(답) (1) [eqn: x=3] 또는 [eqn: x= {-3±3 sqrt {3} i} over {2}]
(2) [eqn: x=± sqrt {3}] 또는 [eqn: x=± sqrt {2} i]

정답과 해설

동아출판(고호경 외)

Ⅱ-3. 여러 가지 방정식과 부등식

(답) (1) [eqn: x=1] 또는 [eqn: x=-2 +- i]
(2) [eqn: x=+-1] 또는 [eqn: x= {-1+- sqrt { 5} } over2]

(답) (1) [eqn: cases{ `x=1 #` y=-2 }] 또는 [eqn: cases{ `x=2 # `y=-1 }]
(2)  [eqn: cases{ `x=-1 #` y=5 }] 또는 [eqn: cases{ `x=5 # `y=-1 }]

(답) (1) [eqn: {cases{`x=4#`y=-2}}] 또는 [eqn: {cases{`x=-4#`y=2}}] 또는 [eqn: {cases{`x= sqrt {10}#`y= sqrt {10}}}]  또는 [eqn: {cases{`x=- sqrt {10}#`y=- sqrt {10}}}]
(2) [eqn: cases{ ` x= 3 #`y= 1 }] 또는 [eqn: cases{ ` x= -3 #`y= -1 }] 또는 [eqn: cases{ `x=sqrt5 # `y= -sqrt5 }]      또는 [eqn: cases{ `x= - sqrt5 # `y= sqrt5 }]

(답) (1) [eqn: 2LEQ x<4]    (2) [eqn: x GEQ 1]

(답) (1) 해는 없다.    (2) [eqn: x=5]

(답) (1) [eqn: -1<x LEQ 2] (2) [eqn: 10<x<12]

(답) (1) [eqn: x le -6] 또는 [eqn: x ge2]
(2) [eqn: - 1over2 <x< 7over2] (3) [eqn: x LEQ 2 over3] 또는 [eqn: x GEQ2]

(답) (1) [eqn: -2 le x le6]  (2) [eqn: x!= 3over2]인 모든 실수
(3) [eqn: x=4]  (4) [eqn: x > 1] 또는 [eqn: x< -12]

(답) (1) [eqn: - 6over5 <x< -1]
(2) [eqn: -3<x<0] 또는 [eqn: 5<x<6]

(답) (1) [eqn: x=4] 또는 [eqn: x= -2 +- 2root3 i]
(2) [eqn: x=+-root6] 또는 [eqn: x= +- i]

(답) (1) [eqn: cases{ `x=-3 #` y=1 }] 또는 [eqn: cases{ `x=3# `y=-1 }]
(2) [eqn: cases{ `x=- root3 #` y= 2root3 }] 또는 [eqn: cases{ `x=root3# `y=-2root3 }]

(답) (1) [eqn: x ge1]  (2) 해는 없다.

(답) (1) [eqn: -3 <x<6]  (2) [eqn: -1 le x le 5over2]

(답) [eqn: a=-11], 나머지 두 근의 합: [eqn: 5]

(답) [eqn: 2]

(답) 단계1) [eqn: a+b=-9]  단계2) [eqn: a=-1], [eqn: b=-8]

(풀이)
단계1) 주어진 방정식에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: 1+a+b+8=0], [eqn: a+b=-9]
단계2) [eqn: x=1]이 삼차방정식의 근이므로 조립제법을 이용하여 인수분해 하면
[eqn: (x-1)left{x^2 +(a+1)x+a+b+1 right}{=0]

이때 [eqn: alpha], [eqn: beta]는 방정식 [eqn: x^2 +(a+1)x+a+b+1=0]의 두 근이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
[eqn: alpha+beta=-(a+1)], [eqn: alphabeta=a+b+1][eqn: =-9+1=-8]
[eqn: alpha^2 +beta^2 =16]에서 [eqn: (alpha+beta)^2 -2alphabeta=16]
[eqn: left{-(a+1)right}^2 +16=16], [eqn: (a+1)^2 =0], [eqn: a=-1]
[eqn: a+b=-9]에 [eqn: a=-1]을 대입하면 [eqn: b=-8]

Ⅱ-3. 여러 가지 방정식과 부등식	동아출판(고호경 외)

(답) [eqn: {9 sqrt {5}} over {5}]

(답) [eqn: +-2root5]

(답) [eqn: a=-7], [eqn: b=-2]

(답) [eqn: 36 <x le40], 보통

(답) (1) [eqn: x"<" -2] 또는 [eqn: x>5] (2) [eqn: -1 le x le1]

(답) 단계1) [eqn: f(t)= 6over5 t]  단계2) [eqn: 65 LEQ t LEQ 85]

(풀이)
단계1) [eqn: f(t)= 6over5 t]
단계2) [eqn: LEFT | 6over5 t -90 RIGHT | le12]에서 [eqn: -12 le 6over5 t -90 le12]
[eqn: -12 le 6over5 t -90]에서 [eqn: t ge65]
[eqn: 6over5 t-90 le12]에서 [eqn: t LEQ 85]
따라서 구하는 부등식의 해는
[eqn: 65 LEQ t LEQ 85]

(답) [eqn: -10]

(답) [eqn: -2 <x le0]

(답) 시속 [eqn: 60`rmkm]
(풀이)
[eqn: 1over200 x^2 + 1over5 x le30]에서 [eqn: x^2 +40x-6000 le0]
[eqn: (x+100)(x-60) le0], [eqn: -100 le x le 60]
이때 [eqn: x>0]이므로 [eqn: 0<x le60]
따라서 구하는 자동차의 최대 속력은 시속 [eqn: 60`rmkm]이다.

(답) [eqn: - 7 over4]

(답) [eqn: {5 sqrt {2}} over {2}]

(답) [eqn: 21]

(답) [eqn: 4]

(답) [eqn: a=20], [eqn: b=10]

(답) [eqn: 20]

(풀이)
[eqn: {x(x+20)(x+30)} over5000 =8][eqn: (x>0)]이므로
[eqn: x ^{3} +50x ^{2} +600x-40000=0]

[eqn: (x-20)(x^2 +70x+2000)=0]
그런데 [eqn: x]는 실수이므로 [eqn: x=20]

(답) 가로의 길이: [eqn: 12`rmm], 세로의 길이: [eqn: 4`rmm]

(풀이)
화단의 가로의 길이와 세로의 길이를 각각 [eqn: x`rmm], [eqn: y`rmm]라고 하면 화단의 둘레의 길이가 [eqn: 32`rmm]이므로 [eqn: 2(x+y)=32]
울타리의 둘레의 길이가 [eqn: 4root10 `rmpi`rmm]이므로 [eqn: root{x^2 +y^2 } pi =160pi]
연립방정식 [eqn: cases{ x+y=16& # x^2 +y^2 =160]을 풀면
[eqn: cases{ x=4& #y=12 & }] 또는 [eqn: cases{ x=12& #y=4 & }]
이때 [eqn: x>y]이므로 [eqn: x=12], [eqn: y=4]
따라서 화단의 가로의 길이는 [eqn: 12`rmm], 세로의 길이는 [eqn: 4`rmm]이다.

(답) 단계1) 풀이 참조 단계2) [eqn: cases{ y= 4(x-1)& #y^2 =4(x+4) & }]
단계3) [eqn: 15]

(풀이)
단계1) 삼각형 [eqn: rmABC]와 삼각형 [eqn: rmDBA]에서
[eqn: rmangleABC = angle DBA], [eqn: rmangleBCA= angleBAD]이므로
[eqn: rm triangle ABC]□[eqn: rmtriangle DBA]([eqn: rmAA] 닮음)
단계2) [eqn: rmbarCD =itx]이므로 [eqn: rmbarAC =3barCD -3=it3x-3]
[eqn: rmbarAB :barDB = barAC :barDA]에서
[eqn: y:4= (3x-3):3], [eqn: y= 4(x-1)]
[eqn: rmbarAB :barDB = barBC :barBA]에서
[eqn: y: 4= (x+4):y], [eqn: y^2 =4(x+4)]
단계3) 연립방정식 [eqn: cases{ y= 4(x-1)& #y^2 =4(x+4) & }]를 풀면

[eqn: cases{x=0 & # y=-4] 또는 [eqn: cases{ x= 9over4& #y=5 & }]
이때 [eqn: x>0]이므로 [eqn: x= 9over4], [eqn: y=5]
따라서 삼각형 [eqn: rmABC]의 둘레의 길이는
[eqn: rmbarAB +barBC +barCA = ity+(x+4)+(3x-3)]
[eqn: =y+4x+1]
[eqn: =5+9+1=15]

(답) [eqn: 11]

(풀이)
단계1) 주어진 연립부등식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[eqn: {cases{x-1<2x-5&~~~ CDOTS CDOTS ㉠#2x-5<a&~~~ CDOTS CDOTS ㉡}}]
㉠을 풀면 [eqn: x>4], ㉡을 풀면 [eqn: x< {a+5} over {2}]
주어진 연립부등식을 만족시키는 모든 정수 [eqn: x]의 값의 합이 [eqn: 18]이므로 구하는 연립부등식의 해는
[eqn: 4<x< {a+5} over {2}]
단계2) 모든 정수 [eqn: x]의 값이 [eqn: 18]이 되려면
[eqn: {cases{{a+5} over {2} >7&~~~ CDOTS CDOTS ㉢#{a+5} over {2} LEQ 8&~~~ CDOTS CDOTS ㉣}}]
㉢을 풀면 [eqn: a>9], ㉣을 풀면 [eqn: a LEQ 11]
따라서 실수 [eqn: a]의 값의 범위는
[eqn: 9<a LEQ 11]
단계3) [eqn: 9<a LEQ 11]이므로 자연수 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: 11]이다.

(답) [eqn: 3]

(풀이)
(ⅰ) [eqn: x<2]일 때 [eqn: -(x-2) <a+5], [eqn: x>-a-3]
그런데 [eqn: x<2]이고 [eqn: a]는 자연수이므로
[eqn: -a-3<x<2]

(ⅱ) [eqn: x ge2]일 때 [eqn: x-2<a+5], [eqn: x<a+7]
그런데 [eqn: x ge2]이고 [eqn: a]는 자연수이므로
[eqn: 2 le x <a+7]
(ⅰ), (ⅱ)에서 주어진 부등식의 해는 [eqn: -a-3<x<a+7]
따라서 [eqn: -a-3<x<a+7]인 정수 [eqn: x]는 [eqn: -a-2], [eqn: -a-1], [eqn: -a], [eqn: cdots], [eqn: a+6]이고, 정수 [eqn: x]의 개수는 [eqn: 15]개이므로
[eqn: (a+6)-(-a-2)+1=15], [eqn: 2a+9=15], [eqn: a=3]

(답) [eqn: a LEQ -2]

(풀이)

단계1) [eqn: LEFT | x-1 RIGHT |le3]에서 [eqn: -3 le x-1 le3]
[eqn: -3 le x-1]에서 [eqn: x ge-2]	[eqn: cdotscdots]㉠
[eqn: x-1 le 3]에서 [eqn: x le4]	[eqn: cdotscdots]㉡
㉠, ㉡에서 부등식 [eqn: LEFT | x-1RIGHT |le3]의 해는
[eqn: -2 le x le4]
단계2) [eqn: x^2 -(3+a)x+3a le0]에서

[eqn: (x-a)(x-3) le0]
(ⅰ) [eqn: a<3]일 때, 해는 [eqn: a le x le3]
(ⅱ) [eqn: a=3]일 때, 해는 [eqn: x=3]
(ⅲ) [eqn: a>3]일 때, 해는 [eqn: 3 le x lea]

단계3) 단계1의 해가 [eqn: -2 le x le4]이므로 주어진 연립부등식을 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 6]이  되려면 단계2의 해가 [eqn: a le x le3]이어야 한다.
따라서 구하는 실수 [eqn: a]의 값의 범위는

[eqn: a LEQ -2]

(답) [eqn: 1]

(풀이)
[eqn: w]가 방정식 [eqn: x^3 =1]의 근이므로 [eqn: w^3 =1]
[eqn: x^3 =1], 즉 [eqn: x^3 -1=0]에서 [eqn: (x-1)(x^2 +x+1)=0]
이차방정식 [eqn: x^2 +x+1=0]이 허근을 가지므로 [eqn: w]는 방정식 [eqn: x^2 +x+1=0]의 근이다. 즉,
[eqn: w^2 +w+1=0]
따라서
[eqn: 1+w+w^2 +cdots +w^60]
[eqn: =(1+w+w^2 )+(w^3 +w^4 +w^5 )+(w^6 +w^7 +w^8 )]

[eqn: +cdots+(w^57 +w^58 +w^59 )+w^60]

[eqn: =(1+w+w^2 ) +(1+w+w^2 ) +(1+w+w^2 )]

[eqn: +cdots+(1+w+w^2 ) +w^3]

[eqn: =w^3 =1]

(답) [eqn: 24]

(풀이)
[eqn: {cases{2x+3>5&~~~cdotscdots㉠#5x+2<n+3&~~~cdotscdots㉡ }]
㉠을 풀면 [eqn: x > 1], ㉡을 풀면 [eqn: x < n+1 over5]
주어진 연립부등식을 만족시키는 모든 정수 [eqn: x]의 값의 합이 [eqn: 9]가 되려면 [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]이어야 하므로
[eqn: 4< n+1 over5 le5], [eqn: 19<n le 24]
따라서 구하는 자연수 [eqn: n]의 최댓값은 [eqn: 24]이다.

(답) [eqn: 7le a le9]

(풀이)

긴 변의 길이와 짧은 변의 길이의 합이 [eqn: 10`rmm]이므로 짧은 변의 길이는

[eqn: (10-a)`rmm]이다. (단, [eqn: 0<a<10])
㈎에서 [eqn: a- (10-a) ge4]	[eqn: cdotscdots]㉠
㈏에서 [eqn: a(10-a) ge9]	[eqn: cdotscdots]㉡
㉠을 풀면 [eqn: 2a-10 ge4], [eqn: a ge7]
㉡을 풀면 [eqn: a^2 -10a+9 le0], [eqn: (a-1)(a-9)le0],
[eqn: 1le a le9]
따라서 구하는 [eqn: a]의 값의 범위는
[eqn: 7le a le9]

(답) [eqn: 50]

(풀이)

[eqn: 5]월에 지급한 교통비 지원금이 [eqn: 600]만 원 이상이므로
[eqn: n times 2000(n+10)ge6000000]	……(가)
[eqn: n^2 +10n-3000ge0]

[eqn: (n+60)(n-50) ge0]
[eqn: n le -60] 또는 [eqn: n ge50]	……(나)
따라서 구하는 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 50]이다.	……(다)

단계	채점 요소	배점률
(가)	문제의 상황을 부등식으로 나타내기	[eqn: 40%]
(나)	부등식의 해 구하기	[eqn: 40%]
(다)	[eqn: n]의 최솟값 구하기	[eqn: 20%]

(답) [eqn: 1over2], [eqn: 0], [eqn: -4]

(풀이)

[eqn: x^3 +(2a+1)x^2 -2ax-4a=0]에서
[eqn: (x+1)(x^2 +2ax -4a )=0]	……(가)
이므로 주어진 삼차방정식의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 2]인 경우는 다음과 같다.
(ⅰ) [eqn: x^2 +2ax-4a=0]이 실근 [eqn: 1], [eqn: alpha]([eqn: alpha!=1])를
갖는 경우
[eqn: x=1]이 이차방정식 [eqn: x^2 +2ax-4a=0]의
근이므로
[eqn: 1+2a-4a=0], [eqn: a= 1over2]
즉, [eqn: x^2 +x-2=0]이므로
[eqn: x=1] 또는 [eqn: x=-2]
따라서 [eqn: a= 1over2]이면 주어진 삼차방정식의
서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2]이다.	……(나)

(ⅱ) [eqn: x^2 +2ax-4a=0]이 [eqn: 1]이 아닌 중근을 갖는
경우
이차방정식 [eqn: x^2 +2ax-4a=0]의 판별식 [eqn: D]가
[eqn: D=0]이어야 하므로
[eqn: D= (2a)^2 -4times1times(-4a)=0], [eqn: a(a+4)=0]
[eqn: a=0] 또는 [eqn: a=-4]
① [eqn: a=0]이면 [eqn: x^2 =0]이므로 [eqn: x=0](중근)
② [eqn: a=-4]이면 [eqn: x^2 -8a+16=0]이므로
[eqn: x=4](중근)
따라서 [eqn: a=0] 또는 [eqn: a=-4]이면 주어진
삼차방정식의 서로 다른 실근의 개수는
[eqn: 2]이다.	……(다)
(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 실수 [eqn: a]의 값은 [eqn: 1over2], [eqn: 0], [eqn: -4]이다.	……(라)

단계	채점 요소	배점률
(가)	삼차방정식의 좌변을 인수분해하기	[eqn: 20%]
(나)	이차방정식의 실근이 [eqn: 1], [eqn: alpha (alpha!=1)]인 경우 [eqn: a]의 값 구하기	[eqn: 35%]
(다)	이차방정식이 중근을 갖는 경우 [eqn: a]의 값 구하기	[eqn: 35%]
(라)	실수 [eqn: a]의 값 모두 구하기	[eqn: 10%]

(답) [eqn: a= 13], [eqn: b= 7over2]

(풀이)
(ⅰ) [eqn: x"<" -2]일 때

[eqn: -(x+2)-3(x-1) LEQ a], [eqn: x ge 1-a over4]

그런데 [eqn: x"<"-2]이고 주어진 부등식의 해가
[eqn: -3le x leb]이므로 [eqn: 1-a over4 le x < -2]
이때 [eqn: 1-a over4 =-3]이므로 [eqn: a= 13]	……(가)

(ⅱ) [eqn: -2 LEQ x < 1]일 때

[eqn: x+2-3(x-1) LEQ13], [eqn: x GEQ -8]

그런데 [eqn: -2 LEQ x < 1]이므로 [eqn: -2 LEQ x<1]
……(나)

(ⅲ) [eqn: x GEQ 1]일 때

[eqn: x+2+3(x-1) LEQ 13], [eqn: x LEQ 7over2]

그런데 [eqn: x GEQ1]이므로 [eqn: 1 LEQ x LEQ {7} over {2}]	……(다)

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 부등식의 해는 [eqn: -3 LEQ x LEQ 7over2]

이때 부등식의 해가 [eqn: -3 LEQ x LEQ b]이므로 [eqn: b= 7over2]	……(라)

단계	채점 요소	배점률
(가)	[eqn: x< -2]일 때 부등식의 해와 상수 [eqn: a]의 값 구하기	[eqn: 30%]
(나)	[eqn: -2 le x<1]일 때 부등식의 해 구하기	[eqn: 30%]
(다)	[eqn: x ge1]일 때 부등식의 해 구하기	[eqn: 30%]
(라)	상수 [eqn: b]의 값 구하기	[eqn: 10%]