정답과 해설

비상교육(김원경 외)

Ⅲ-1. 경우의 수

(답) [eqn: 8]

(답) [eqn: 24]

(답) (1) [eqn: 120]   (2) [eqn: 210]

(답) (1) [eqn: 20]   (2) [eqn: 45]

(답) ④

(답) [eqn: 60]

(답) [eqn: 6]

(답) ③

(답) [eqn: 36]

(답) [eqn: 7]

(풀이)

[eqn: z=1]인 경우: [eqn: x+2y=9]이므로 [eqn: (1`,`4`,`1)], [eqn: (3`,`3`,`1)], [eqn: (5`,`2`,`1)], [eqn: (7`,`1`,`1)]의 4개

[eqn: z=2]인 경우: [eqn: x+2y=6]이므로 [eqn: (2`,`2`,`2)], [eqn: (4`,`1`,`2)]의 2개

[eqn: z=3]인 경우: [eqn: x+2y=3]이므로 [eqn: (1`,`1`,`3)]의 1개

따라서 구하는 개수는 [eqn: 4+2+1=7]

(답) [eqn: 72]

(풀이)

여학생, 남학생의 순서로 교대로 발표하는 방법의 수는 [eqn: 3! times3! = 36]

남학생, 여학생의 순서로 교대로 발표하는 방법의 수는 [eqn: 3! times3! = 36]

따라서 구하는 방법의 수는 [eqn: 36+36=72]

(답) [eqn: 60]

(풀이)

(ⅰ) [eqn: 1 ○○○○], [eqn: 2 ○○○○] 꼴인 자연수의 개수는 [eqn: 4! times 2=48]

(ⅱ) [eqn: 30○○○], [eqn: 31○○○] 꼴인 자연수의 개수는 [eqn: 3! times2 = 12]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 자연수의 개수는

[eqn: 48+12=60]

(답) [eqn: 120]

(풀이)

음료 9종류 중에서 서로 다른 4잔을 구매하는 경우의 수는

[eqn: `_9 rmC_4 = 126]

과일주스만 4잔 구매하는 경우의 수는 [eqn: `_5 rmC_4 =5]

차만 4잔 구매하는 경우의 수는 [eqn: `_4 rmC_4 =1]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 126-(5+1) = 120]

(답) [eqn: 432]

(풀이)

수학 체험 2가지를 고르는 방법의 수는 [eqn: `_4 rmC_2 =6]

과학 체험 2가지를 고르는 방법의 수는 [eqn: `_3 rmC_2 =3]

체험하는 순서를 정하는 경우의 수는 [eqn: 4! =24]

따라서 구하는 방법의 수는 [eqn: 6 times3 times24 = 432]

(답) [eqn: 12]

Ⅲ-1. 경우의 수	비상교육(김원경 외)

(풀이)

[eqn: 2700= 2^2 times3^3 times5^2]이고, 양의 약수 중 홀수는 [eqn: 3^3 times5^2]의 약수와 같으므로 구하는 약수의 개수는

[eqn: 4times3=12]

(답) [eqn: 288]

(풀이)

양 끝에 선인장 화분을 배열하는 방법의 수는

[eqn: `_4 rmP_2 = 12]

나머지 네 자리에 화분 4개를 배열하는 방법의 수는

[eqn: 4! =24]

따라서 구하는 방법의 수는 [eqn: 12times24 = 288]

(답) [eqn: 120]

(풀이)

빈자리는 [eqn: 4]개이고, 빈자리 사이사이와 양 끝의 자리 [eqn: 5]개에 학생 [eqn: 4]명이 앉으면 되므로 구하는 방법의 수는

[eqn: `_5 rmP_4 = 120]

(답) [eqn: 480]

(풀이)

사진 [eqn: 6]점을 일렬로 나열하는 방법의 수는

[eqn: 6! = 720]

동물 사진 [eqn: 2]점을 이웃하게 나열하는 방법의 수는

[eqn: 5! times2! = 240]

따라서 구하는 방법의 수는

[eqn: 720-240=480]

(답) [eqn: 21]

(풀이)

서하와 수지를 제외한 7명 중에서 2명을 뽑으면 되므로 구하는 방법의 수는

[eqn: `_ 7 rmC_2 =21]

(답) [eqn: 18]

(풀이)

직선 [eqn: l] 위의 3개의 점 중에서 2개를 택하고, 직선 [eqn: m] 위의 4개의 점 중에서 2개를 택하면 두 선분이 만나는 경우는 한 가지이므로 구하는 경우의 수는

[eqn: `_3 rmC_2 times _4 C_2 = 18]

(답) [eqn: 6]

(풀이)

[eqn: `_n rmP _3][eqn: =5 times_n+1 rmP_2][eqn: -3 times_n rmP_2]에서

[eqn: n(n-1)(n-2)=5(n+1)n -3n(n-1)]……(가)

[eqn: n^3 -5n^2 -6n=0], [eqn: n(n+1)(n-6)=0]

[eqn: n=-1] 또는 [eqn: n=0] 또는 [eqn: n=6]	……(나)

그런데 [eqn: n ge 3]이므로 [eqn: n=6]	……(다)

단계	채점 요소	배점률
(가)	[eqn: n]에 대한 식 구하기	[eqn: 50%]
(나)	[eqn: n]의 값 구하기	[eqn: 30%]
(다)	조건을 만족시키는 [eqn: n]의 값 구하기	[eqn: 20%]

(답) [eqn: 432]

(풀이)

각 학년의 학생들을 한 묶음으로 생각하여 일렬로 세우는 경우의 수는 [eqn: 3! =6]	……(가)

각 학년 학생끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는

1학년: [eqn: 2! =2], 2학년: [eqn: 3! =6], 3학년: [eqn: 3! =6]

……(나)

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: 6times2 times6 times6 = 432]	……(다)

단계	채점 요소	배점률
(가)	각 학년의 학생들을 한 묶음으로 생각하여 일렬로 나열하는 경우의 수 구하기	[eqn: 30%]
(나)	각 학년 학생끼리 자리를 바꾸는 경우의 수 구하기	[eqn: 50%]
(다)	같은 학년 학생끼리 이웃하여 서는 경우의 수 구하기	[eqn: 20%]

(답) [eqn: 11]

(풀이)

[eqn: n]개의 팀이 서로 다른 팀과 모두 한 번씩 경기를 하는 경우의 수는 [eqn: `_n rmC_2]	……(가)

이때 총 [eqn: 55]번 경기를 하였으므로 [eqn: `_n rmC_2][eqn: =55]

……(나)

따라서 [eqn: n(n-1) over2 = 55]이므로

[eqn: n(n-1)=110], [eqn: n=11]	……(다)

단계	채점 요소	배점률
(가)	총 경기 수를 [eqn: n]에 대하여 나타내기	[eqn: 30%]
(나)	[eqn: n]에 대한 식 세우기	[eqn: 20%]
(다)	[eqn: n]의 값 구하기	[eqn: 50%]

(답) [eqn: 23]

(답) [eqn: 30]

(풀이)

모둠 A의 학생만 뽑는 경우의 수는 [eqn: `_6 rmC_3 =20]

모둠 B의 학생만 뽑는 경우의 수는 [eqn: `_5 rmC_3 =10]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 20+10=30]

(답) [eqn: 4]

(풀이)

여행 서적 3권을 한 묶음으로 생각하고 총 [eqn: (n+1)]권의 책을 일렬로 나열하는 방법의 수는

[eqn: (n+1)!]

여행 서적끼리 자리를 바꾸는 방법의 수는 [eqn: 3! =6]

여행 서적끼리 이웃하게 꽂는 방법의 수가 [eqn: 720]이므로

[eqn: (n+1)! times6 = 720], [eqn: (n+1)! = 120]

이때 [eqn: 5! =120]이므로

[eqn: n+1=5], [eqn: n=4]

(답) ①

(풀이)

자음 [eqn: rmC`,`H`,`N`,`G]를 일렬로 나열하는 방법의 수는

[eqn: 4! =24]

자음 사이사이와 양 끝의 5개의 자리에 모음 [eqn: rmA], [eqn: rmE]를 일렬로 나열하는 방법의 수는

[eqn: `_5 rmP_2 =20]

따라서 구하는 방법의 수는

[eqn: 24 times20 = 480]

(답) [eqn: 74]

(풀이)

서로 다른 세 수를 선택하는 경우의 수는

[eqn: `_9 rmC_3 =84]

홀수 5개 중에서 서로 다른 홀수 3개를 선택하면 세 수의 곱이 홀수가 되므로 그 경우의 수는

[eqn: `_5 rmC_3 =10]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 84-10=74]

(답) [eqn: 5]

(풀이)

[eqn: `_n+1 rmC_{it n-1} = _n+1 rmC_2]이므로 문제의 등식은

[eqn: {(n+2)(n+1)n} over3! - 2 times{n(n-1)} over2! = {(n+1)n } over2!~]

[eqn: n^3 -6n^2 +5n=0], [eqn: n(n-1)(n-5)=0]

따라서 [eqn: n ge 2]이므로 [eqn: n=5]

(답) [eqn: 135]

(풀이)

11종류 중 3종류를 출시하는 방법의 수는

[eqn: `_11 rmC_3 = 165]

빵만 3종류를 출시하는 방법의 수는

[eqn: `_6 rmC_3 =20]

과자만 3종류를 출시하는 방법의 수는

[eqn: `_5 rmC_3 =10]

따라서 구하는 방법의 수는

[eqn: 165-(20+10)=135]

(답) [eqn: 29]

(풀이)

5000원짜리 지폐 2장으로 10000원을 만들 수 있으므로 지불할 수 있는 금액은 5000원짜리 지폐 5장, 1000원짜리 지폐 4장으로 지불할 수 있는 금액과 같다.

5000원짜리 지폐 5장으로 지불할 수 있는 금액은 0원, 5000원, [eqn: ...], 25000원이므로 6가지

1000원짜리 지폐 4장으로 지불할 수 있는 금액은 0원, 1000원, [eqn: ...], 4000원이므로 5가지

이때 0원을 지불하는 경우를 제외하면 구하는 금액의 수는

[eqn: 6 times5 -1=29]

(답) [eqn: 1260]

(풀이)

[eqn: `_9 rmC_2 times_7 C_3 times_4 C_4 = 1260]

(답) [eqn: 4]

(풀이)

추가해야 하는 산책로의 수를 [eqn: n]이라고 할 때, 건물 [eqn: rmA]에서 건물 [eqn: rmD]까지 가는 방법의 수는

(ⅰ) [eqn: rmA`` ->``B``->``D]: [eqn: 3 times2 =6]

(ⅱ) [eqn: rmA`` ->``C``->``D]: [eqn: 2 times3 =6]

(ⅲ) [eqn: rmA`` ->``B``->``C``->``D]: [eqn: 3 timesn times3 = 9n]

(ⅳ) [eqn: rmA`` ->``C``->``B``->``D]: [eqn: 2 timesn times2 = 4n]

(ⅰ)~(ⅳ)에서

[eqn: 6+6+9n+4n= 13n+12]

따라서 [eqn: 13n+12=64]에서 [eqn: n=4]이므로 추가해야 하는 산책로의 수는 [eqn: 4]이다.

(답) [eqn: 36]

(풀이)

각 단의 높이는 [eqn: 0.5``\m]이므로 단의 개수는

[eqn: 4 div 0.5 = 8]

(ⅰ) 폭이 [eqn: 1``\m]인 단 [eqn: 6]개와 [eqn: 2``\m]인 단 [eqn: 2]개로 구조물을 설계하는 방법의 수는 [eqn: `_8 rmC_6 times_2 C_2 =28]

(ⅱ) 폭이 [eqn: 1``\m]인 단 [eqn: 7]개와 [eqn: 3``\m]인 단 [eqn: 1]개로 구조물을 설계하는 방법의 수는 [eqn: `_8 rmC_7 times_1 C_1 = 8]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 방법의 수는 [eqn: 28+8=36]

(답) [eqn: 21]

(풀이)

출발 지점에서 도착 지점까지 한 번에 한 칸씩 건너면 7번을 건너야 하므로

두 칸을 건너는 수가 0인 경우: [eqn: `_7 rmC_0 =1]

두 칸을 건너는 수가 1인 경우: [eqn: `_6 rmC_1 =6]

두 칸을 건너는 수가 2인 경우: [eqn: `_5 rmC_2 =10]

두 칸을 건너는 수가 3인 경우: [eqn: `_4 rmC_3 =4]

따라서 구하는 방법의 수는

[eqn: 1+6+10+4=21]

(답) [eqn: 540]

(풀이)

영역 (마), (라), (나), (다), (가)에 칠할 수 있는 색은 각각 [eqn: 5]가지, [eqn: 4]가지, [eqn: 3]가지, [eqn: 3]가지, [eqn: 3]가지이므로

[eqn: 5 times4times3 times3 times3 = 540]

(답) [eqn: 30]

(풀이)

크기가 다른 두 상자에 나누어 담는 아이스크림의 개수를 순서쌍으로 나타내면

[eqn: (1`,`4)], [eqn: (2`,`3)], [eqn: (3`,`2)], [eqn: (4`,`1)]	……(가)

따라서 구하는 방법의 수는

[eqn: `_5 rmC _1 times_4 C_4 + _5 C_2 times_3 C_3 + _5 C_3 times _2 C_2 +_5 C_4 times _1 C_1]

[eqn: = 5+10+10+5=30]	……(나)

단계	채점 요소	배점률
(가)	크기가 다른 두 상자에 나누어 담는 아이스크림의 개수를 순서쌍으로 나타내기	[eqn: 40%]
(나)	아이스크림을 나누어 담는 방법의 수 구하기	[eqn: 60%]

(답) [eqn: 27]

(풀이)

(ⅰ) 놀이 기구 B, C에 어린이가 각각 1명씩 탈 때, 놀이 기구 A, B, C에 타는 어른의 수를 순서쌍 [eqn: (rm A`,``B`,``C)]로 나타내면

[eqn: (0명`,``1명`,``2명)] ⇨ [eqn: `_3 rmC_1 times_2 C_2 =3]

[eqn: (1명`,``1명`,``1명)] ⇨ [eqn: `_3 rmC_1 times_2 C_1 times_1 C_1 =6]

따라서 어린이가 바꿔 타는 경우를 생각하면

[eqn: 2! times(3+6)= 18]	……(가)

(ⅱ) 놀이 기구 C에 어린이가 2명 탈 때, 놀이 기구 A, B, C에 타는 어른의 수를 순서쌍 [eqn: (rm A`,``B`,``C)]로 나타내면

[eqn: (0명`,``2명`,``1명)] ⇨ [eqn: `_3 rmC_2 times_1 C_1 =3]

[eqn: (1명`,``1명`,``1명)] ⇨ [eqn: `_3 rmC_1 times_2 C_1 times_1 C_1 =6]

따라서 [eqn: 3+6=9]	……(나)

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 방법의 수는

[eqn: 18+9=27]	……(다)

단계	채점 요소	배점률
(가)	놀이 기구 [eqn: rmB], [eqn: rmC]에 어린이가 각각 [eqn: 1]명씩 타는 경우의 수 구하기	[eqn: 40%]
(나)	놀이 기구 [eqn: rmC]에 어린이가 [eqn: 2]명씩 타는 경우의 수 구하기	[eqn: 40%]
(다)	어른 [eqn: 3]명과 어린이 [eqn: 2]명이 동시에 놀이 기구에 타는 방법의 수 구하기	[eqn: 20%]

(답) [eqn: ebcad]

(풀이)

(ⅰ) [eqn: a]~[eqn: d]로 시작하는 문자열의 개수는

[eqn: 4! times4=96]

(ⅱ) [eqn: ea]로 시작하는 문자열의 개수는 [eqn: 3! =6]

(ⅲ) [eqn: eba]로 시작하는 문자열의 개수는 [eqn: 2! =2]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 문자열의 개수는

[eqn: 96+6+2=104]이므로 [eqn: 105]번째의 문자열은 [eqn: ebcad]이다.

(답) [eqn: 288]

(풀이)

운전석에 A 또는 B가 앉는 방법의 수는 [eqn: `_2 rmC_1 =2]

C, D가 3열에 앉는 방법의 수는 [eqn: `_3 rmP_2 =6]

나머지 4명이 빈자리에 앉는 방법의 수는 [eqn: 4! = 24]

따라서 구하는 방법의 수는

[eqn: 2times6 times24 = 288]

(답) [eqn: 360]

(풀이)

첫 번째 또는 네 번째 세로줄에 초록색 타일 2장을 붙이는 방법의 수는

[eqn: `_4 rmC_2 times_2 C_1 times_3 C_1 times_3 C_1 times2 = 216]

두 번째 또는 세 번째 세로줄에 초록색 타일 2장을 붙이는 방법의 수는

[eqn: `_4 rmC_2 times_2 C_1 times_2 C_1 times_3 C_1 times2 = 144]

따라서 구하는 방법의 수는

[eqn: 216+144 = 360]