정답과 해설

비상교육(김원경 외)

Ⅱ-3. 여러 가지 방정식과 부등식

(답) (1) [eqn: x=1] 또는 [eqn: x= {-3 +- root15 i} over2]

(2) [eqn: x=+-2] 또는 [eqn: x=+-3]

(답) [eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=2] 또는 [eqn: x= 1+- root2]

(답) (1) [eqn: cases{x=-1#y=-3] 또는 [eqn: cases{x=3#y=1]

(2) [eqn: cases{x=-root3#y=-2 root3] 또는 [eqn: cases{x=-root3#y=2 root3] 또는 [eqn: cases{x=root3#y=-2 root3] 또는 [eqn: cases{x=root3#y=2 root3]

(답) (1) [eqn: x le 1] 또는 [eqn: x ge 6]

(2) [eqn: 1over2 <x<1]

(3) 해는 없다.

(답) (1) [eqn: -2 <x<1]   (2) [eqn: -4 le x < -3]

(답) [eqn: a=-5], [eqn: b=-6], 나머지 두 근: [eqn: x=3] 또는 [eqn: x=1+i]

(풀이)

[eqn: (1-i)^3 +a(1-i)^2 +8 (1-i)+b=0]에서

[eqn: (b+6)-2(a+5)i =0]이므로

[eqn: a=-5], [eqn: b=-6]

방정식 [eqn: x^3 -5x^2 +8x-6=0]의 좌변을 인수분해하면

[eqn: (x-3)(x^2 -2x+2)=0]

이 방정식의 해는 [eqn: x=3] 또는 [eqn: x=1+- i]

따라서 나머지 두 근은 [eqn: x=3] 또는 [eqn: x=1+i]

(답) [eqn: a=12], [eqn: b=-2]

(풀이)

문제의 두 연립방정식의 해는 연립방정식 [eqn: cases{2x-y=-1#3x^2 -y^2 =-6]의 해와 같으므로

[eqn: cases{x=-5#y=-9] 또는 [eqn: cases{x=1#y=3]

그런데 [eqn: x>0], [eqn: y>0]이므로 [eqn: cases{x=1#y=3]

따라서 이 해를 [eqn: 3x+y^2 =a], [eqn: x-y=b]에 각각 대입하면

[eqn: a=12], [eqn: b=-2]

(답) [eqn: 9<a le 11]

(풀이)

[eqn: 2x+7<3(x+2)]를 풀면 [eqn: x>1]

[eqn: 4x<2x+a-1]을 풀면 [eqn: x< a-1 over2]

문제의 연립부등식을 만족시키는 정수 [eqn: x]가 [eqn: 3]개가 되려면 [eqn: 1<x< a-1 over2]이어야 한다.

따라서 [eqn: 4 < a-1 over2 le 5]이므로 [eqn: 9 <a le 11]

(답) [eqn: 3]

(풀이)

(ⅰ) [eqn: x<1]일 때,

[eqn: -(x-1)-2(x-2) le 4]이므로 [eqn: x ge 1over3]

그런데 [eqn: x<1]이므로 [eqn: 1over3 lex <1]

(ⅱ) [eqn: 1 le x<2]일 때,

[eqn: (x-1)-2(x-2) le 4]이므로 [eqn: x ge -1]

그런데 [eqn: 1 le x<2]이므로 [eqn: 1 le x <2]

(ⅲ) [eqn: x ge 2]일 때,

[eqn: (x-1)+2(x-2) le 4]이므로 [eqn: x le 3]

그런데 [eqn: x ge 2]이므로 [eqn: 2 le x le 3]

Ⅱ-3. 여러 가지 방정식과 부등식	비상교육(김원경 외)

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 [eqn: 1over3 le x le 3]이므로 실수 [eqn: x]의 최댓값은 [eqn: 3]이다.

(답) [eqn: 0 le a le 4]

(풀이)

이차방정식 [eqn: x^2 -2(a-1)x +2a+1=0]의 판별식 [eqn: D]에서 [eqn: D over4 = a^2 -4a le 0]이어야 하므로

[eqn: 0 le a le 4]

(답) [eqn: -2 <a <1]

(풀이)

이차방정식 [eqn: x^2 +4x+a+6 =0]의 판별식 [eqn: D_1]에서

[eqn: D_1 over4 = -a-2<0], 즉 [eqn: a>-2]	[eqn: cdotscdots] ①

이차방정식 [eqn: x^2 -2ax -4a+5=0]의 판별식 [eqn: D_2]에서

[eqn: D_2 over4 = a^2 +4a-5<0], 즉 [eqn: -5<a<1]	[eqn: cdotscdots] ②

①, ②에서 [eqn: -2<a<1]

(답) [eqn: 3over2]

(풀이)

[eqn: (x-1)(x^2 +x+1)=0]에서 [eqn: w^2 +w+1=0]이고, [eqn: w^3 =1]이므로

[eqn: 1over1+w^10 = 1over1+w = - 1overw^2],

[eqn: 1over1+w^11 = 1over1+w^2 = - 1overw], [eqn: 1over1+w^12 = 1over2]

따라서

(문제의 식)[eqn: = - 1overw^2 - 1overw + 1over2]

[eqn: = - 1+w overw^2 + 1over2 = 1+ 1over2 = 3over2]

(답) 최댓값: [eqn: 3], 최솟값: [eqn: 3over5]

(답) [eqn: a=0]

(풀이)

(ⅰ) [eqn: x<2]일 때,
[eqn: -(x-2)-(x-3) <5]이므로 [eqn: x>0]
그런데 [eqn: x<2]이므로 [eqn: 0<x<2]

(ⅱ) [eqn: 2 le x <3]일 때,
[eqn: (x-2)-(x-3) <5]이므로 [eqn: 1<5]
이 식은 항상 성립하므로 [eqn: 2le x <3]

(ⅲ) [eqn: x ge 3]일 때,
[eqn: (x-2)+(x-3) <5]이므로 [eqn: x<5]
그런데 [eqn: x ge3]이므로 [eqn: 3lex <5]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 [eqn: 0<x<5]이므로 [eqn: a=0]

(답) [eqn: k le 0] 또는 [eqn: k ge 8]

(풀이)

[eqn: (x+1)(2x^2 +kx+k)=0]에서

[eqn: x=-1] 또는 [eqn: 2x^2 +kx+k=0]

이차방정식 [eqn: 2x^2 +kx+k=0]의 판별식 [eqn: D]에서

[eqn: D= k^2 -8k ge 0]이어야 하므로

[eqn: k le 0] 또는 [eqn: k ge 8]

(답) [eqn: k= - 1over2] 또는 [eqn: k=4]

(풀이)

[eqn: x^3 -2(k+2)x+4k=0]의 좌변을 인수분해하면

[eqn: (x-2)(x^2 +2x-2k)=0]이므로

[eqn: x=2] 또는 [eqn: x^2 +2x-2k=0]

(ⅰ) [eqn: x=2]가 이차방정식 [eqn: x^2 +2x-2k =0]의 근일 때, [eqn: 8-2k=0]이므로 [eqn: k=4]

이때 나머지 실근은 [eqn: -4]이다.

(ⅱ) [eqn: x=2]가 이차방정식 [eqn: x^2 +2x-2k =0]의 근이 아닐 때, [eqn: x^2 +2x-2k =0]이 중근을 가져야 하므로 판별식 [eqn: D]에서

[eqn: D over4 = 1+2k=0], [eqn: k= - 1over2]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: k= - 1over2] 또는 [eqn: k=4]

(답) [eqn: 4]

(풀이)

[eqn: (x-1)(x-2)(x+3)(x+4)=50]에서

[eqn: (x^2 +2x-3)(x^2 +2x-8)-50=0]

[eqn: x^2 +2x=X]로 놓으면

[eqn: (X-3)(X-8)-50=0], [eqn: (X+2)(X-13)=0]

[eqn: (x^2 +2x+2)(x^2 +2x-13)=0]

즉, [eqn: x=-1+- i] 또는 [eqn: x=-1 +- root14]

따라서 두 허근 [eqn: alpha], [eqn: beta]에 대하여 [eqn: alpha +beta = -2], [eqn: alpha beta =2]이므로

[eqn: alpha^3 + beta^3 = (alpha + beta)^3 -3 alpha beta ( alpha + beta ) =4]

(답) [eqn: 24]

(풀이)

[eqn: bar{rmCD} =it x], [eqn: bar{rmAD} =it y][eqn: (x >0`,``y>0)]라고 하면

[eqn: cases{3x+y=30#36+x^2 = 4+y^2]

이 연립방정식을 풀면

[eqn: cases{x=7#y=9] 또는 [eqn: cases{x= 31 over2 #y=- 33 over2]

그런데 [eqn: x>0], [eqn: y>0]이므로 [eqn: cases{x=7#y=9]

따라서 사각형 [eqn: rmABCD]의 둘레의 길이는 [eqn: 24]이다.

(답) [eqn: 7 le a le 8]

(풀이)

부등식 [eqn: |`3x-a`| <5]를 풀면

[eqn: a-5 over3 < x < a+5 over3]

이 부등식이 [eqn: 1<x<4]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립하므로

[eqn: a-5 over3 le 1], [eqn: a+5 over3 ge 4]

따라서 [eqn: a le 8], [eqn: a ge 7]이므로 [eqn: 7 le a le 8]

(답) [eqn: 4<a le 6]

(풀이)

[eqn: x^2 -3x+2>0]을 풀면

[eqn: x<1] 또는 [eqn: x>2]

[eqn: 2x-a<2]를 풀면 [eqn: x< a+2 over2]

연립부등식을 만족시키는 자연수 [eqn: x]가 [eqn: 1]개가 되려면 다음 그림과 같아야 한다.

따라서 [eqn: 3< a+2 over2 le 4]에서 [eqn: 4 <a le 6]

(답) [eqn: LEFT ( 2- root2 over2 RIGHT )``\m]

(풀이)

직각삼각형의 빗변이 아닌 두 변의 길이를 각각 [eqn: x``\m], [eqn: y``\m] [eqn: (x>0`,``y>0)]라고 하면

[eqn: cases{ 1over2 xy = 7 over4#x^2 +y^2 = 3^2]

[eqn: (x+y)^2 =x^2 +y^2 +2xy=16]에서 [eqn: x+y=4]이므로 연립방정식 [eqn: cases{ xy = 7 over2#x+y=4]를 풀면

[eqn: cases{ x=2- root2over2 # y=2+ root2 over2] 또는 [eqn: cases{ x=2+ root2over2 # y=2- root2 over2]

따라서 가장 짧은 변의 길이는 [eqn: LEFT ( 2- root2 over2 RIGHT )``\m]

(답) [eqn: a ge 1]

(풀이)

[eqn: x^2 -(a-1)x-a<0]을 풀면

[eqn: -1<x<a]

[eqn: x^2 +(a+5)x+5a <0]에서

(ⅰ) [eqn: a>5]일 때, [eqn: -a<x< -5]이므로 연립부등식의 해는 없다.

(ⅱ) [eqn: a=5]일 때, 해는 없으므로 연립부등식의 해도 없다.

(ⅲ) [eqn: 0<a<5]일 때, [eqn: -5<x< -a]이고 연립부등식의 해가 존재하지 않으려면 [eqn: -a le -1]이어야 하므로 [eqn: 1 le a <5]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 [eqn: a ge 1]

(답) [eqn: 4]

(풀이)

이차함수 [eqn: y=x^2 -(a-4)x+b-1]의 그래프는 [eqn: x]축과 두 점 [eqn: (-1,``0)], [eqn: (4`,``0)]에서 만나므로 이차방정식 [eqn: x^2 -(a-4)x+b-1=0]의 두 근은 [eqn: -1], [eqn: 4]이다.

즉, [eqn: 3=a-4], [eqn: -4=b-1]이므로

[eqn: a=7], [eqn: b=-3]

이차부등식 [eqn: -3x^2 +7x+6 ge 0]의 해는

[eqn: - 2over3 le x le 3]

따라서 구하는 정수 [eqn: x]는 0, 1, 2, 3의 4개이다.

(답) [eqn: k ge 3]

(풀이)

[eqn: f(x)=x^2 -4x-3k+4]라고 하면

[eqn: f(x)= (x-2)^2 -3k]

[eqn: 4 le x le 5]에서 이차함수 [eqn: y=f(x)]의 최댓값은 [eqn: x=5]일 때 [eqn: -3k+9]이다.

따라서 [eqn: 4 le x le 5]에서 [eqn: f(x) le 0]이 성립하려면

[eqn: -3k+9 le 0]이어야 하므로 [eqn: k ge 3]

(답) [eqn: - 3over2 <x<1]

(풀이)

이차부등식 [eqn: ax^2 +bx+c >0]의 해가 [eqn: -1<x<3]이므로 [eqn: a<0]이고, 이차함수 [eqn: y=ax^2 +bx+c]의 그래프는 [eqn: x]축과 두 점 [eqn: (-1`,``0)], [eqn: (3`,``0)]에서 만나므로 이차방정식 [eqn: ax^2 +bx+c=0]의 두 근은 [eqn: -1], [eqn: 3]이다.

즉, [eqn: 2= - b overa], [eqn: -3 = c overa]이므로

[eqn: b=-2a], [eqn: c=-3a]

따라서 [eqn: -2ax^2 -ax +3a <0]에서 [eqn: -a>0]이므로

[eqn: 2x^2 +x-3<0]을 풀면

[eqn: - 3over2 <x<1]

(답) [eqn: -2 le a le 3]

(풀이)

[eqn: x^2 +x -6 >0]을 풀면 [eqn: x< -3] 또는 [eqn: x>2]

[eqn: x^2 -(a+2)x +3a-3 le 0]의 좌변을 인수분해하면

[eqn: (x-3) left{ x- (a-1) right} le 0]

연립부등식의 해가 [eqn: 2<x le 3]이므로 오른쪽 그림과 같아야 한다.

따라서 [eqn: -3 le a-1 le 2]이므로

[eqn: -2 le a le 3]