(답) (1) [eqn: 9] (2) [eqn: 20]

정답과 해설

동아출판(고호경 외)

Ⅲ-1. 경우의 수

(답) (1) [eqn: 12] (2) [eqn: 20]

(답) (1) [eqn: 56] (2) [eqn: 60]

(답) [eqn: 1680]

(답) (1) [eqn: 15] (2) [eqn: 12]

(답) [eqn: 120]

(답) [eqn: 14]

(답) [eqn: 8]

(풀이)

[eqn: ` _{n} rm C it rm _{4}][eqn: = {n(n-1)(n-2)(n-3)} over {4 TIMES 3 TIMES 2 TIMES 1}]이고,

[eqn: ` _{n-1} rm P it rm _{3}][eqn: =(n-1)(n-2) (n-3)]이므로

[eqn: {n(n-1)(n-2)(n-3)} over {4 TIMES 3 TIMES 2 TIMES 1} = {(n-1) (n-2)(n-3)} over 3]

[eqn: n(n-1)(n-2)(n-3)=8(n-1)(n-2)(n-3)]    ∴ [eqn: n=8]

(답) [eqn: 12]

(답) [eqn: 9]

(답) [eqn: 625]

(답) [eqn: 16]

(답) [eqn: 36]

(답) [eqn: 36]

(답) [eqn: 2640]

(풀이)

단계1) [eqn: a]와 [eqn: b]를 한 문자로 생각하여 [eqn: 6]개의 문자를 일렬로 배열하는 경우의 수는 [eqn: 6!]

각 경우에 대하여 [eqn: a]와 [eqn: b]가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 [eqn: 2!]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 6!times2! =1440]

단계2) [eqn: a]와 [eqn: c]를 한 문자로 생각하여 [eqn: 6]개의 문자를 일렬로 배열하는 경우의 수는 [eqn: 6!]

각 경우에 대하여 [eqn: a]와 [eqn: c]가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 [eqn: 2!]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 6!times2! =1440]

단계3) [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]를 한 문자로 생각하여 [eqn: 5]개의 문자를 일렬로 배열하는 경우의 수는 [eqn: 5!]

각 경우에 대하여 [eqn: a]와 [eqn: c]가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 [eqn: 2!]

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: 5! TIMES 2! =240]

단계4) 따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 1440+1440-240=2640]

(답) [eqn: 7]

(답) [eqn: 75]

(풀이)

과자 [eqn: 6]개 중에서 [eqn: 2]개를 구매하는 경우의 수는 [eqn: rm _{6} rm `C _{2}]

Ⅲ-1. 경우의 수	동아출판(고호경 외)

아이스크림 [eqn: 5]개 중에서 [eqn: 1]개를 구매하는 경우의 수는 [eqn: rm _{5} rm C _{1}]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: rm _{6} rm C _{2} TIMES _{5} rm C it rm _{1} =15 times5 =75]

(답) [eqn: 31]

(풀이)
[eqn: 10]개의 점 중에서 [eqn: 2]개의 점을 택하는 경우의 수는 [eqn: {}_10 rmC_2]
한 변에 있는 [eqn: 4]개의 점 중에서 [eqn: 2]개의 점을 택하는 경우의 수는
[eqn: {}_4 rmC_2]
한 변에 있는 [eqn: 3]개의 점 중에서 [eqn: 2]개의 점을 택하는 경우의 수는
[eqn: {}_3 rmC_2]

따라서 서로 다른 직선의 개수는

[eqn: ` _{10} rm C _{2} -( _{4} C _{2} + _{3} C _{2} + _{4} C _{2} + _{3} C _{2} )+4=31]

(답) [eqn: 18]

(답) [eqn: 48]

(풀이)

영역 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD] [eqn: 4]개에 칠할 수 있는 색은 각각 [eqn: 4]가지, [eqn: 3]가지, [eqn: 2]가지, [eqn: 2]가지이므로 구하는 모든 방법의 수는 [eqn: 4 times3 times2 times 2 =48]

(답) [eqn: 72]

(답) 답) [eqn: 840]

(풀이)

먼저 빈 거치대 [eqn: 6]개를 놓고, 거치대의 양끝과 사이사이의 [eqn: 7]개의 공간에 [eqn: 4]대의 자전거를 놓으면 되므로 [eqn: rm _{7} rm P it rm _{4} =7 TIMES 6 TIMES 5 TIMES 4=840]

(답) [eqn: 22]

(답) [eqn: 1], [eqn: 4]

(답) [eqn: 24]

(풀이)

(ⅰ) 눈의 수의 차가 2인 경우

[eqn: (1,~3)], [eqn: (3,~1)], [eqn: (2,~4)], [eqn: (4,~2)], [eqn: (3,~5)], [eqn: (5,~3)], [eqn: (4,~6)], [eqn: (6,~4)]의 [eqn: 8]가지	……(가)

(ⅱ) 눈의 수의 차가 [eqn: 1]인 경우

[eqn: (1,~2)], [eqn: (2,~1)], [eqn: (2,~3)], [eqn: (3,~2)], [eqn: (3,~4)], [eqn: (4,~3)], [eqn: (4,~5)], [eqn: (5,~4)], [eqn: (5,~6)], [eqn: (6,~5)]의 [eqn: 10]가지	……(나)

(ⅲ) 눈의 수의 차가 [eqn: 0]인 경우

[eqn: (1,~1)], [eqn: (2,~2)], [eqn: (3,~3)], [eqn: (4,~4)], [eqn: (5,~5)], [eqn: (6,~6)]의 [eqn: 6]가지	……(다)

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 8+10+6=24]	……(라)

단계	채점 요소	배점률
(가)	눈의 수의 차가 2인 경우의 수 구하기	[eqn: 30%]
(나)	눈의 수의 차가 2인 경우의 수 구하기	[eqn: 30%]
(다)	눈의 수의 차가 2인 경우의 수 구하기	[eqn: 30%]
(라)	구하는 경우의 수 구하기	[eqn: 10%]

(답) [eqn: 210]

(풀이)

공통으로 수강 신청하는 [eqn: 1]과목을 선택하는 경우의 수는 [eqn: rm _{7} rm C it rm _{1} =7]	……(가)

나머지 [eqn: 6]개의 선택 과목 중 두 학생이 서로 다른 과목을 [eqn: 1]개씩 선택하는 경우의 수는

[eqn: rm _{6} rm P _{2} =30]	……(나)

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: 7TIMES30=210]	……(다)

단계	채점 요소	배점률
(가)	공통으로 수강 신청하는 [eqn: 1]개의 과목을 선택하는 경우의 수 구하기	[eqn: 40%]
(나)	두 학생이 서로 다른 과목을 [eqn: 1]개씩 선택하는 경우의 수 구하기	[eqn: 40%]
(다)	구하는 경우의 수 구하기	[eqn: 20%]

(답) [eqn: 84]

(풀이)
단계1) [eqn: RMA]와 [eqn: RMD]에 칠할 수 있는 색은 [eqn: 4]가지,
[eqn: RMB]에 칠할 수 있는 색은 각각 [eqn: RMA]([eqn: RMD])에 칠한 색을 제외한 [eqn: 3]가지
[eqn: RMC]에 칠할 수 있는 색은 각각 [eqn: RMA]([eqn: RMD])에 칠한 색을 제외한 [eqn: 3]가지
따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 4TIMES3TIMES3=36]

단계2) [eqn: RMA]에 칠할 수 있는 색은 [eqn: 4]가지,

[eqn: RMD]에 칠할 수 있는 색은 [eqn: rmA]에 칠한 색을 제외한 [eqn: 3]가지,

[eqn: RMB]에 칠할 수 있는 색은 [eqn: rmA], [eqn: rmD]에 칠한 색을 제외한 2가지

[eqn: RMC]에 칠할 수 있는 색은 [eqn: rmA], [eqn: rmD]에 칠한 색을 제외한 2가지

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 4TIMES3TIMES2TIMES2=48]

단계3) 칠하는 경우의 수는 합의 법칙에 의하여

[eqn: 36+48=84]

(답) [eqn: n-r]

(답) [eqn: 90]

(풀이)

단계1) [eqn: 6]개의 층 중에서 [eqn: 2]개의 층을 택하는 경우의 수는 [eqn: {}_{6} rm C _{2} =15]

단계2) [eqn: 4]명을 [eqn: 2]명씩 [eqn: 2]개의 조로 나누는 경우의 수는

[eqn: {}_{4} rm `C _{2} TIMES rm _{2} rm `C _{2} TIMES {1} over {2!} =3]

단계3) [eqn: 2]명씩 [eqn: 2]개의 층에서 [eqn: 4]명이 모두 내리는 경우의 수는 [eqn: 2]명씩 [eqn: 2]개의 조를 일렬로 배열하는 경우의 수와 같으므로

[eqn: 15 TIMES 3 TIMES 2!`=90]

(답) [eqn: 15]
(풀이)

(ⅰ) [eqn: z=1]인 경우

[eqn: x+y=9]를 만족시키는 순서쌍 [eqn: (x,~y)]는 [eqn: (1,~8)], [eqn: (2,~7)], [eqn: (3,~6)], [eqn: (4,~5)], [eqn: (5,~4)], [eqn: (6,~3)], [eqn: (7,~2)], [eqn: (8,~1)]의 [eqn: 8]개

(ⅱ) [eqn: z=2]인 경우

[eqn: x+y=6]을 만족시키는 순서쌍 [eqn: (x,~y)]는 [eqn: (1,~5)], [eqn: (2,~4)], [eqn: (3,~3)], [eqn: (4,~2)], [eqn: (5,~1)]의 [eqn: 5]개

(ⅲ) [eqn: z=3]인 경우

[eqn: x+y=3]를 만족시키는 순서쌍 [eqn: (x,~y)]는 [eqn: (1,~2)], [eqn: (2,~1)]의 [eqn: 2]개

따라서 구하는 순서쌍의 개수는 [eqn: 8+5+2=15]

(답) [eqn: 3]명

(답) [eqn: 315]

(풀이)

[eqn: 7]명의 선수를 [eqn: 4]명과 [eqn: 3]명의 두 팀으로 나누는 경우의 수는 [eqn: rm _{7} rm C it rm _{4} TIMES _{3} rm C _{3} =35]

[eqn: 4]명 팀을 [eqn: 2]명과 [eqn: 2]명으로 나누고, [eqn: 3]명 팀에서 부전승으로 올라가는 선수를 택하는 경우의 수는 [eqn: rm _{4} rm C it rm _{2} TIMES _{2} rm C _{2} TIMES 1 over2! TIMES _3 C _1 =9]

따라서 대진표를 작성하는 경우의 수는 [eqn: 35 TIMES 9=315]

(답) [eqn: 990]

(풀이)

(ⅰ) 네 자리의 자연수 중 대칭수인 경우

천의 자리에 올 수 있는 수는 [eqn: 9]개, 백의 자리에 올 수 있는 수는 [eqn: 10]개, 십의 자리와 일의 자리에 올 수 있는 수는 각각 백의 자리, 천의 자리에 오는 수와 같으므로 대칭수의 개수는 [eqn: 9times10=90]	……(가)

(ⅱ) 다섯 자리의 자연수 중 대칭수인 경우

만의 자리에 올 수 있는 수는 [eqn: 9]개, 천의 자리와 백의 자리에 올 수 있는 수는 각각 [eqn: 10]개, 십의 자리의 자리와 일의 자리에 올 수 있는 수는 각각 천의 자리, 만의 자리에 오는 수와 같으므로 대칭수의 개수는 [eqn: 9 TIMES 10times10=900]	……(나)

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 경우의 수는 [eqn: 90+900=990]	……(다)

단계	채점 요소	배점률
(가)	네 자리의 자연수 중 대칭수의 개수 구하기	[eqn: 40%]
(나)	다섯 자리의 자연수 중 대칭수의 개수 구하기	[eqn: 40%]
(다)	[eqn: 1000]보다 크고 [eqn: 100000]보다 작은 대칭수의 개수 구하기	[eqn: 20%]

(답) [eqn: 2268]

(풀이)

(ⅰ) [eqn: a>b]이고 [eqn: c>d]인 경우
[eqn: 0]부터 [eqn: 9]까지의 수 중에서 [eqn: 2]개를 택하여
큰 수부터 차례대로 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 정하고,
[eqn: a], [eqn: b]의 값을 제외한 [eqn: 8]개의 수 중에서
[eqn: 2]개를 택하여 큰 수부터 차례대로 [eqn: c], [eqn: d]의
값을 정해야 하므로

[eqn: {}_{10} rm C _{2} TIMES _{8} rm C _{2} =45TIMES28=1260]	……(가)

(ⅱ) [eqn: a<b]이고 [eqn: c<d]인 경우
[eqn: 1]부터 [eqn: 9]까지의 수 중에서 [eqn: 2]개를 택하여
작은 수부터 차례대로 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 정하고,
[eqn: a], [eqn: b]의 값을 제외한 [eqn: 8]개의 수 중에서
[eqn: 2]개를 택하여 작은 수부터 차례대로 [eqn: c], [eqn: d]의
값을 정해야 하므로

[eqn: {}_{9} rm C _{2} TIMES _{8} rm C _{2} =36 TIMES 28=1008]	……(나)

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: 1260+1008=2268]	……(다)

단계	채점 요소	배점률
(가)	[eqn: a>b]이고 [eqn: c>d]를 만족시키는 수의 개수 구하기	[eqn: 40%]
(나)	[eqn: a<b]이고 [eqn: c<d]를 만족시키는 수의 개수 구하기	[eqn: 40%]
(다)	[eqn: (a-b)(c-d)>0]을 만족시키는 수의 개수 구하기	[eqn: 20%]