다음 이차함수의 그래프와 [eqn: x]축의 위치 관계를 판단하시오.

Ⅱ-2. 이차방정식과 이차함수	동아출판(고호경 외)

교과서 밀착 문제

동아출판(고호경 외)

※ 교과서 속 문제를 재구성하여 단원별로 나열하였습니다.

Ⅱ-2. 이차방정식과 이차함수

(1) [eqn: y=x ^{2} -3x-5]

(2) [eqn: y=-x ^{2} -6x-9]

(3) [eqn: y=3x ^{2} -4x+2]

다음 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계를 판단하시오.

(1) [eqn: y=x ^{2} +3x-3], [eqn: y=2x]

(2) [eqn: y=2x ^{2} -2x], [eqn: y=2x-3]

(3) [eqn: y=-x ^{2} -5x-8], [eqn: y=x+1]

주어진 [eqn: x]의 값의 범위에서 다음 이차함수의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오.

(1) [eqn: y=x ^{2} -4x-5`(0 LEQ x LEQ 3)]

(2) [eqn: y=-2x ^{2} -8x`(2 LEQ x LEQ 4)]

[eqn: -5 LEQ x LEQ 3]에서 이차함수 [eqn: y=x^2 +6x+k]의 최솟값과 최댓값의 합이 [eqn: 12]일 때, 실수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

이차함수 [eqn: y=-2x ^{2} +ax+5]의 그래프가 [eqn: x]축과 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서 만난다. 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표의 합이 [eqn: 4]일 때, 실수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

이차함수 [eqn: y=x ^{2} +5x-3]의 그래프와 직선 [eqn: y=8x+k]가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 [eqn: k]의 값의 범위를 구하시오.

[eqn: -2 le x le1]에서 이차함수 [eqn: y=(x+1)^2 +3]의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오.

이차함수 [eqn: y=x^2 +2ax+5a-6]의 그래프가 [eqn: x]축과 한 점에서 만나도록 하는 실수 [eqn: a]의 값을 모두 구하시오.

점 [eqn: (0,``3)]을 지나고 이차함수 [eqn: y=x^2 -4x+12]의 그래프에 접하는 직선의 방정식을 모두 구하시오.

이차함수 [eqn: f(x)=x^2 +ax+b]에 대하여 [eqn: box~~~~]일 때, 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 [eqn: x]축과 서로 다른 두 점에서 만난다. [eqn: box~~~~] 안에 알맞은 조건만을 <보기>에서 있는 대로 고르시오.

(단, [eqn: a], [eqn: b]는 실수이다.)

	<보기>
ㄱ. [eqn: a^2 -4b>0] ㄴ. [eqn: a<0] ㄷ. [eqn: f(0)<0]

실수 [eqn: a]에 대하여 이차함수 [eqn: y=x^2 -2ax-3a]의 최솟값을 [eqn: f(a)]라고 하자. [eqn: - 3over2 le a le1]에서 함수 [eqn: f(a)]의 최댓값을 구하시오.

[eqn: 0le t le2]인 실수 [eqn: t]에 대하여 직선 [eqn: x=t]와 두 이차함수 [eqn: y=x^2], [eqn: y=-x^2 +4x+5]의 그래프가 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라고 하자. 선분 [eqn: rmAB]의 길이의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오.

자연수 [eqn: n]에 대하여 이차함수 [eqn: y=x^2 -2x-3+n]의 그래프와 [eqn: x]축이 만나는 점의 개수를 [eqn: f(n)]이라고 할 때, [eqn: f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)]의 값을 구하시오.

이차함수 [eqn: y=x ^{2} -9x+a]의 그래프와 직선 [eqn: y=x+k]가 두 점 [eqn: rmA it(x _{1} ,~y _{1} )], [eqn: rmB it(x _{2} ,~y _{2} )]에서 만난다. [eqn: x _{2} -x _{1} =8]일 때, 두 실수 [eqn: a], [eqn: k]에 대하여 [eqn: a-k]의 값을 구하시오.

이차함수 [eqn: y=x^2 -5x]의 그래프와 직선 [eqn: y=-x+k]가 서로 다른 두 점에서 만날 때, 두 교점의 [eqn: x]좌표의 합을 [eqn: f(k)], 곱을 [eqn: g(k)]라고 하자. [eqn: left{g(k) right}^2 =f(2)timesf(5)]를 만족시키는 실수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

[eqn: -3 LEQ x LEQ 1]에서 이차함수 [eqn: y=-2x ^{2} -4x+a]의 최솟값이 [eqn: 5]일 때, 실수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

[eqn: 1 LEQ x LEQ 4]에서 이차함수 [eqn: f(x)=x ^{2} +6x+k]의 최댓값과 최솟값의 차를 구하시오.

(단, [eqn: k]는 실수이다.)

[eqn: x]에 대한 이차함수 [eqn: y=x^2 -4ax+3a^2 -8a]의 최솟값을 [eqn: f(a)]라고 할 때, [eqn: 0 le a le2]에서 함수 [eqn: f(a)]의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

(단, [eqn: a]는 실수이다.)

자연수 [eqn: n]에 대하여 이차함수 [eqn: y=x^2 +3x+k]의 그래프와 직선 [eqn: y=x+n-3]이 만나는 점의 개수를 [eqn: f(n)]이라고 하자. [eqn: f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=5]일 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하시오.
단계1) [eqn: n=2,``3,``4,``5]일 때, 직선 [eqn: y=x+n-3]을 좌표평면 위에 모두 그리시오.
단계2) 단계1)에서 그린 좌표평면에 [eqn: f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=5]가 되도록 이차함수 [eqn: y=x^2 +3x+k]의 그래프를 그린 후 [eqn: f(2)], [eqn: f(3)]의 값을 각각 구하시오.
단계3) 상수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

다음 그림과 같이 전체 길이가 [eqn: 48` rm m]인 철사를 이용하여 합동인 두 개의 직사각형 모양으로 된 화단 울타리를 만들려고 한다. 만들 수 있는 화단의 넓이의 최댓값을 구하시오.

(단, 철사의 너비는 무시한다.)

오른쪽 그림과 같이 [eqn: x]축 위의 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]와 곡선 [eqn: y=-x^2 +8x] 위의 두 점 [eqn: rmC], [eqn: rmD]를 꼭짓점으로 하는 직사각형 [eqn: rmABCD]의 둘레의 길이의 최댓값을 구하시오.
(단, 두 점 [eqn: rmC], [eqn: rmD]는 제[eqn: 1]사분면 위의 점이다.)
단계1) 점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: a]라고 할 때, [eqn: a]의 값의 범위를 구하시오.
단계2) 직사각형 [eqn: rmABCD]의 둘레의 길이를 [eqn: a]에 대한 식으로 나타내시오.
단계3) 직사각형 [eqn: rmABCD]의 둘레의 길이의 최댓값을 구하시오.

[eqn: x]에 대한 이차함수 [eqn: y=x^2 -2(2a-k)x+k^2 +k+b]의 그래프가 실수 [eqn: k]의 값에 관계없이 항상 [eqn: x]축에 접할 때, 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 각각 구하시오.

[eqn: 0 le x lea]에서 이차함수 [eqn: y=x^2 -6x+5]의 최댓값과 최솟값의 합이 [eqn: 6]이 되도록 하는 모든 양수 [eqn: a]의 값의 합을 구하시오.

오른쪽 그림과 같이 벽면을 활용하여 길이가  [eqn: 32`rmm]인 철망으로 ㄷ자 모양의 울타리를 만들려고 한다. 울타리 안쪽 직사각형 모양 땅의 가로의 길이와 세로의 길이가 모두 [eqn: 2` rm m] 이상이 되도록 만들 때, 울타리 안쪽 땅의 넓이의 최댓값과 최솟값을 구하시오.

(단, 철망의 두께는 생각하지 않는다.)

이차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: y=f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다. 이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축이 만나는 서로 다른 두 점의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta]라고 할 때, [eqn: alpha^2 +beta^2]의 값을 구하시오.

(가) 이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=-1]은 한 점에서 만난다.

(나) 이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=-3x]가 만나는 서로 다른 두 점의 [eqn: x]좌표의 합은 [eqn: 1]이다.

[eqn: 0 le x le6]에서 이차함수 [eqn: y=x^2 -2ax]의 최댓값과 최솟값의 합이 [eqn: 8]일 때, 실수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

[eqn: 2lea le5]일 때, [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 -2ax+2a^2 -6a+5=0]이 서로 다른 두 실근 [eqn: alpha], [eqn: beta]를 갖는다. [eqn: (3-alpha)(3-beta)]의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오. (단, [eqn: a]는 실수이다.)