn: x^2 +ax-6=0]의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta]이므로 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha+beta=-a], [eqn: alphabeta=-6] ……㉠       ……(가)

또 이차방정식 [eqn: x ^{2} +bx+24=0]의 두 근이 [eqn: alpha+beta], [eqn: alphabeta]이므로 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha+beta+alphabeta=-b] ……㉡

[eqn: ( alpha + beta ) alpha beta =24] ……㉢            ……(나)

㉠을 ㉡과 ㉢에 각각 대입하면

[eqn: -a-6=-b], [eqn: 6a=24]

따라서 [eqn: a=4], [eqn: b=10]이므로

구하는 값은 [eqn: ab=40]              ……(다)

단계	채점 요소	배점률
(가)	두 근 [eqn: alpha], [eqn: beta]의 근과 계수의 관계 이용하기	[eqn: 30%]
(나)	두 근 [eqn: alpha+ beta], [eqn: alpha beta]의 근과 계수의 관계 이용하기	[eqn: 30%]
(다)	[eqn: ab]의 값 구하기	[eqn: 40%]

(답) (1) [eqn: {cases{` alpha =1+i#` beta =1-i}}] 또는 [eqn: {cases{` alpha =1-i#` beta =1+i}}]
(2) [eqn: {cases{` alpha =2+ sqrt {3}#` beta =2- sqrt {3}}}] 또는 [eqn: {cases{` alpha =2- sqrt {3}#` beta =2+ sqrt {3}}}]

(답) ④

(답) [eqn: a=3], [eqn: b=9]

(풀이)

주어진 이차방정식이 중근을 가지려면 판별식 [eqn: D]가 [eqn: D=0]이어야 하므로 [eqn: D= LEFT { -2(k+a) RIGHT } ^{2} -4 TIMES 1 TIMES (k ^{2} +6k+b)=0]

[eqn: (8a-24)k+(4a ^{2} -4b)=0]       ……(가)

위의 식이 [eqn: k]의 값에 관계없이 항상 성립하려면

[eqn: 8a-24=0], [eqn: 4a^2 - 4b= 0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a=3], [eqn: b=9]                 ……(나)

단계	채점 요소	배점률
(가)	판별식 [eqn: D=0] 이용하기	[eqn: 60%]
(나)	[eqn: m], [eqn: n]의 값 구하기	[eqn: 40%]

(답) [eqn: i]
(풀이)
[eqn: z= 1+i overroot2]의 양변을 제곱하면
[eqn: z^2 = left(1+i overroot2 right)^ 2 = 1+2i+i^2 over2 =i]
[eqn: z^4 =(z^2 )^2 =i^2 =-1]
[eqn: z^6 =(z^2 )^3 =i^3 = -i]
[eqn: z^8 = (z^2 )^4 = i^4 =1]
[eqn: z^10 =(z^2 )^5 =i^5 =i]
따라서 구하는 식의 값은
[eqn: z^2 +z^4 +z^6 +z^8 +z^ 10 =i-1+(-i)+1+i =i]

(답) [eqn: x= {3± sqrt {41}} over {4}]

(풀이)

[eqn: ax^2 +bx+c=0]에서 [eqn: a]와 [eqn: c]를 바르게 보고 풀었을 때의 두 근이 [eqn: -4]와 [eqn: {1} over {2}]이므로

두 근의 곱은 [eqn: {c} over {a} =(-4) TIMES {1} over {2} =- {2}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: c=- 2a] ……㉠

또 [eqn: ax^2 +bx+c=0]에서 [eqn: a]와 [eqn: b]를 바르게 보고 풀었을 때의 두 근이 [eqn: 3]과 [eqn: - {3} over {2}]이므로

두 근의 합은 [eqn: - {b} over {a} =3- {3} over {2} = {3} over {2}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: b=- {3} over {2} a] ……㉡               ……(가)

㉠, ㉡을 [eqn: ax^2 +bx+c=0]에 대입하면

[eqn: ax ^{2} -{3} over {2} ax- {2}a=0]               ……(나)

이때 [eqn: a!=0]이므로 양변에 [eqn: {2} over {a}]를 곱하면

[eqn: 2x ^{2} -3x-4=0]

따라서 처음 이차방정식의 근은

[eqn: x= {3± sqrt {41}} over {4}]                     ……(다)

단계	채점 요소	배점률
(가)	[eqn: b,~c]를 각각 [eqn: a]에 관한 식으로 나타내기	[eqn: 50%]
(나)	[eqn: ax ^{2} + bx+c=0] 구하기	[eqn: 20%]
(다)	처음 이차방정식의 근 구하기	[eqn: 30%]