(답) (1) [eqn: 3]	(2) [eqn: -4]

정답과 해설

미래엔(황선욱 외)

Ⅳ-1. 행렬

(답) [eqn: a=4], [eqn: b=2], [eqn: c=-4]

(답) (1) [eqn: {pmatrix{``1&~4``#``1&~5``}}]	(2) [eqn: {pmatrix{``-5&~6``#``5&~-3``}}]
(3) [eqn: {pmatrix{``6&~-15``#``-9&~-3``}}]	(4) [eqn: {pmatrix{``8&~-7``#``-7&~7``}}]

(답) (1) [eqn: LEFT ( ``-14`` RIGHT )]	(2) [eqn: {pmatrix{``-17&~8``}]
(3) [eqn: {pmatrix{``21``#``-12``}}]	(4) [eqn: {pmatrix{``10&~-3``#``8&~0``}}]

(답) ①
(풀이)
[eqn: A= {pmatrix{``4&~7``#3&~6``}}]이므로 모든 성분의 합은 [eqn: 20]이다.

(답) [eqn: 4]
(풀이)
[eqn: a=-1,~b=5]이므로 [eqn: a+b=4]

(답) [eqn: {pmatrix{-12&~-12``#``21&~12``}}]

(답) ㄱ, ㄴ
(풀이)
ㄷ. 제[eqn: 3]열의 합은 [eqn: 2+7+ LEFT ( -4 RIGHT ) =5]이다.

(답) 5
(풀이)
[eqn: a+b=-1], [eqn: ab=-2]이므로
[eqn: a ^{2} +b ^{2} = LEFT ( a+b RIGHT ) ^{2} -2ab=5]

(답) [eqn: {pmatrix{``13&~-4``#``2&~21``}}]

(답) [eqn: {pmatrix{- {1} over {2}&~0&~ {1} over {2} ``#``0&~ {1} over {2} `&~1``}}]

(답) [eqn: -1]
(풀이)
[eqn: A ^{2} = {pmatrix{1&~2``#-1&~k``}} {pmatrix{1&~2``#-1&~k``}} = {pmatrix{-1&~2k+2``#-1-k&~k ^{2} -2``}}]……(가)
[eqn: A ^{2}]의 모든 성분의 합이 0이어야 하므로
[eqn: -1+ LEFT ( 2k+2 RIGHT ) + LEFT ( -1-k RIGHT ) + LEFT ( k ^{2} -2 RIGHT ) =0]
[eqn: k ^{2} +k-2=0], [eqn: LEFT ( k+2 RIGHT ) LEFT ( k-1 RIGHT ) =0]
[eqn: k=-2] 또는 [eqn: k=1]	……(나)
따라서 모든 실수 [eqn: k]의 값의 합은
[eqn: -2+1=-1]	……(다)

단계	채점 요소	배점률
(가)	[eqn: A ^{2}] 구하기	[eqn: 40%]
(나)	[eqn: k]의 값 구하기	[eqn: 40%]
(다)	모든 실수 [eqn: k]의 값의 합 구하기	[eqn: 20%]

(답) [eqn: k=-3,~l=2]
(풀이)
[eqn: k {pmatrix{``2&~-3``#``4&~-1``}} +l {pmatrix{``1&~5``#``-2&~-1``}} = {pmatrix{``-4&~19``#``-16&~1``}}]에서
[eqn: {pmatrix{``2k+l&~-3k+5l``#``4k-2l&~-k-l``}} = {pmatrix{``-4&~19``#``-16&~1``}}]이므로
[eqn: 2k+l=-4,~4k-2l=-16]을 연립하여 풀면
[eqn: k=-3,~l=2]

Ⅳ-1. 행렬	미래엔(황선욱 외)

(답) [eqn: a=-2,~b=4]
(풀이)
[eqn: {pmatrix{``a&~-4``#`2&~b``}} {pmatrix{``-2&~2``#`1&~-1``}} = {pmatrix{``0&~0``#`0&~0``}}]에서
[eqn: {pmatrix{``-2a-4&~2a+4``#`-4+b&~4-b``}} = {pmatrix{``0&~0``#`0&~0``}}]이므로
[eqn: a=-2,~b=4]

(답) [eqn: -6]
(풀이)
[eqn: A-B= {pmatrix{``-2&~a``#`-1&~-b``}}]이므로
[eqn: LEFT ( A-B RIGHT ) ^{2} = {pmatrix{``4-a&~-2a-ab``#`2+b&~-a+b ^{2} ``}} = {pmatrix{``2&~2``#``-1&~7``}}]
[eqn: a=2,~b=-3]이므로 [eqn: ab=-6]

(답) ⑤
(풀이)
[eqn: AB= {pmatrix{``-1&~1``#`3&~0``}} {pmatrix{``-2&~3``#`a&~b``}} = {pmatrix{``2+a&~-3+b``#`-6&~9`}}]
[eqn: BA= {pmatrix{``-2&~3``#`a&~b``}} {pmatrix{``-1&~1``#`3&~0``}} = {pmatrix{``11&~-2``#`-a+3b&~a``}}]
[eqn: {pmatrix{``2+a&~-3+b``#`-6&~a``}} = {pmatrix{``11&~-2``#`-a+3b&~a``}}]이므로
[eqn: a=9,~b=1]    [eqn: THEREFORE `a+b=10]

(답) [eqn: 13]
(풀이)
[eqn: {pmatrix{``3a&~2``#``-5&~4``}} =3 {pmatrix{``-b&~1``#``-1&~2``}} + {pmatrix{``-9&~-1``#``ab&~-2``}}]에서
[eqn: {pmatrix{``3a&~2``#``-5&~4``}} = {pmatrix{``-3b-9&~2``#``ab-3&~4``}}]	……(가)
두 행렬이 서로 같을 조건에 의하여
[eqn: 3a=-3b-9], [eqn: -5=ab-3]
[eqn: a+b=-3,~ab=-2]이므로	……(나)
[eqn: a ^{2} +b ^{2} = LEFT ( a+b RIGHT ) ^{2} -2ab# ~~~~~~= LEFT ( -3 RIGHT ) ^{2} -2 TIMES LEFT ( -2 RIGHT )# ~~~~~~=13]
……(다)

단계	채점 요소	배점률
(가)	등식으로 정리하기	[eqn: 30%]
(나)	[eqn: a+b,~ab]의 값 구하기	[eqn: 40%]
(다)	[eqn: a ^{2} +b ^{2}]의 값 구하기	[eqn: 30%]

(답) [eqn: {pmatrix{``0``#``2``}}]

(풀이)

[eqn: A= {pmatrix{``a&~b``#``c&~d``}}]라 하면 [eqn: A {pmatrix{``1``#0}} = {pmatrix{-1#3}}]에서
[eqn: {pmatrix{``a&~b``#``c&~d``}} {pmatrix{``1``#``0``}} = {pmatrix{-1``#`3``}}], [eqn: {pmatrix{``a&``#``c&``}} = {pmatrix{-1``#`3``}}]
두 행렬이 서로 같은 조건에 의하여
[eqn: a=-1,~c=3]	……(가)
[eqn: A {pmatrix{``0``#1}} = {pmatrix{``2``#-4}}]에서
[eqn: {pmatrix{``a&~b``#``c&~d``}} {pmatrix{``0``#``1``}} = {pmatrix{``2``#-4``}}], [eqn: {pmatrix{``b&``#``d&``}} = {pmatrix{``2``#`-4``}}]
두 행렬이 서로 같은 조건에 의하여
[eqn: b=2,~d=-4]	……(나)
따라서 [eqn: A= {pmatrix{-1&~2``#``3&~-4``}}]이므로
[eqn: A {pmatrix{``2``#``1`}} = {pmatrix{-1&~2``#``3&~-4``}} {pmatrix{``2``#``1`}} = {pmatrix{``0``#``2``}}]	……(다)

단계	채점 요소	배점률
(가)	[eqn: a,~c]의 값 구하기	[eqn: 40%]
(나)	[eqn: b,~d]의 값 구하기	[eqn: 40%]
(다)	[eqn: A {pmatrix{``2``#1}}] 구하기	[eqn: 20%]

(답) [eqn: -2]
(풀이)
여의도(1)와 신길(2)은 한 번에 이동할 수 있으므로 [eqn: a _{12} =0,~a _{21} =0]
신길(2)과 대방(3)은 한 번에 이동할 수 있으므로
[eqn: a _{23} =0,~a _{32} =0]
대방(3)과 샛강(4)은 한 번에 이동할 수 있으므로
[eqn: a _{34} =0,~a _{43} =0]
샛강(4)과 여의도(1)는 한 번에 이동할 수 있으므로 [eqn: a _{41} =0,~a _{14} =0]
나머지 성분은 모두 [eqn: -1]이므로
[eqn: A= {pmatrix{-1&~0&~-1&~0``#``0&~-1&~0&~-1``#-1&~0&~-1&~0``#``0&~-1&~0&~-1``}}]
따라서 행렬 [eqn: A]의 제[eqn: 3]행의 모든 성분의 합은 [eqn: -2]이다.

(답) 풀이 참조
(풀이)

(1) [표 1]과 [표 2]를 각각 행렬 [eqn: A]와 [eqn: B]로 나타내면
[eqn: A= {pmatrix{``2500&~1200``#``1800&~1500``}}], [eqn: B= {pmatrix{``3&~4``#``5&~4``}}]
성훈이와 미주가 두 편의점 [eqn: rm P]와 [eqn: rm Q]에 지불해야 할 금액을 행렬로 나타내면
[eqn: AB= {pmatrix{``2500&~1200``#``1800&~1500``}} {pmatrix{``3&~4``#5&~4``}} = {pmatrix{``13500&~14800``#``12900&~13200``}}]

(2) 성훈이와 미주 모두 편의점 [eqn: rm P]에서 구입해야 비용이 더 적게 든다.

(답) [eqn: 7]
(풀이)
[eqn: A ^{2} =AA= {pmatrix{``1&~0``#``0&~2``}} {pmatrix{``1&~0``#``0&~2``}} = {pmatrix{``1&~0``#``0&~4``}}]
[eqn: A ^{3} =A ^{2} A= {pmatrix{``1&~0``#``0&~4``}} {pmatrix{``1&~0``#``0&~2``}} = {pmatrix{``1&~0``#``0&~8``}}]
[eqn: A ^{4} =A ^{3} A= {pmatrix{``1&~0``#``0&~8``}} {pmatrix{``1&~0``#``0&~2``}} = {pmatrix{``1&~0``#``0&~16``}}]
⁝
즉, [eqn: A ^{n} = {pmatrix{``1&~0``#``0&~2 ^{n} ``}}]이므로
[eqn: A ^{7} = {pmatrix{``1&~0``#``0&~2 ^{7} ``}} = {pmatrix{``1&~0``#``0&~128``}}]	……(가)
따라서 구하는 자연수 [eqn: n]의 값은 [eqn: 7]이다.
……(나)

단계	채점 요소	배점률
(가)	[eqn: A ^{7}] 구하기	[eqn: 80%]
(나)	자연수 [eqn: n]의 값 구하기	[eqn: 20%]