(답) (1) 2   (2) 0   (3) 1

정답과 해설

비상교육(김원경 외)

Ⅱ-2. 이차방정식과 이차함수

(답) [eqn: -5], [eqn: 5]

(답) (1) 한 점에서 만난다(접한다).

(2) 서로 다른 두 점에서 만난다.

(3) 만나지 않는다.

(답) (1) 최댓값: [eqn: 1], 최솟값: [eqn: -8]

(2) 최댓값: [eqn: 9], 최솟값: [eqn: -5]

(답) [eqn: a=2], [eqn: b=-1]

(답) [eqn: a>1]

(답) [eqn: (1`,`1)]

(풀이)

이차방정식 [eqn: x^2 -2x -k-1=0]의 판별식 [eqn: D]에서

[eqn: D over4 =k+2=0]이어야 하므로 [eqn: k=-2]

즉, 이차방정식 [eqn: x^2 +x-1=3x-2]에서

[eqn: x=1]

따라서 교점의 좌표는 [eqn: (1`,``1)]이다.

(답) [eqn: m=-6], [eqn: n=5]

(풀이)

이차방정식의 계수가 모두 유리수이므로 한 근이 [eqn: 2-root5]이면 나머지 한 근은 [eqn: 2+root5]이다.

[eqn: (2-root5 ) + (2 + root5 ) = - (m+2)]이므로 [eqn: m=-6]

[eqn: (2-root5 ) (2 + root5 ) = -n+4]이므로 [eqn: n=5]

(답) [eqn: 8]

(풀이)

[eqn: -2 le x le 1]에서 이차함수 [eqn: y=x^2 +2x+4]의 최솟값은 [eqn: x=-1]일 때 [eqn: 3]이고, 이차함수 [eqn: y=x^2 -6x+k]의 최솟값은 [eqn: x=1]일 때 [eqn: k-5]이다.

따라서 [eqn: 3=k-5]이므로 [eqn: k=8]

(답) [eqn: k >5]

(답) [eqn: 5]

(풀이)

이차방정식 [eqn: x^2 -3x+3-k=0]의 한 근이 [eqn: x=-2]이므로 [eqn: k=13]

따라서 이차방정식 [eqn: x^2 -3x-10=0]의 해는 [eqn: x=-2] 또는 [eqn: x=5]이므로 다른 교점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 5]이다.

(답) [eqn: a>3]

(풀이)

[eqn: f(x)= x^2 -2ax+a+5]라고 하면

[eqn: f(2) =-3a+9 <0]이어야 하므로 [eqn: a>3]

(답) [eqn: a=-2], [eqn: b=-4]

(풀이)

[eqn: x^2 -2(k+a)x+k^2 -4k-b=0]의 판별식 [eqn: D]에서

[eqn: D over4 = (2a+4)k+(a^2 +b)=0]

이 등식이 [eqn: k]에 대한 항등식이어야 하므로

[eqn: 2a+4=0], [eqn: a^2 +b=0]

따라서 [eqn: a=-2], [eqn: b=-4]

(답) [eqn: 2]

Ⅱ-2. 이차방정식과 이차함수	비상교육(김원경 외)

(풀이)

이차방정식 [eqn: x^2 -2x+k-3=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라고 하면

[eqn: |`alpha - beta`| = 2 root2], [eqn: alpha + beta =2], [eqn: alpha beta = k-3]

[eqn: (alpha - beta )^2 = (alpha +beta )^2 -4 alpha beta]이므로

[eqn: 8= 4-4(k=3)], [eqn: k=2]

(답) [eqn: 1920]

(풀이)

오른쪽 그림과 같이 직육면체의 밑면의 가로의 길이와 세로의 길이를 각각 [eqn: x], [eqn: y] [eqn: (0<x<16], [eqn: 0<y<20)]라고 하면

[eqn: (16-x)`:`y=16`:`20]이므로

[eqn: y= 5 over4 (16-x)]

직육면체의 부피를 [eqn: V]라고 하면

[eqn: V = x times 5 over4 (16-x) times24 = -30(x-8)^2 +1920]

이때 [eqn: 0 <x<16]이므로 최댓값은 [eqn: x=8]일 때 [eqn: 1920]이다.

따라서 직육면체의 부피의 최댓값은 [eqn: 1920]이다.

(답) [eqn: a=4], [eqn: b=-2]

(풀이)

이차방정식 [eqn: x^2 -2 (2k+b)x +4k^2 -8k+a=0]의 판별식 [eqn: D]에서

[eqn: D over4 = (4b+8)k+b^2 -a=0]

이 등식이 [eqn: k]에 대한 항등식이어야 하므로

[eqn: 4b+8=0], [eqn: b^2 -a=0], 즉 [eqn: a=4], [eqn: b=-2]

(답) [eqn: 40 over3]

(풀이)

점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: a`(0<a<2)]라고 하면

[eqn: bar{rmAB}][eqn: =2a], [eqn: bar{rmAD}][eqn: = LEFT ( - a^2 over2 +2 RIGHT )-(a^2 -4) =6 - 3a^2 over2]

직사각형 [eqn: rmABCD]의 둘레의 길이를 [eqn: y]라고 하면

[eqn: y=2 left{ 2a+ LEFT ( 6 - 3a^2 over2 RIGHT ) right} =-3 LEFT ( a - 2over3 RIGHT )^2 + 40 over3]

이때 [eqn: 0<a<2]이므로 구하는 최댓값은 [eqn: 40 over3]이다.

(답) [eqn: a=2], [eqn: b=-9]

(풀이)

[eqn: -1 le x lea]에서 이차함수

[eqn: y=-x^2 +5x-3= - LEFT ( x- 5over2 RIGHT )^2 + 13 over4]

의 최댓값이 3이므로 [eqn: a < 5 over2]

즉, 이차함수의 최댓값은 [eqn: x=a]일 때 [eqn: 3]이므로

[eqn: -a^2 +5a-3=3]에서 [eqn: a=2] 또는 [eqn: a=3]

그런데 [eqn: a < 5 over2]이므로 [eqn: a=2]

최솟값은 [eqn: x=-1]일 때 [eqn: -9]이므로 [eqn: b=-9]

(답) (1) [eqn: f(x)= (3000-100x)(200+10x)]

(2) 최댓값: [eqn: 625000], 최솟값: [eqn: 525000]

(풀이)

(1) 샌드위치 한 개의 가격은 [eqn: (3000-100x )]원, 하루 판매량은 [eqn: (200+10x)]개이므로

[eqn: f(x)= (3000-100x)(200+10x)]

(2) [eqn: f(x)= (3000-100x)(200+10x)]

[eqn: =-1000(x-5)^2 +625000]

이때 [eqn: 0 le x le 15]이므로 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: x=5]일 때 [eqn: 625000], 최솟값은 [eqn: x=15]일 때 [eqn: 525000]이다.

(답) [eqn: 10]

(풀이)

이차함수 [eqn: y=f(x)]의 이차항의 계수가 양수이므로 이차함수 [eqn: y=h(x)=f(x)-g(x)]의 이차항의 계수도 양수이고, 이차방정식 [eqn: f(x)-g(x)=0]의 두 근이 [eqn: 1], [eqn: 5]이므로 [eqn: y=h(x)]의 그래프는 [eqn: x]축과 두 점 [eqn: (1`,``0)], [eqn: (5`,``0)]에서 만난다.

이때 두 근이 [eqn: 1], [eqn: 5]이고 이차항의 계수가 [eqn: a`(a>0)]인 이차방정식은 [eqn: a(x^2 -6x+5)=0]이므로

[eqn: h(x)= a(x^2 -6x+5) =a(x-3)^2 -4a]

라고 하자.

[eqn: 0 le x le 4]에서 [eqn: y=h(x)]의 최솟값은 [eqn: x=3]일 때 [eqn: -4a]이므로

[eqn: -4a=-8], [eqn: a=2]

따라서 [eqn: h(x)= 2(x-3)^2 -8]이므로 구하는 최댓값은 [eqn: x=0]일 때 10이다.

(답) 최댓값: [eqn: 0], 최솟값: [eqn: - 9 over4]

(풀이)

이차방정식 [eqn: 2x^2 -(4k+1)x+2k^2 +k-1=0]의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta]이므로

[eqn: alpha+ beta = 4k+1 over2], [eqn: alpha beta = {2k^2 +k-1} over2]

이때 [eqn: (2 alpha -1)(2 beta -1)=4 alpha beta -2 (alpha + beta ) +1]이므로

[eqn: (2 alpha -1)(2 beta -1)=4k^2 -2k-2=4 LEFT ( k- 1over4 RIGHT )^2 - 9 over4]

이때 [eqn: 0 le k le 1]이므로 최댓값은 [eqn: k=1]일 때 [eqn: 0]이고, 최솟값은 [eqn: k = 1over4]일 때 [eqn: - 9 over4]이다.