(답) [eqn: x= 1over2], [eqn: y=2]

정답과 해설

비상교육(김원경 외)

Ⅱ-1. 복소수와 이차방정식

(답) (1) [eqn: 2+3i]   (2) [eqn: 10+10i]

(3) [eqn: -2+3i]   (4) [eqn: -2i]

(답) (1) 서로 다른 두 실근

(2) 서로 다른 두 허근   (3) 중근

(답) (1) 두 근의 합: [eqn: 3], 두 근의 곱: [eqn: 5]

(2) 두 근의 합: [eqn: - 7 over4], 두 근의 곱: [eqn: - 5 over2]

(답) ⑤

(답) [eqn: -1]

(답) ⑤

(답) [eqn: - 3over4]

(답) [eqn: -4+3i]

(풀이)

(문제의 식)[eqn: =i-2-3i+4+5i-6=-4+3i]

(답) [eqn: 1-i]

(풀이)

[eqn: z=a+bi`(a], [eqn: b]는 실수)라고 하면 [eqn: {bar{z}}= a-bi]이므로

[eqn: a+bi overi +3i(a-bi) =4b+2ai=-4+2i]

따라서 [eqn: a=1], [eqn: b=-1]이므로 [eqn: z=1-i]

(답) [eqn: - 1over2]

(풀이)

[eqn: alpha +beta = -i], [eqn: alpha beta = - 1 over2]이므로

[eqn: alpha^2 +alpha beta +beta^2 = (alpha +beta )^2 -alpha beta = - 1over2]

(답) [eqn: 3]

(풀이)

이차방정식의 판별식 [eqn: D]에서

[eqn: D over4 = -2k+4 <0]

따라서 [eqn: k >2]이므로 정수 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: 3]이다.

(답) [eqn: -4]

(풀이)

이차방정식의 두 실근을 [eqn: alpha], [eqn: alpha + 9over2]라고 하면

[eqn: alpha + LEFT ( alpha + 9 over2 RIGHT )][eqn: = - 7 over2]이므로 [eqn: alpha = -4]

따라서 두 실근은 [eqn: -4], [eqn: 1over2]이므로

[eqn: a over2 = (-4) times 1over2 = -2], [eqn: a=-4]

(답) [eqn: 17]

(풀이)

이차방정식의 계수가 모두 실수이므로 한 근이 [eqn: 1+2i]이면 나머지 한 근은 [eqn: 1-2i]이다.

[eqn: (1+2i)+(1-2i)=ab]이므로 [eqn: ab=2]

정답과 해설

비상교육(김원경 외)

Ⅱ-1. 복소수와 이차방정식

[eqn: (1+2i)(1-2i)=a+b]이므로

Ⅱ-1. 복소수와 이차방정식	비상교육(김원경 외)

[eqn: a+b=5]

따라서 [eqn: (a-b)^2 =(a+b)^2 -4ab=17]

(답) [eqn: a=4], [eqn: b=-2]

(풀이)

[eqn: x^2 +2x+a=0]에서 [eqn: alpha +beta =-2], [eqn: alpha beta =a]

따라서 [eqn: x^2 +bx -8 =0]에서

[eqn: -2+a=-b], [eqn: -2a=-8], 즉 [eqn: a=4], [eqn: b=-2]

(답) [eqn: a=-3], [eqn: b=16]

(답) [eqn: 1over3]

(풀이)

이차방정식의 두 근을 [eqn: 2 alpha], [eqn: 3 alpha``(alpha !=0)]라고 하면

[eqn: 2 alpha + 3 alpha =5k], [eqn: 2 alpha times 3 alpha = 2k]이므로

[eqn: alpha =k], [eqn: 3 alpha^2 = k]

[eqn: alpha=k]를 [eqn: 3 alpha^2 = k]에 대입하면 [eqn: 3k^2 =k]

그런데 [eqn: k!=0]이므로 [eqn: k= 1over3]

(답) [eqn: x^2 - 3over4 x + 1over8 =0]

(풀이)

이차방정식의 계수가 모두 실수이므로 한 근이 [eqn: -1 + root3 i]이면 나머지 한 근은 [eqn: -1 - root3 i]이다.

[eqn: (-1+root3 i ) +(-1 - root3 i ) = -a]이므로 [eqn: a=2]

[eqn: (-1+root3 i ) (-1 - root3 i ) =b]이므로 [eqn: b=4]

따라서 구하는 이차방정식은

[eqn: x^2 - 3over4 x + 1over8 =0]

(답) [eqn: 2]

(풀이)

[eqn: x^2 +(k-1)x +a(k-3)]

[eqn: = LEFT ( x + k-1over2 RIGHT )^2 - { k^2 -2(2a+1)k +12a+1} over4]

이 식이 완전제곱식이 되어야 하므로

[eqn: k^2 -2(2a+1)k +12a+1=0]  [eqn: cdotscdots] ①

이때 이차방정식 ①이 오직 한 개의 근을 가지려면 ①의 판별식 [eqn: D]에서 [eqn: D over4 = 4a^2 -8a=0]이어야 하고, [eqn: a>0]이므로

[eqn: a=2]

(답) [eqn: -1]

(풀이)

[eqn: z^2 = LEFT ( 1-i overroot2 RIGHT )^2 = -i], [eqn: z^4 = (z^2 )^2 = -1]이므로

[eqn: z+z^2 +z^3 +z^4 +z^5 +z^6 +z^7 +z^8]

[eqn: = (z+z^2 +z^3 +z^4 )+z^4 (z+z^2 +z^3 +z^4 )=0]

즉,

[eqn: z+z^2 +cdots +z^30 +z^31 +z^32]

[eqn: = (z+z^2 +cdots+z^8 ) +z^8 (z+z^2 +cdots+z^8 )]

[eqn: +z^16 (z+z^2 +cdots+z^8 ) +z^24 (z+z^2 +cdots+z^8 )]

[eqn: = 0]

따라서

(문제의 식)[eqn: = -z^32 = -(z^4 )^8 = -1]

(답) [eqn: 2x^2 +x+1=0]

(풀이)

[eqn: alpha^2 = 3alpha -4], [eqn: beta^2 =3beta -4]이므로

[eqn: alpha^2 -2alpha +2 = (3 alpha -4) -2 alpha +2=alpha -2]

[eqn: beta^2 -2beta +2=(3beta -4)-2beta +2=beta -2]

[eqn: x^2 -3x+4=0]에서 [eqn: alpha +beta =3], [eqn: alpha beta =4]이므로

[eqn: 1over{ alpha^2 -2alpha +2}][eqn: + 1over{beta^2 -2beta +2]

[eqn: = 1over alpha-2 + 1overbeta-2]

[eqn: = {alpha+beta -4} over{alpha beta -2 (alpha +beta)+4][eqn: = - 1over2]

[eqn: 1over{ alpha^2 -2alpha +2}][eqn: times 1over{beta^2 -2beta +2]

[eqn: = 1over alpha-2 times 1overbeta-2]

[eqn: = 1over{alpha beta -2 (alpha +beta ) +4}][eqn: = 1over2]

따라서 구하는 이차방정식은

[eqn: 2x^2 +x +1=0]