교과서 밀착 문제

비상교육(김원경 외)

※ 교과서 속 문제를 재구성하여 단원별로 나열하였습니다.

Ⅳ-1. 행렬

[eqn: 2 times2] 행렬 [eqn: A]의 [eqn: (i`,``j)] 성분 [eqn: a_ij]가 다음과 같을 때, 행렬 [eqn: A]를 구하시오.

(1) [eqn: a_ij = i+2j -3]

(2) [eqn: a_ij = i^2 +j^2]

다음 등식이 성립할 때, 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 값을 구하시오.

[eqn: pmatrix{a+2&~~~4#3&~-1][eqn: = pmatrix{-4&~~4#b-5&~~c-2]

행렬 [eqn: A = pmatrix{ ~4&~-5&~~1#-2&~~~2&~~3]에 대하여 등식 [eqn: 2A+X =O]를 만족시키는 행렬 [eqn: X]를 구하시오.

다음을 계산하시오.

(1) [eqn: pmatrix{2&~~-1#4&~~~~3} pmatrix{2#3]

(2) [eqn: pmatrix{7&~~-1#4&~~~~0} pmatrix{~~0&~-2#-1&~~~3]

[eqn: 2times3] 행렬 [eqn: A]의 [eqn: (i`,``j)] 성분 [eqn: a_ij]가 [eqn: a_ij = i+j +p]일 때, 행렬 [eqn: A]의 모든 성분의 합이 [eqn: 45]이다. 이때 실수 [eqn: p]의 값을 구하시오.

두 행렬 [eqn: A= pmatrix{ 4&~a+2b#2a&~3], [eqn: B= pmatrix{4&~~6#4&~~3]이 서로 같은 행렬일 때, 실수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하시오.

두 행렬 [eqn: A= pmatrix{ 3&~-2#1&~-4], [eqn: B= pmatrix{-8&~~~2#~~3&~-1]에 대하여 [eqn: 2(A-B)-3A]를 계산하시오.

[eqn: 2times2] 행렬 [eqn: A]의 [eqn: (i`,``j)] 성분 [eqn: a_ij]가

[eqn: a_ij = cases{i^2&~(i>j)#-i+j&~(i le j)]

일 때, 행렬 [eqn: A]를 구하시오.

등식 [eqn: pmatrix{2&~4#6&~a} = pmatrix{a+b&~a-b#6&~a]를 만족시키는 실수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하시오.

세 행렬 [eqn: A= pmatrix{ 3&~-1#a&~~~5], [eqn: B= pmatrix{~~9&~~7#-2&~~b], [eqn: C= pmatrix{-1&~~c#~~4~&~~0]에 대하여 등식 [eqn: 2A-B =3C]를 만족시키는 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 값을 구하시오.

두 행렬 [eqn: A= pmatrix{ 1&~-1#3&~-2], [eqn: B= pmatrix{3&~-2#0&~-1]에 대하여 행렬 [eqn: 3A-2B]의 모든 성분의 합을 구하시오.

두 행렬 [eqn: A= pmatrix{ 2&~~0#6&~-1], [eqn: B= pmatrix{1&~-3#3&~-2]에 대하여 등식 [eqn: 4A-X = 2(X+B)]를 만족시키는 행렬 [eqn: X]를 구하시오.

세 행렬 [eqn: A= pmatrix{ -1&~~2#~8&~~16], [eqn: B= pmatrix{-1&~~2#~~2&~~4], [eqn: C= pmatrix{ -1&~~~2#-1&~-2]에 대하여 등식 [eqn: A=xB +yC]를 만족시키는 실수 [eqn: x], [eqn: y]의 값을 구하시오.

Ⅳ-1. 행렬	비상교육(김원경 외)

두 행렬 [eqn: A= pmatrix{ -2&~~1#~~3&~~0], [eqn: B= pmatrix{3&~-5#1&~-3]에 대하여 [eqn: AB-BA]를 계산하시오.

다음 등식을 만족시키는 실수 [eqn: x], [eqn: y]의 값을 구하시오. (단, [eqn: x>y])

[eqn: pmatrix{1&~~1#x&~~y} pmatrix{x&~~2#y&~~3}][eqn: = pmatrix{ -1&~4#~~6&~2x} + pmatrix{ 5&~~1#4&~3y]

다음 [표 1], [표 2]는 두 반도체 회사 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서 1월과 2월에 수출한 메모리 반도체와 시스템 반도체의 수출액을 나타낸 것이다. 두 회사 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서 2개월 동안 수출한 메모리 반도체와 시스템 반도체의 수출액을 행렬을 이용하여 나타내시오.

(단, 수출액의 단위는 억 달러이다.)

[표 1] 1월 수출액	[표 2] 2월 수출액

종류 회사	메모리 반도체	시스템 반도체
[eqn: rmA]	[eqn: 30]	[eqn: 19]
[eqn: rmB]	[eqn: 34]	[eqn: 20]

종류 회사	메모리 반도체	시스템 반도체
[eqn: rmA]	[eqn: 31]	[eqn: 20]
[eqn: rmB]	[eqn: 33]	[eqn: 21]

두 행렬 [eqn: A= pmatrix{~~ 1&~~4#-2&~~5], [eqn: B= pmatrix{~~2&~~1#-1&~~3]에 대하여 등식 [eqn: pmatrix{-4&~~5#-1&~~1} =mA+nB]를 만족시키는 실수 [eqn: m], [eqn: n]의 값을 구하시오.

세 행렬 [eqn: A= pmatrix{1#6], [eqn: B=(4~~-2)], [eqn: C= pmatrix{ ~~0&~-2#-1&~~~9]에 대하여 다음 중 행렬의 곱셈이 불가능한 것을 모두 고르면?

① [eqn: AB]	② [eqn: AC]	③ [eqn: BC]

④ [eqn: CA]	⑤ [eqn: CB]

등식 [eqn: pmatrix{-2&~x#y&~-3} pmatrix{1&~~1#2&~~z}=O]를 만족시키는 실수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]의 값을 구하시오.

두 행렬 [eqn: A= pmatrix{ 1&~~~0#2&~-1], [eqn: B= pmatrix{2&~~1#k&~~3]에 대하여 행렬 [eqn: AB-BA]의 모든 성분의 합이 [eqn: 2]일 때, 실수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

등식 [eqn: pmatrix{ x+y&~~0#0&~~xy} =6E]를 만족시키는 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: x^3 +y^3]의 값을 구하시오.

두 행렬 [eqn: A= pmatrix{ ~~1&~~~2#-3&~-1], [eqn: B= pmatrix{7&~~9#4&~~3]에 대하여 다음을 만족시키는 행렬 [eqn: X], [eqn: Y]를 구하시오.

[eqn: cases{X+2Y=B&~cdotscdots`①#-2X+Y=A&~cdotscdots`②]

두 행렬 [eqn: A= pmatrix{ -1&~~~2#~~2&~-3], [eqn: B= pmatrix{~~1&~-4#-4&~~~5]에 대하여 등식 [eqn: A^2 =pB +q E]를 만족시키는 실수 [eqn: p], [eqn: q]의 값을 구하시오.

이차방정식 [eqn: x^2 -4x -3=0]의 두 실근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라고 할 때, 행렬 [eqn: X= pmatrix{alpha&~~-1#-1&~beta]에 대하여 행렬 [eqn: X^2]의 모든 성분의 합을 구하시오.

두 행렬 [eqn: A= pmatrix{2&~~~3#1&~-2], [eqn: B= pmatrix{-1&~~2#~~2&~~3]에 대하여 등식 [eqn: 2(A+3X) -B = 5B +4X]를 만족시키는 행렬 [eqn: X]를 구하시오.

두 행렬 [eqn: A], [eqn: B]가

[eqn: A+B = pmatrix{ 5&~~0#1&~~3], [eqn: A-B = pmatrix{ -1&~~2#-1&~~3]

을 만족시킬 때, 행렬 [eqn: A], [eqn: B]를 구하시오.

이차방정식 [eqn: x^2 +ax+b=0]의 두 실근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라고 할 때, 등식

[eqn: alpha pmatrix{alpha&~~2#0&~~beta} + beta pmatrix{ beta&~~2#0&~~alpha} = pmatrix{10&~`4#0&~`2alpha beta]

를 만족시키는 실수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하시오.

두 행렬 [eqn: A= pmatrix{ 1&~-1#0&~~~4], [eqn: B= pmatrix{-1&~~0#~~3&~~2]에 대하여 행렬 [eqn: A^2 -B^2]의 모든 성분의 합을 구하시오.

두 행렬 [eqn: A= pmatrix{ 1&~-2#2&~-4], [eqn: B= pmatrix{a&~-1#2&~~b]에 대하여 등식 [eqn: AB=O]를 만족시키는 실수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하시오.

두 이차정사각행렬 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 다음 중 항상 옳은 것은?

① 실수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: A= pmatrix{ a_11&~a_12#a_21&~a_22]이면 [eqn: kA = pmatrix{ ka_11&~a_12#a_21&~a_22]이다.

② [eqn: A= pmatrix{ a_11&~a_12#a_21&~a_22], [eqn: B= pmatrix{ b_11&~b_12#b_21&~b_22]이면 [eqn: AB = pmatrix{ a_11 b_11 &~a_12 b_12 #a_21 b_21&~a_22 b_22]이다.

③ [eqn: AB=BA]이다.

④ [eqn: AB=O]이면 [eqn: A=O]이거나 [eqn: B=O]이다.

⑤ [eqn: A-B=O]이면 [eqn: B-A=O]이다.

행렬 [eqn: A= pmatrix{ -1&~~0#-2&~~1]에 대하여 행렬
[eqn: A+A^2 +A^3 + cdots+A^100]의 모든 성분의 합을 구하시오.

어느 인터넷 쇼핑몰에서는 두 택배 회사 [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 이용하여 옷과 가방을 배송하려고 한다. 다음 [표 1]은 배송 유형에 따른 두 회사의 택배 비용이고, [표 2]는 주문받은 옷과 가방의 배송 유형별 수량이다. 회사 [eqn: rmA]를 이용하여 배송하는 경우와 회사 [eqn: rmB]를 이용하여 배송하는 경우 지불해야 할 택배 비용을 각각 구하시오.

[표 1] 택배 비용	[표 2] 주문 수량

(단위: 천 원)
배송 유형 회사	일반	당일
[eqn: rmA]	[eqn: 3]	[eqn: 4]
[eqn: rmB]	[eqn: 2]	[eqn: 5]

(단위: 개)
물품 배송 유형	옷	가방
일반	[eqn: 35]	[eqn: 10]
당일	[eqn: 30]	[eqn: 5]

다음 [표 1]은 지유와 서하의 1학년 1학기 두 과목 가, 나에 대한 등급이고, [표 2]는 그 두 과목의 학점이다.

[표 1] 과목별 등급	[표 2] 과목별 학점

과목 학생	가	나
지유	[eqn: 2]	[eqn: 3]
서하	[eqn: 1]	[eqn: 4]

과목	학점
가	[eqn: 4]
나	[eqn: 3]

학점이 다른 두 과목의 등급 평균은 다음과 같이 계산한다고 한다.

[eqn: (등급``평균)= {[ LEFT { (등급) TIMES (학점) RIGHT } 의``합]} over {(학점의``합)}]

네 행렬 [eqn: A= pmatrix{2&~~3#1&~~4], [eqn: B= pmatrix{2&~~1#3&~~4], [eqn: C= pmatrix{4#3], [eqn: D=(4~~3)]에 대하여 서하의 두 과목의 등급 평균을 의미하는 것은?

① 행렬 [eqn: 1over7 AB]의 [eqn: (2`,``2)] 성분

② 행렬 [eqn: 1over7 AC]의 [eqn: (2`,`1)] 성분

③ 행렬 [eqn: 1over7 BC]의 [eqn: (1`,`1)] 성분

④ 행렬 [eqn: 1over7 CD]의 [eqn: (2`,`1)] 성분

⑤ 행렬 [eqn: 1over7 DB]의 [eqn: (1`,`1)] 성분

이차정사각행렬 [eqn: A]의 [eqn: (i`,``j)] 성분 [eqn: a_ij]가 [eqn: a_ij = i-j]일 때, 행렬 [eqn: A+A^2 +A^3 +cdots+A^2030]의 모든 성분의 합을 구하시오.

두 행렬 [eqn: A= pmatrix{ 4&~-1#13&~-3], [eqn: B= pmatrix{1&~-2#1&~-1]에 대하여 등식 [eqn: A^n +B^n =O]를 만족시키는 가장 작은 자연수 [eqn: n]의 값을 구하시오.

이차정사각행렬 [eqn: A]에 대하여

[eqn: A pmatrix{p#0} = pmatrix{~2#-3], [eqn: A pmatrix{p#2q} = pmatrix{4#5]

가 성립할 때, [eqn: A pmatrix{p#q}]를 구하시오. (단, [eqn: p], [eqn: q]는 실수)

이차정사각행렬 [eqn: A]에 대하여

[eqn: A pmatrix{1#0} = pmatrix{-1#~~3], [eqn: A pmatrix{0#1} = pmatrix{~~3#-2]

가 성립할 때, [eqn: A pmatrix{~~2#-1]을 구하시오.

행렬 [eqn: A= pmatrix{1&~-3#0&~~~1]에 대하여 행렬 [eqn: A^30 -A^31]의 [eqn: (1`,``2)] 성분은?

① [eqn: -3]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 3^29]	⑤ [eqn: 3^30]

행렬 [eqn: A= pmatrix{~~1&~~~3#-1&~-2]에 대하여 [eqn: 2A^5 -4A^2 +A]를 계산하시오.

다음 [표 1]은 어느 회사에서 생산하는 두 제품 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 제품 한 개당 제조 원가와 판매가이고, [표 2]는 올해 상반기와 하반기의 두 제품 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 판매량이다.

[표 1] 제조 원가와 판매가	[표 2] 판매량

(단위: 천 원)
제품 가격	[eqn: \A]	[eqn: rmB]
제조 원가	[eqn: 3]	[eqn: 1]
판매가	[eqn: 4]	[eqn: 2]

(단위: 만 개)
시기 제품	상반기	하반기
[eqn: \A]	[eqn: 10]	[eqn: 12]
[eqn: rmB]	[eqn: 8]	[eqn: 13]

두 행렬 [eqn: P= pmatrix{ 3&~1#4&~2], [eqn: Q= pmatrix{ 10&~12#8&~13]에 대하여 [eqn: PQ = pmatrix{ a&~b#c&~d]라고 하자.  제품의 판매가에서 제조 원가를 뺀 금액을 제품의 판매 이익금이라고 할 때, 올해 하반기에 판매된 두 제품의 판매 이익금의 합을 나타낸 것은?

(단, 판매 이익금의 단위는 천만 원이다.)

① [eqn: b-a]	② [eqn: c-a]	③ [eqn: d-c]

④ [eqn: d-b]	⑤ [eqn: d-a]