정답과 해설

비상교육(김원경 외)

Ⅳ-1. 행렬

(답) (1) [eqn: pmatrix{0&~2#1&~3]   (2) [eqn: pmatrix{2&~5#5&~8]

(답) [eqn: a=-6], [eqn: b=8], [eqn: c=1]

(답) [eqn: pmatrix{ -8&~~~10&~~-2#~~4&~~-4&~~-6]

(답) (1) [eqn: pmatrix{~1#17]   (2) [eqn: pmatrix{1&~-17#0&~-8]

(답) [eqn: 4]

(답) [eqn: a=2], [eqn: b=2]

(답) [eqn: pmatrix{ 13&~-2#-7&~~~6]

(답) [eqn: pmatrix{ 0&~~1#4&~~0]

(답) [eqn: a=3], [eqn: b=-1]

(답) [eqn: a=5], [eqn: b=10], [eqn: c=-3]

(답) [eqn: 3]

(풀이)

[eqn: 3A-2B= pmatrix{-3&~~1#~9&~-4]이므로 모든 성분의 합은 [eqn: 3]

(답) [eqn: pmatrix{2&~2#6&~0]

(풀이)

[eqn: 3X=4A-2B = pmatrix{ ~6&~~6#18&~~0]이므로

[eqn: X=][eqn: pmatrix{2&~2#6&~0]

(답) [eqn: x=3], [eqn: y=-2]

(풀이)

[eqn: pmatrix{-1&~2#~8&~16} = pmatrix{-x-y&~~2x+2y#2x-y&~~4x-2y]이므로

[eqn: x=3], [eqn: y=-2]

(답) [eqn: pmatrix{16&~~4#20&~-16]

(풀이)

[eqn: AB= pmatrix{-5&~~7#~9&~-15], [eqn: BA = pmatrix{ -21&~~3#-11&~~1]

따라서 [eqn: AB-BA=][eqn: pmatrix{16&~~4#20&~-16]

(답) [eqn: x=3], [eqn: y=1]

(풀이)

[eqn: pmatrix{ x+y&~~5#x^2 +y^2&~2x+3y][eqn: = pmatrix{4&~~5#10&~2x+3y]이므로

[eqn: x+y=4], [eqn: x^2 +y^2 =10]

이 연립방정식을 풀면

[eqn: cases{x=1#y=3] 또는 [eqn: cases{x=3#y=1]

그런데 [eqn: x>y]이므로 [eqn: x=3], [eqn: y=1]

(답) [eqn: pmatrix{ 61&~39#67&~41]

Ⅳ-1. 행렬	비상교육(김원경 외)

(답) [eqn: m=2], [eqn: n=-3]

(풀이)

[eqn: pmatrix{ -4&~~5#-1&~~1][eqn: = pmatrix{m+2n&~~4m+n#-2m-n&~~5m+3n]이므로

[eqn: m=2], [eqn: n=-3]

(답) ②, ⑤

(답) [eqn: x=1], [eqn: y=6], [eqn: z=2]

(답) [eqn: -1]

(풀이)

[eqn: AB = pmatrix{ 2&~~~1#4-k&~-1], [eqn: BA = pmatrix{ 4&~~-1#k+6&~~-3]이므로

[eqn: AB-BA = pmatrix{ -2&~~2#-2k-2&~~2]

행렬 [eqn: AB-BA]의 모든 성분의 합이 [eqn: 2]이므로

[eqn: -2k=2], [eqn: k=-1]

(답) [eqn: 108]

(풀이)

[eqn: pmatrix{ x+y&~~0#0&~~xy} = pmatrix{ 6&~~0#0&~~6]이므로

[eqn: x+y=6], [eqn: xy=6]

따라서

[eqn: x^3 +y^3 = (x+y)^3 -3xy(x+y)=108]

(답) [eqn: X= pmatrix{1&~~1#2&~~1], [eqn: Y= pmatrix{3&~~4#1&~~1]

(풀이)

①[eqn: -]②[eqn: times2]를 하면 [eqn: 5X=B-2A]      ……(가)

즉, [eqn: 5X= pmatrix{5&~~5#10&~~5]이므로 [eqn: X= pmatrix{1&~~1#2&~~1] ……(나)

②에서 [eqn: Y=A+2X]이므로 [eqn: Y= pmatrix{3&~~4#1&~~1] ……(다)

단계	채점 요소	배점률
(가)	①[eqn: -]②[eqn: times2]를 하여 행렬 [eqn: X]에 대한 식 세우기	[eqn: 20%]
(나)	행렬 [eqn: X] 구하기	[eqn: 30%]
(다)	행렬 [eqn: Y] 구하기	[eqn: 50%]

(답) [eqn: p=2], [eqn: q=3]

(풀이)

[eqn: A^2 = pB +qE]에서

[eqn: pmatrix{~~ 5&~-8#-8&~13}][eqn: = pmatrix{ p+q&~-4p#-4p&~5p+q]	……(가)

따라서 [eqn: p=2], [eqn: q=3]	……(나)

단계	채점 요소	배점률
(가)	[eqn: A^2 = pB +qE] 나타내기	[eqn: 60%]
(나)	[eqn: p], [eqn: q]의 값 구하기	[eqn: 40%]

(답) [eqn: 16]

(풀이)

[eqn: X^2 = pmatrix{ alpha^2 +1&~~-alpha-beta#-alpha-beta&~beta^2 +1]	……(가)

이차방정식 [eqn: x^2 -4x-3=0]의 두 실근이 [eqn: alpha], [eqn: beta]이므로

[eqn: alpha +beta =4], [eqn: alpha beta = -3]	……(나)

따라서 행렬 [eqn: X^2]의 모든 성분의 합은

[eqn: alpha^2 +beta^2 -2( alpha +beta ) +2]

[eqn: = (alpha +beta )^2 -2 alpha beta -2 ( alpha + beta ) +2 =16]	……(다)

단계	채점 요소	배점률
(가)	행렬 [eqn: X ^{2}] 구하기	[eqn: 40%]
(나)	[eqn: alpha +beta], [eqn: alphabeta]의 값 구하기	[eqn: 30%]
(다)	행렬 [eqn: X ^{2}]의 모든 성분의 합 구하기	[eqn: 30%]

(답) [eqn: pmatrix{ -5&~3#~~5&~11]

(풀이)

[eqn: X=-A+3B = pmatrix{ -5&~3#~~5&~11]

(답) [eqn: A = pmatrix{ 2&~1#0&~3], [eqn: B= pmatrix{ 3&~-1#1&~~~0]

(풀이)

두 등식의 양변을 변끼리 더하면

[eqn: 2A = pmatrix{ 4&~2#0&~6], [eqn: A = pmatrix{ 2&~1#0&~3]

두 등식의 양변을 변끼리 빼면

[eqn: 2B= pmatrix{ 6&~-2#2&~~~0], [eqn: B= pmatrix{ 3&~-1#1&~~~0]

(답) [eqn: a=-2], [eqn: b=-3]

(풀이)

[eqn: pmatrix{ alpha^2 +beta^2 &~2(alpha+beta)#0&~2 alpha beta}= pmatrix{ 10&~~4#0&~2alpha beta]

이때 [eqn: alpha^2 + beta^2 = 10], [eqn: alpha +beta =2]이므로 [eqn: alpha beta =-3]

이차방정식 [eqn: x^2 +ax+b=0]의 두 실근이 [eqn: alpha], [eqn: beta]이므로

[eqn: a= - (alpha + beta ) = -2]

[eqn: b= alpha beta = -3]

(답) [eqn: 4]

(풀이)

[eqn: A^2 -B^2][eqn: = pmatrix{ 1&~-5#0&~16 }- pmatrix{1&~0#3&~4}][eqn: = pmatrix{ ~~0&~-5#-3&~12]

따라서 행렬 [eqn: A^2 -B^2]의 모든 성분의 합은 [eqn: 4]

(답) [eqn: a=4], [eqn: b=- 1over2]

(풀이)

[eqn: AB= pmatrix{ a-4&~-2b-1#2a-8&~-4b-2][eqn: = pmatrix{0&~0#0&~0]이므로

[eqn: a=4], [eqn: b=- 1over2]

(답) ⑤

(풀이)

[eqn: A-B=O]이면 [eqn: A=B]이므로 [eqn: B-A=O]

(답) [eqn: 0]

(풀이)

[eqn: A^2 =E], [eqn: A^3 =A], [eqn: A^4 = E], [eqn: ...]이므로

[eqn: A+A^2 +A^3 +A^4 +cdots+A^99 +A^100]

[eqn: = A+E+A+E+cdots+A+E]

[eqn: =50(A+E)]

[eqn: =50 pmatrix{~0&~~0#-2&~~2][eqn: = pmatrix{ ~0&~0#-100&~100]

따라서 구하는 행렬의 모든 성분의 합은 [eqn: 0]

(답) [eqn: rmA]: [eqn: 275000]원, [eqn: rmB]: [eqn: 265000]원

(풀이)

두 회사 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 택배 비용과 주문 수량을 각각 행렬 [eqn: X], [eqn: Y]로 나타내면

[eqn: X= pmatrix{3&~~4#2&~~5], [eqn: Y= pmatrix{ 35&~~10#30&~~5]

두 회사에 지불해야 할 택배 비용을 행렬로 나타내면

[eqn: XY = pmatrix{ 3&~~4#2&~~5 } pmatrix{ 35&~~10#30&~~5}][eqn: = pmatrix{225&~~50#220&~~45]

따라서 회사 [eqn: rmA]를 이용하여 배송하는 경우 지불해야 할 택배 비용은

[eqn: 225000+50000=275000](원)이고,

회사 [eqn: rmB]를 이용하여 배송하는 경우 지불해야 할 택배 비용은 [eqn: 220000+45000=265000](원)이다.

(답) ②

(풀이)

두 행렬의 곱 [eqn: AC]는 두 학생의 (등급)[eqn: times](학점)의 합이고, 학점의 합은 [eqn: 7]이다.

따라서 서하의 두 과목의 등급 평균은 행렬 [eqn: 1over7 AC]의 [eqn: (2`,`1)] 성분이다.

(답) [eqn: -2]

(풀이)

행렬 [eqn: A]를 구하면 [eqn: A= pmatrix{0&~-1#1&~~~0]	……(가)

[eqn: A^2 = -E], [eqn: A^3 = -A], [eqn: A^4 = -A^2][eqn: =E], [eqn: ...]이므로

[eqn: A+A^2 +A^3 +A^4 +cdots+A^2029 +A^2030]

[eqn: =A-E-A+E+cdots+A-E]

[eqn: =A-E = pmatrix{ -1&~~-1#~~1&~~-1]	……(나)

따라서 구하는 행렬의 모든 성분의 합은 [eqn: -2]

……(다)

단계	채점 요소	배점률
(가)	행렬 [eqn: A] 구하기	[eqn: 30%]
(나)	주어진 행렬 구하기	[eqn: 60%]
(다)	주어진 행렬의 모든 성분의 합 구하기	[eqn: 10%]

(답) [eqn: 6]

(풀이)

[eqn: A^2 = pmatrix{3&~~-1#13&~`-4], [eqn: A^3 = -E], [eqn: A^4 = -A], [eqn: A^5 = -A^2], [eqn: A^6 = -A^3 = E], [eqn: ...]	……(가)

[eqn: B^2 = -E], [eqn: B^3 = -B], [eqn: B^4 = -B^2 = E], [eqn: B^5 =B], [eqn: B^6 = B^2 = -E], [eqn: ...]	……(나)

따라서 등식 [eqn: A^n +B^n = O]를 만족시키는 가장 작은 자연수 [eqn: n]의 값은 [eqn: 6]	……(다)

단계	채점 요소	배점률
(가)	행렬 [eqn: A^n]의 규칙 찾기	[eqn: 30%]
(나)	행렬 [eqn: B^n]의 규칙 찾기	[eqn: 30%]
(다)	주어진 조건을 만족시키는 [eqn: n]의 값 구하기	[eqn: 40%]

(답) [eqn: pmatrix{3#1]

(풀이)

[eqn: A= pmatrix{a&~~b#c&~~d] ([eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]는 실수)라고 하면

[eqn: A pmatrix{ p#0} = pmatrix{ap#cp} = pmatrix{~2#-3]

[eqn: A pmatrix{ p#2q} = pmatrix{ap+2bq#cp+2dq} = pmatrix{4#5]	……(가)

즉, [eqn: ap =2], [eqn: cp =-3], [eqn: bq=1], [eqn: dq =4]	……(나)

따라서 [eqn: A pmatrix{ p#q} = pmatrix{ap+bq#cp+dq} = pmatrix{3#1]	……(다)

단계	채점 요소	배점률
(가)	[eqn: A= pmatrix{a&~~b#c&~~d]로 놓고 [eqn: A {pmatrix{p#0}}], [eqn: A {pmatrix{p#2q}}] 구하기	[eqn: 30%]
(나)	[eqn: ap], [eqn: cp], [eqn: bp], [eqn: dq]의 값 구하기	[eqn: 30%]
(다)	[eqn: A {pmatrix{p#q}}] 구하기	[eqn: 40%]

(답) [eqn: pmatrix{-5#~~8]

(풀이)

[eqn: A= pmatrix{a&~~b#c&~~d] ([eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]는 실수)라고 하면

[eqn: A pmatrix{ 1#0} = pmatrix{a #c } = pmatrix{-1#~~3], [eqn: A pmatrix{ 0#1} = pmatrix{b #d } = pmatrix{~~3#-2]

즉, [eqn: A= pmatrix{ -1&~~~3#~~3&~-2]이므로

[eqn: A pmatrix{~~2#-1} = pmatrix{-5#~~8]

(답) ③

(풀이)

[eqn: A^2 = pmatrix{ 1&~(-3)times2#0&~1], [eqn: A^3 = pmatrix{ 1&~(-3)times3#0&~1], ...이므로

[eqn: A^30 - A^31 = pmatrix{ 1&~-90#0&~~~1} - pmatrix{ 1&~-93#0&~~~1}][eqn: = pmatrix{0&~3#0&~0]

따라서 이 행렬의 [eqn: (1`,`2)] 성분은 [eqn: 3]이다.

(답) [eqn: pmatrix{~~5&~~~9#-3&~-4]

(풀이)

[eqn: A^2 = pmatrix{ -2&~-3#~~1&~~~1], [eqn: A^3 = E]이므로

[eqn: 2A^5 -4A^2 +A=-2A^2 +A][eqn: =pmatrix{~~5&~~~9#-3&~-4]

(답) ④

(풀이)

두 제품 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 올해 하반기 제조 원가의 합은 행렬 [eqn: PQ]의 [eqn: (1`,`2)] 성분 [eqn: b]이고, 두 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 올해 하반기 판매가의 합은 행렬 [eqn: PQ]의 [eqn: (2`,``2)] 성분 [eqn: d]이다.

따라서 판매 이익금의 합은 [eqn: d-b]