(답) (1) [eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=2] 또는 [eqn: x=-3]
(2) [eqn: x=+-root3] 또는 [eqn: x=+-i]

Ⅱ-3. 여러 가지 방정식과 부등식	미래엔(황선욱 외)

정답과 해설

미래엔(황선욱 외)

Ⅱ-3. 여러 가지 방정식과 부등식

(답) (1) [eqn: {cases{`x=1#`y=0}}] 또는 [eqn: {cases{`x=2#`y=-1}}]
(2) [eqn: {cases{`x=2sqrt2#`y=sqrt2}}] 또는 [eqn: cases{` x=-2sqrt2# `y=- sqrt { 2} }]
또는 [eqn: cases{ `x= sqrt { 2} #` y=-2 sqrt { 2} }] 또는 [eqn: cases{ `x= -sqrt { 2} #` y=2 sqrt { 2} }]

(답) (1) [eqn: -1 LEQ x<3] (2) [eqn: x<3]

(답) (1) [eqn: x"<" - 8over3] 또는 [eqn: x> 2] (2) [eqn: - 3 le x le 5]

(답) (1) [eqn: -4 LEQ x LEQ 2] (2) [eqn: x< {3} over {2}] 또는 [eqn: x>2]

(답) [eqn: 3le x < 10over3]

(답) ①

(답) [eqn: a=-6], [eqn: b=21], 나머지 두 근: [eqn: 2], [eqn: 2-3i]

(답) [eqn: 6`rmm]

(답) [eqn: 81]

(풀이)
주어진 두 연립방정식의 공통인 해는 연립방정식 [eqn: cases{ x+y=8& # x^2 +y^2 =32& }]의 해와 같다.	……(가)

[eqn: x+y=8]에서 [eqn: y=8-x] ……㉠

㉠을 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =32]에 대입하면

[eqn: x^2 +(8-x)^2 =32], [eqn: 2x^2 -16x+32=0],

[eqn: x^2 -8x+16=0], [eqn: (x-4)^2 =0]
즉, [eqn: x=4]
[eqn: x=4]를 ㉠에 대입하면 [eqn: y=4]	……(나)

또 [eqn: x=4], [eqn: y=4]를 [eqn: ax-y=5], [eqn: x-y=b]에 대입하여 풀면 [eqn: a= 9 over4], [eqn: b=0]

따라서 [eqn: 16a^2 +b^2 =81]	……(다)

단계	채점 요소	배점률
(가)	주어진 두 연립방정식과 해가 같은 연립방정식 구하기	[eqn: 20%]
(나)	[eqn: x], [eqn: y]의 값 구하기	[eqn: 40%]
(다)	[eqn: 16a^2 +b^2]의 값 구하기	[eqn: 40%]

(답) [eqn: -3 le a le2]

(답) [eqn: a le -2]

(풀이)

[eqn: {cases{`x ^{2} -2x-8 LEQ 0&~ CDOTS CDOTS ㉠#`(x-a)(x-3)>0&~ CDOTS CDOTS ㉡}}]

㉠에서 [eqn: (x+2)(x-4) LEQ 0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: -2 LEQ x LEQ 4]                 ……(가)

[eqn: -2 LEQ x LEQ 4]일 때 부등식 ㉡의 해는 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: a>3]일 때

[eqn: x<3] 또는 [eqn: x>a]이므로

연립부등식의 해가 [eqn: 3<x LEQ 4]가 될 수 없다.

(ⅱ) [eqn: a<3]일 때

[eqn: x<a] 또는 [eqn: x>3]

이때 연립부등식의 해는 [eqn: 3<x LEQ 4]	……(나)

따라서 연립부등식의 해가 [eqn: 3<x LEQ 4]가 되려면 [eqn: a LEQ -2]이어야 한다.	……(다)

단계	채점 요소	배점률
(가)	[eqn: x ^{2} -2x-8 LEQ 0]의 해 구하기	[eqn: 20%]
(나)	경우를 나누어 연립부등식의 해가 [eqn: 3<x LEQ 4]가 되는 경우 파악하기	[eqn: 50%]
(다)	[eqn: a]의 값의 범위 구하기	[eqn: 30%]

(답) [eqn: 1]

(답) [eqn: -16]

(답) ②

(답) [eqn: 1over2]

(풀이)

[eqn: LEFT | 2x-3 RIGHT | >8]이면 [eqn: 2x-3"<"-8] 또는 [eqn: 2x-3>8]

따라서 [eqn: x"<"- 5over2] 또는 [eqn: x> 11over2]	……㉠

[eqn: 2x ^{2} -5x-33 LEQ 0]에서

[eqn: (x+3)(2x-11) LEQ 0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: -3 LEQ x LEQ 11over2]	……㉡

㉠, ㉡의 공통부분은

[eqn: -3 LEQ x"<"- 5over2]

따라서 [eqn: a=-3], [eqn: b= - 5over2]이므로
[eqn: b-a= - 5over2 -(-3)= 1over2]

(답) (1) [eqn: 6]  (2) [eqn: 24]
(풀이)
(1) [eqn: x=2]를 [eqn: x^3 -ax^2 +4x+8=0]에 대입하면
[eqn: 8-4a+8+8=0], 즉 [eqn: a=6]	……(가)
(2) 주어진 삼차방정식이
[eqn: x^3 -6x^2 +4x+8=0]이

[eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: -6]	[eqn: 4]	[eqn: 8]
		[eqn: 2]	[eqn: -8]	[eqn: -8]
	[eqn: 1]	[eqn: -4]	[eqn: -4]	[eqn: 0]

므로 인수정리와
조립제법을
이용하여
좌변을
인수분해하면
[eqn: (x-2)(x^2 -4x-4)=0]	……(나)
[eqn: x^2 -4x-4=0]에서 근과 계수의
관계로부터 [eqn: alpha+beta=4], [eqn: alphabeta=-4]이므로
[eqn: alpha^2 +beta^2 =(alpha+beta)^2 -2alphabeta]
[eqn: =4^2 -2times(-4)=24]	……(다)

단계	채점 요소	배점률
(가)	[eqn: a]의 값 구하기	[eqn: 30%]
(나)	주어진 삼차방정식의 좌변 인수분해하기	[eqn: 30%]
(다)	[eqn: alpha^2 +beta^2]의 값 구하기	[eqn: 40%]

(답) [eqn: 65]

(풀이)
[eqn: x=1]을 [eqn: x ^{3} +ax ^{2} +bx+8=0]에 대입하면
[eqn: 1+a+b+8=0], [eqn: b= -a-9]	[eqn: cdotscdots]㉠
㉠을 주어진 삼차방정식에 대입하면
[eqn: x^3 +ax^2 +(-a-9)x+8=0]
[eqn: (x-1)left{x^2 +(a+1)x-8 right} =0]
나머지 두 근을 각각 [eqn: alpha]와 [eqn: beta]라 하면 근과 계수의 관계에 의하여 [eqn: alpha+beta=-a-1], [eqn: alphabeta=-8]

나머지 두 근의 제곱의 합이 [eqn: 16]이므로
[eqn: 16= alpha^2 +beta^2 =(alpha+beta)^2 -2alphabeta][eqn: =(-a-1)^2 +16]
즉, [eqn: (a+1)^2 =0]이므로 [eqn: a=-1]
[eqn: a=-1]을 ㉠에 대입하면 [eqn: b=-8]
따라서 [eqn: a^2 +b^2 = 65]

(답) [eqn: 2<x<6]

(풀이)

실수 [eqn: x], [eqn: x+2], [eqn: x+4]가 삼각형의 세 변의 길이가 되려면 [eqn: x+(x+2)>x+4]에서

[eqn: x>2] ……㉠

이 삼각형이 둔각삼각형이 되려면

[eqn: x ^{2} +(x+2) ^{2} <(x+4) ^{2}]에서

[eqn: x ^{2} -4x-12<0]

[eqn: (x+2)(x-6)<0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: -2<x<6] ……㉡

㉠, ㉡의 공통부분은 [eqn: 2<x<6]

(답) [eqn: 0]

(풀이)
[eqn: x^4 +4x^2 +100=0]에서 [eqn: (x^2 +10)^2 -(4x)^2 =0],

[eqn: (x^2 +4x+10)(x^2 -4x+10)=0],

[eqn: x^2 +4x+10=0] 또는 [eqn: x^2 -4x+10=0]

이차방정식 [eqn: x^2 +4x+10=0]의 두 근을 [eqn: x_1], [eqn: x_2]라 하고, 이차방정식 [eqn: x^2 -4x+10=0]의 두 근을 [eqn: x_3], [eqn: x_4]라 하면 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: x_1 +x_2 =-4], [eqn: x_1 x_2 =10],
[eqn: x_3 +x_4 =4], [eqn: x_3 x_4 =10]

따라서
[eqn: 1overx_1 + 1overx_2 + 1overx_3 + 1overx_4][eqn: = { x_1 +x_2}over{x_1 x_2} + {x_3 +x_4}over{x_3 x_4}]
[eqn: = -4over10 + 4over10 =0]