Ⅳ. 행렬

난이도별 테스트(상)	학년 반	맞은 개수
	이름	/16개

[eqn: 50]%

1 어느 지역은 가구마다 특정 서비스가 제공되어 1년 단위로 해당 서비스를 신청하거나 신청하지 않을 수 있다고 한다. 2025년 해당 서비스 신청 현황은 [표1]과 같고, 1년 전과의 변화율은 [표2]와 같다.

구분	가구 수		전 해 다음 해	신청	미신청
신청	[eqn: 1640]		신청	[eqn: 70]%	[eqn: 50]%
미신청	[eqn: 820]		미신청	[eqn: 30%]	[eqn: 50]%

[표1]                      [표2]

이때 [표1]과 [표2]를 각각 행렬을 이용하여

[eqn: A= LEFT ( pile{1640#820} RIGHT ) ,````B= {pmatrix{0.7&`````0.5#0.3&`````0.5}}]

로 나타내자. 이 지역의 전체 가구 수는 변함이 없고 [표2]와 같은 추세대로 변화한다고 할 때, 2027년의 서비스 이용 현황을 행렬 [eqn: A,```B]로 나타내시오.

2 두 용기 A, B에 각각 농도가 [eqn: a _{0} ``%,````b _{0} ``%]인 소금물이 [eqn: 100`\g]씩 들어 있다. 두 용기 A, B에서 동시에 각각 [eqn: 10`\g]의 소금물을 퍼서 서로 다른 용기 A, B에 넣고 섞는 작업을 시행하였다. 이와 같은 작업을 5번 시행한 후의 용기 A, B의 소금물의 농도를 각각 [eqn: a``%,````b``%]라 할 때, [eqn: LEFT ( pile{a#b} RIGHT ) =T LEFT ( pile{a _{0}#b _{0}} RIGHT )]로 나타낼 수 있다. 이때 행렬 [eqn: T]는?

① [eqn: {pmatrix{1&`````0.1#0.9&`````1}} ^{5}]	② [eqn: {pmatrix{1&`````0.9#0.1&`````1}} ^{5}]

③ [eqn: {pmatrix{1&`````1#1&`````9}} ^{5}]	④ [eqn: {pmatrix{0.9&`````0.1#0.1&`````0.9}} ^{5}]

⑤ [eqn: {pmatrix{9&`````1#1&`````9}} ^{5}]

3 모든 실수 [eqn: x,````y]에 대하여 행렬의 곱

[eqn: (x`````y) {pmatrix{a&`````b#b&`````a}} LEFT ( pile{x#y} RIGHT )]

의 성분이 음이 아닐 때, [eqn: a ^{2} +(b-2) ^{2}]의 최솟값은? (단, [eqn: a,````b]는 실수)

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]          ③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

4 이차정사각행렬 [eqn: A]에 대하여

[eqn: A ^{2} = {pmatrix{3&`````0#0&`````1}} ,````A LEFT ( pile{a#b} RIGHT ) = LEFT ( pile{c#d} RIGHT )]

가 성립할 때, [eqn: A LEFT ( pile{a+c#b+d} RIGHT )]와 같은 행렬은?

① [eqn: LEFT ( pile{a+c#b+d} RIGHT )]      ② [eqn: LEFT ( pile{a+3c#b-d} RIGHT )]    ③ [eqn: LEFT ( pile{a+3c#b+3d} RIGHT )]

④ [eqn: LEFT ( pile{3a+c#b-d} RIGHT )]     ⑤ [eqn: LEFT ( pile{3a+c#b+d} RIGHT )]

Ⅳ. 행렬

5 이차정사각행렬 [eqn: A= {pmatrix{p&````q#q&````p}}]에서 [eqn: p+q=3]일 때,  두 행렬 [eqn: X=(1`````1)], [eqn: Y= LEFT ( pile{1#1} RIGHT )]에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보기>
ㄱ. [eqn: XA=3X] ㄴ. [eqn: A ^{3} Y=3 ^{3} Y] ㄷ. [eqn: (YXA) ^{2} =3 ^{2} YX]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ       ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

6 두 이차정사각행렬 [eqn: A _{1} = {pmatrix{1&`````0#1&`````0}} ,````B= {pmatrix{0&`````1#1&`````0}}]에 대하여

[eqn: A _{n+1} =A _{n} B]

로 정의할 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: n]은 자연수)

	<보기>
ㄱ. [eqn: A _{2} =A _{5}] ㄴ. [eqn: A _{2n+2} =A _{2n} A _{2n+2}] ㄷ. [eqn: A _{2n+1} =A _{2n} A _{2n+1}]

① ㄱ	② ㄴ       ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

7 행렬 [eqn: {pmatrix{3&~~~1#0&~`-9}} ^{n}]의 [eqn: (1,````2)] 성분이

[eqn: 3 ^{6} -3 ^{7} +3 ^{8} -3 ^{9} +3^10 - 3^11 +3 ^{12}]일 때, 이 행렬의

[eqn: (1,````1)] 성분은? (단, [eqn: n]은 자연수)

① [eqn: 3 ^{5}]	② [eqn: 3 ^{6}]       ③ [eqn: 3 ^{7}]

④ [eqn: (-9) ^{6}]	⑤ [eqn: (-9) ^{7}]

8 행렬 [eqn: A= {pmatrix{a&`````0#a-5&`````5}}]에 대하여 행렬 [eqn: A ^{b}]의 모든 성분의 합이 [eqn: 2 ^{25}]이 되도록 하는 자연수 [eqn: a,````b]의 순서쌍 [eqn: (a,````b)]의 개수를 구하시오.

.

난이도별 테스트(상)

9 영행렬이 아닌 이차정사각행렬 [eqn: A]가 임의의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: A ^{n+1} =A ^{n+2} +A ^{n}]을 만족시킬 때, [eqn: A ^{2000}]을 간단히 하면?

① [eqn: -A ^{3}]	② [eqn: -A ^{2}]       ③ [eqn: A]

④ [eqn: A ^{2}]	⑤ [eqn: A ^{3}]

10 두 행렬 [eqn: A _{1} = {pmatrix{1&`````2#3&`````4}} ,] [eqn: P= {pmatrix{0&`````1#1&`````0}}]이 있다. 자연수 [eqn: n]에 대하여 행렬 [eqn: A _{n}]을 다음과 같이 정의할 때, 행렬 [eqn: A _{1000}]의 [eqn: (2,```2)] 성분을 구하시오.

• 행렬 [eqn: A _{n}]의 [eqn: (1,```1)] 성분이 [eqn: (1,````2)] 성분보다 크면

[eqn: A _{n+1} = A _{n} P]

• 행렬 [eqn: A _{n}]의 [eqn: (1,```1)] 성분이 [eqn: (1,````2)] 성분보다 크지 않으면

[eqn: A _{n+1} =-PA _{n}]

11 두 행렬 [eqn: A= {pmatrix{0&~~1#1&~~0}} ,````B= {pmatrix{1&~~~1#0&~-1}}]에 대하여

[eqn: A ^{15} B ^{15} +(BA) ^{16}]의 모든 성분의 합을 구하시오.

12  이차정사각행렬 [eqn: A]는 모든 성분의 합이 [eqn: 0]이고,

[eqn: A ^{2} +A ^{3} =-3A-3E]

를 만족시킨다. 행렬 [eqn: A ^{4} +A ^{5}]의 모든 성분의 합을 구하시오. (단, [eqn: E]는 단위행렬)

Ⅳ. 행렬

13 이차정사각행렬 [eqn: A]가 다음 조건을 만족시킬 때, 행렬 [eqn: (A-E) ^{100}]의 모든 성분의 합은?

(단, [eqn: E]는 단위행렬)

㈎ [eqn: A ^{2} =E]

㈏ 행렬 [eqn: A]의 모든 성분의 합은 3이다.

① [eqn: -3 TIMES 2 ^{99}]	② [eqn: -2 ^{99}]       ③ [eqn: 2 ^{99}]

④ [eqn: 2 ^{100}]	⑤ [eqn: 3 TIMES 2 ^{99}]

14 두 이차정사각행렬 [eqn: A,```B]가 [eqn: A+B=O,````AB=E]를 만족시킬 때,

[eqn: (A+A ^{2} +A ^{3} +` CDOTS `+A ^{50} )+(B+B ^{2} +B ^{3} +` CDOTS `+B ^{50} )]

을 간단히 하면? (단, [eqn: O]는 영행렬, [eqn: E]는 단위행렬)

① [eqn: -2E]	② [eqn: -E]       ③ [eqn: O]

④ [eqn: E]	⑤ [eqn: 2E]

15 이차정사각행렬 [eqn: A,````B]에 대하여 다음 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

(단, [eqn: O]는 영행렬, [eqn: E]는 단위행렬)

	<보기>
ㄱ. [eqn: (A+B) ^{2} =(A-B) ^{2}]이면 [eqn: AB=O]이다. ㄴ. [eqn: A ^{2} =E,````B ^{2} =B]이면 [eqn: (ABA) ^{2} =ABA]이다. ㄷ. [eqn: A(A+E)=E,````AB=-E]이면 [eqn: B ^{2} =A+2E]이다.

① ㄱ	② ㄷ       ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

16 행렬 [eqn: A= {pmatrix{a&`````b#c&`````d}}]와 이차정사각행렬 [eqn: B]가

[eqn: AB=-E,````A-B=E]

를 만족시킬 때, 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]에 대하여
[eqn: (a-d) ^{2} +4bc]의 값은? (단, [eqn: E]는 단위행렬)

① [eqn: -6]	② [eqn: -5]         ③ [eqn: -4]

④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: -2]