(답) (1) 서로 다른 두 점에서 만난다.
(2) 한 점에서 만난다(접한다).
(3) 만나지 않는다.

Ⅱ-2. 이차방정식과 이차함수	동아출판(고호경 외)

정답과 해설

동아출판(고호경 외)

※ 교과서 속 문제를 재구성하여 단원별로 나열하였습니다.

Ⅱ-2. 이차방정식과 이차함수

(답) (1) 서로 다른 두 점에서 만난다.

(2) 만나지 않는다.

(3) 한 점에서 만난다(접한다).

(답) (1) 최댓값: [eqn: -5], 최솟값: [eqn: -9]                    (2) 최댓값: [eqn: -24], 최솟값: [eqn: -64]

(답) [eqn: -3]

(답) [eqn: 8]

(답) [eqn: k>- {21} over {4}]

(답) 최댓값: [eqn: 7], 최솟값: [eqn: 3]

(답) [eqn: 2], [eqn: 3]

(답) [eqn: y=2x+3], [eqn: y=-10x+3]

(답) ㄱ, ㄷ

(답) [eqn: 9over4]

(답) 최댓값: [eqn: 7], 최솟값: [eqn: 5]

(답) [eqn: 7]

(답) [eqn: 9]

(답) [eqn: 4]

(답) [eqn: 11]

(답) [eqn: 33]

(답) [eqn: -20]

(답) 단계1), 단계2) 풀이 참조  단계3) [eqn: 1]

(풀이)
단계1)

단계2) [eqn: y=x^2 +3x+k= left(x+ 3 over2 right)^2 +k - 9over4]이므로 이차함수 [eqn: y=x^2 +3x+k]의 그래프는 꼭짓점의 좌표가 [eqn: left( - 3over2 , ```k - 9over4 right)]이고 아래로 볼록한 곡선이다.
이때 [eqn: f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=5]이므로 이차함수 [eqn: y=x^2 +3x+k]의 그래프는 다음과 같다.

따라서 [eqn: f(2)=0], [eqn: f(3)=1]
단계3) [eqn: f(3)=1]이므로 이차함수 [eqn: y=x^2 +3x+k]의 그래프와 직선 [eqn: y=x]는 한 점에서 만난다.
이차방정식 [eqn: x^2 +3x+k=x], 즉 [eqn: x^2 +2x+k=0]의 판별식 [eqn: D]가 [eqn: D=0]이어야 하므로
[eqn: D=2^2 -4times1timesk =0], [eqn: k=1]

(답) [eqn: 96` rm m ^{2}]

(풀이)

오른쪽 그림과 같이 화단의 세로의 길이를 [eqn: x`rmm]라고 하면

가로의 길이는 [eqn: 1 over2 (48-3x) `rm m]

화단의 넓이를 [eqn: y`rmm^2]라고 하면

[eqn: y=x TIMES {1} over {2} (48-3x)]

[eqn: =- {3} over {2} (x ^{2} -16x)]

[eqn: =- {3} over {2} (x-8) ^{2} +96`(0<x<16)]

따라서 화단의 넓이의 최댓값은 [eqn: x=8]일 때 [eqn: 96` rm m ^{2}]이다.

(답) [eqn: 34]

(풀이)
단계1) [eqn: y=-x^2 +8x=-(x-4)^2 +16]이므로 점 [eqn: rmA]의 좌표를 [eqn: a]라고 할 때, [eqn: a]의 값의 범위는 [eqn: 0<a<4]이다.
단계2) 점 [eqn: rmA]의 좌표는 [eqn: rmA(ita,``0)][eqn: (0<a<6)]이고 [eqn: rmD(ita,``-a^2 +8a)]이므로 [eqn: rmbarAD = -ita^2 +8a], [eqn: rmbarCD = 2(4-ita)]
따라서 직사각형 [eqn: rmABCD]의 둘레의 길이 [eqn: l]은
[eqn: l= 2left{-a^2 +8a+2(4-a)right}= -2a^2 +12a+16]
단계3) [eqn: l= -2a^2 +12a+16=-2(a-3)^2 +34]
이때 [eqn: 0<a<4]이므로 직사각형 [eqn: rmABCD]의 둘레의 길이의 최댓값은 [eqn: a=3]일 때 [eqn: 34]이다.

(답) [eqn: a= - 1over4], [eqn: b = 1over4]

(풀이)
이차함수의 그래프가 [eqn: x]축에 접하려면 이차방정식
[eqn: x^2 -2(2a-k)x+k^2 +k+b=0]의 판별식 [eqn: D]가 [eqn: D=0]이어야 하므로
[eqn: D=left{-2(2a-k)right}^2 -4times1times(k^2 +k+b)]
[eqn: =-4(4a+1)k +16a^2 -4b=0]

위의 식은 [eqn: k]의 값에 관계없이 항상 성립하므로
[eqn: 4a+1=0], [eqn: 16a^2 -4b=0], 즉 [eqn: a= - 1over4], [eqn: b = 1over4]

(답) [eqn: 6+root5 +root14]

(풀이)
[eqn: y=x^2 -6x+5][eqn: =(x-3)^2 -4]이므로 꼭짓점의 [eqn: x]

좌표는 [eqn: 3]이다.
(ⅰ) [eqn: a<3]인 경우

꼭짓점의 [eqn: x]좌표 [eqn: 3]이 주어진 범위
[eqn: 0le x le a]에 속하지 않으므로
[eqn: x=0]일 때 최댓값은 [eqn: 5], [eqn: x=a]일 때
최솟값은 [eqn: a^2 -6a+5]
[eqn: a^2 -6a+10=6]에서 [eqn: a^2 -6a+4=0], 즉
[eqn: a=3+-root5]
(ⅱ) [eqn: 3 le a le6]인 경우

[eqn: x=0]일 때 최댓값은 [eqn: 5], [eqn: x=3]일 때 최솟값은 [eqn: -4]이므로 조건을 만족시키지 않는다.

(ⅲ) [eqn: a >6]인 경우

[eqn: x=a]일 때 최댓값은 [eqn: a^2 -6a+5], [eqn: x=3]일 때 최솟값은 [eqn: -4]이므로 [eqn: a^2 -6a+1=6]에서

[eqn: a^2 -6a-5=0], 즉 [eqn: a=3+-root14]
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 조건을 만족시키는 양수 [eqn: a]의 값의 합은
[eqn: 3+root5 +3+root14 = 6+root5 +root14]

(답) 최댓값: [eqn: 128`rmm^2], 최솟값: [eqn: 56`rmm^2]

(풀이)
세로의 길이를 [eqn: x`rmm]라고 하면 가로의 길이는 [eqn: (32-2x)`rmm]이고, 가로의 길이와 세로의 길이가 모두 [eqn: 2`rmm] 이상이므로
[eqn: 2 LEQ x LEQ 15]
울타리의 안쪽 땅의 넓이를 [eqn: y`rmm^2]라고 하면
[eqn: y=x times(32-2x)=-2x^2 +32x=-2(x-8)^2 +128]

꼭짓점의 [eqn: x]좌표 [eqn: 8]은 [eqn: 2 LEQ x LEQ 15]에 속한다.
[eqn: x=2]일 때 [eqn: y=56], [eqn: x=8]일 때 [eqn: y=128], [eqn: x=15]일 때 [eqn: y=30]
따라서 울타리의 안쪽 땅의 넓이의 최댓값은 [eqn: 128`rmm^2], 최솟값은 [eqn: 56`rmm^2]이다.

(답) [eqn: 10]

(풀이)
조건 ㈎에서 이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 꼭짓점의 [eqn: y]좌표가 [eqn: -1]이므로
[eqn: f(x)=(x-p)^2 -1] (단, [eqn: p]는 실수)	……(가)
조건 ㈏에서 두 교점의 [eqn: x]좌표의 합은 이차방정식 [eqn: (x-p) ^{2} -1=-3x], [eqn: x ^{2} -(2p-3)x+p ^{2} -1=0]의 두 실근의 합과 같다.
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
[eqn: 2p-3=1], 즉 [eqn: p=2], [eqn: f(x)=x^2 -4x+3]……(나)
이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축이 만나는 두 점의 [eqn: x]좌표는 이차방정식 [eqn: x^2 -4x+3=0]의 두 실근이므로
[eqn: x=1] 또는 [eqn: x=3]	……(다)
따라서 [eqn: alpha^2 +beta^2 =1^2 +3^2 =10]	……(라)

단계	채점 요소	배점률
(가)	이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 꼭짓점의 [eqn: y]좌표 구하기	[eqn: 30%]
(나)	이차함수 [eqn: y=f(x)]의 식 구하기	[eqn: 30%]
(다)	이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축의 교점의 [eqn: x]좌표 구하기	[eqn: 20%]
(라)	[eqn: alpha^2 +beta^2]의 값 구하기	[eqn: 20%]

(답) [eqn: 2]

(풀이)
[eqn: y=x^2 -2ax=(x-a)^2 -a^2]이므로 꼭짓점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: a]이다.
(ⅰ) [eqn: a<0] 또는 [eqn: a>6]일 때
꼭짓점의 [eqn: x]좌표가 주어진 범위에 속하지
않으므로 최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: 36-12a]
[eqn: 36-12a=8]에서 [eqn: 12a=28], [eqn: a= 7 over3]
따라서 조건을 만족시키는 실수 [eqn: a]는
존재하지 않는다.	……(가)

(ⅱ) [eqn: 0le a le 3]일 때
꼭짓점의 [eqn: x]좌표가 주어진 범위에 속하므로
최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: 36-12a+(-a^2 )]
[eqn: -a^2 -12a+36=8]에서 [eqn: a^2 +12a-28=0]
[eqn: (a+14)(a-2)=0], [eqn: a=-14] 또는 [eqn: a=2]
따라서 조건을 만족시키는 실수 [eqn: a]의 값은
[eqn: a=2]	……(나)
(ⅲ) [eqn: 3< a le6]일 때
꼭짓점의 [eqn: x]좌표가 주어진 범위에 속하므로
최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: -a^2]이고
[eqn: -a^2 =8]에서 [eqn: a^2 =-8]
따라서 조건을 만족시키는 실수 [eqn: a]의 값은
존재하지 않는다.	……(다)
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 [eqn: a=2]	……(라)

단계	채점 요소	배점률
(가)	[eqn: a<0] 또는 [eqn: a>6]일 때 실수 [eqn: a]의 값 구하기	[eqn: 30%]
(나)	[eqn: 0le a le3]일 때 실수 [eqn: a]의 값 구하기	[eqn: 30%]
(다)	[eqn: 3<a le6]일 때 실수 [eqn: a]의 값 구하기	[eqn: 30%]
(라)	실수 [eqn: a]의 값 구하기	[eqn: 10%]

(답) [eqn: 4,~-4]

(풀이)
이차방정식 [eqn: x^2 -2ax+2a^2 -6a+5=0]의 두 실근이 [eqn: alpha], [eqn: beta]이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
[eqn: alpha+beta=2a], [eqn: alphabeta = 2a^2 -6a+5]	……(가)
[eqn: (3-alpha)(3-beta)=9-3(alpha+beta)+alphabeta]
[eqn: = 2a^2 -12a+14][eqn: =2 (a-3)^2 -4]
……(나)
이때 [eqn: 2le a le5]이므로 [eqn: a=5]일 때 최댓값은 [eqn: 4], [eqn: a=3]일 때 최솟값은 [eqn: -4]이다.	……(다)

단계	채점 요소	배점률
(가)	이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 [eqn: alpha+beta], [eqn: alphabeta]를 [eqn: a]에 대한 식으로 나타내기	[eqn: 30%]
(나)	[eqn: (3-alpha)(3-beta)]를 [eqn: a]에 대한 식으로 나타내기	[eqn: 30%]
(다)	[eqn: (3-alpha)(3-beta)]의 최댓값과 최솟값 구하기	[eqn: 40%]