(답) (1) [eqn: x=2] 또는 [eqn: x=-1+-root3 i]
(2) [eqn: x= {1± sqrt {5}} over {2}] 또는 [eqn: x= {1± sqrt {13}} over {2}]
(3) [eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=3] 또는 [eqn: x= {1± sqrt {7} i} over {2}]

Ⅱ-3. 여러 가지 방정식과 부등식	천재교과서(홍진곤 외)

정답과 해설

천재교과서(홍진곤 외)

Ⅱ-3. 여러 가지 방정식과 부등식

(답) (1) [eqn: {cases{`x=-2#`y=-3}}] 또는 [eqn: {cases{`x=3#`y=2}}]
(2) [eqn: {cases{`x=± sqrt {6}#`y=± sqrt {6}}}] 또는 [eqn: {cases{`x=±2 sqrt {2} i#`y=± sqrt {2} i}}](복호동순)

(답) [eqn: 1 le x le3]

(답) (1) [eqn: x LEQ 5] 또는 [eqn: x GEQ 7]
(2) [eqn: - {5} over {2} <x< {5} over {2}]
(3) [eqn: -6 le x le0]
(4) [eqn: x"<"- 1] 또는 [eqn: x> {3} over {2}]

(답) [eqn: 5<x le7]

(답) [eqn: a=-8], 나머지 두 근 : [eqn: 8], [eqn: -i]

(답) [eqn: 32 over3]

(답) [eqn: a=7], [eqn: b=4]

(답) [eqn: 3]

(답) [eqn: -3 le a le4]

(답) ②

(답) [eqn: root21]

(답) [eqn: 2]개

(풀이)

(ⅰ) [eqn: x< -7]일 때

[eqn: x GEQ - 4]

그런데 [eqn: x< -7]이므로 해는 없다.

(ⅱ) [eqn: -7 LEQ x<3]일 때

[eqn: x GEQ 2]

그런데 [eqn: -7 LEQ x<3]이므로 [eqn: 2 LEQ x<3]

(ⅲ) [eqn: x GEQ 3]일 때

[eqn: x LEQ 10over3]

그런데 [eqn: x GEQ 3]이므로 [eqn: 3 LEQ x LEQ {10} over {3}]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 주어진 부등식의 해는 [eqn: 2 LEQ x LEQ {10} over {3}]

따라서 정수 [eqn: x]는 [eqn: 2], [eqn: 3]의 [eqn: 2]개다.

(답) [eqn: 6]
(풀이)
[eqn: x^3 -1=(x-1)(x^2 +x+1)=0]이므로 [eqn: omega]는 이차방정식 [eqn: x^2 +x+1=0]의 한 허근이고 [eqn: omega]의 켤레복소수 [eqn: {bar{omega }}]도 [eqn: x^2 +x+1=0]의 허근이다.
이차방정식의 근과 계수의 관계에서
[eqn: omega + {bar{omega }} =-1], [eqn: omega {bar{omega }} =1]	……(가)
이차방정식 [eqn: x^2 -ax+b=0]의 한 허근이 [eqn: 3 omega]이면 다른 한 허근은 [eqn: 3 {bar{omega }}]이다.	……(나)
이차방정식의 근과 계수의 관계에서
[eqn: a=3 omega +3 {bar{omega }} =3( omega + {bar{omega }} )=3 TIMES (-1)=-3]
[eqn: b=3 omega TIMES 3 {bar{omega }} =9 omega {bar{omega }} =9 TIMES 1=9]
따라서 [eqn: a+b=6]	……(다)

단계	채점 요소	배점률
(가)	이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 두 허근의 합과 곱 구하기	[eqn: 40%]
(나)	이차방정식 [eqn: x^2 -ax+b=0]의 다른 한 허근이 [eqn: 3w]의 켤레복소수 [eqn: 3 {bar{omega }}]임을 알기	[eqn: 20%]
(다)	[eqn: a+b]의 값 구하기	[eqn: 40%]

(답) [eqn: 1]
(풀이)
[eqn: P(x)=x^3 -ax^2 +2ax-8]이라고 하면 [eqn: P(2)=0]이므로 [eqn: x-2]는 [eqn: P(x)]의 인수이다.
조립제법을 이용하여 [eqn: P(x)]를 인수분해하면
[eqn: P(x)=(x-2)left{x^2 -(a-2)x+4 right}]
즉, 주어진 삼차방정식은 [eqn: (x-2)left{x^2 -(a-2)x+4right}=0]
이 삼차방정식이 한 개의 실근과 두 개의 허근을 가지므로 이차방정식 [eqn: x^2 -(a-2)x+4=0]의 판별식을 [eqn: D]라고 하면 [eqn: D<0]이어야 한다.
[eqn: D= left{-(a-2)right}^2 -4times1times4=a^2 -4a-12]에서
[eqn: (a+2)(a-6)<0], 즉 [eqn: -2<a<6]
이때 [eqn: a]는 정수이므로 가능한 [eqn: a]의 값은 [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]이다.
이차방정식의 근과 계수의 관계에서 [eqn: alpha+beta=a-2], [eqn: alphabeta=4]이므로
[eqn: alpha^2 +beta^2 =(alpha+beta)^2 -2alphabeta][eqn: =(a-2)^2 -8]
따라서 [eqn: alpha^2 +beta^2]의 최댓값은 [eqn: a=-1] 또는 [eqn: a=5]일 때 [eqn: 1]이다.

(답) [eqn: 192]

(답) [eqn: a> {9} over {4}]

(답) [eqn: 4<x<8]
(풀이)
[eqn: x-2], [eqn: x], [eqn: x+2]는 삼각형의 변의 길이이므로
[eqn: x-2>0], [eqn: x>2]	[eqn: cdotscdots]㉠	……(가)
세 변 중 가장 긴 변의 길이는 [eqn: x+2]이므로
[eqn: (x-2)+x>x+2], [eqn: x>4]	[eqn: cdotscdots]㉡	……(나)
둔각삼각형이 되려면 [eqn: (x+2)^2 >x^2 +(x-2)^2]에서
[eqn: x(x-8)<0], 즉 [eqn: 0<x<8]	……(다)
따라서 ㉠, ㉡, ㉢의 공통부분은 [eqn: 4<x<8]이다.

……(라)

단계	채점 요소	배점률
(가)	변의 길이가 양수임을 이용하여 [eqn: x]의 값의 범위 구하기	[eqn: 10%]
(나)	삼각형이 만들어지는 조건에 의하여 [eqn: x]의 값의 범위 구하기	[eqn: 20%]
(다)	둔각삼각형의 되기 위한 조건을 이용하여 [eqn: x]의 값의 범위 구하기	[eqn: 40%]
(라)	조건을 모두 만족시키는 [eqn: x]의 값의 범위 구하기	[eqn: 30%]