난이도별 테스트(상)

정답과 해설

I. 다항식

1 ⑤	2 ③	3 ③	4 ②	5 [eqn: 132]

6 ⑤	7 ④	8 ③	9 [eqn: -7]	10 [eqn: 36]

11 ③	12 [eqn: 1]	13 ③	14 [eqn: 3 sqrt11]

15 ⑤	16 ⑤

1  ㈎에서 [eqn: ( a - 3 ) ( 2b -3 ) (c-3 ) = 0`]이므로

[eqn: (2ab - 3a - 6b +9) (c-3) =0]

[eqn: 2abc - 3( 2ab + 2bc + ca) + 9 (a + 2b +c) - 27 =0]

㈏에서 [eqn: 3` ( a + 2b + c` ) = 2ab + 2`bc + ca`]이므로

[eqn: 2abc - 3times 3 (a+2b +c) + 9 (a + 2b +c) - 27 =0]

[eqn: 2abc -27=0], [eqn: 2 abc = 27]

∴ [eqn: 4abc = 54]

2  [eqn: x - { 9 }over{ x } = 12]의 양변에 [eqn: x]를 곱하면

[eqn: x ^{ 2 } - 9 = 12 x]에서 [eqn: 4 x = { x ^{ 2 } }over{ 3 } - 3]이므로

[eqn: 4 x + {27 }over { x ^{ 2 }} = { x ^{ 2 } }over{ 3 } - 3 + {27 }over{ x ^{ 2 } }]

[eqn: = 1 over3 left( x^2 + 81 over x^2 right) -3]

[eqn: = {1} over {3} LEFT ( x- {9} over {x} RIGHT ) ^{2} +3]

[eqn: = 1over3 times 12^2 +3= 51]

3 [eqn: a+b+c=root3], [eqn: a^2 +b^2 +c^2 =1]에서

[eqn: (a+b+c) ^{2} -3(a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} )=0]이므로

[eqn: (a+b+c) ^{2} -3(a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} )]

[eqn: =a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} +2ab+2bc+2ca][eqn: - 3 a ^{ 2 } - 3 b ^{ 2 } - 3 c ^{ 2 }]

[eqn: =-(2a ^{2} +2b ^{2} +2c ^{2} -2ab-2bc-2ca)]

[eqn: = - "{" ( a ^{ 2 } - 2 ab + b ^{ 2 } ) + ( b ^{ 2 } - 2 bc + c ^{ 2 } ) +(c ^{2} -2ca+a ^{2} )"}"]

[eqn: = - "{" ( a - b ) ^{ 2 } + ( b - c ) ^{ 2 } + ( c - a ) ^{ 2 } "}"= 0]

따라서 [eqn: a-b=0], [eqn: b-c=0], [eqn: c-a=0]이므로

[eqn: a=b=c]

[eqn: a+b+c=sqrt {3}]에서

[eqn: a=b=c= {sqrt {3}} over {3}]

∴ [eqn: a^3 + b^3 + c^3][eqn: = {sqrt3 } over 9 + { sqrt3 } over 9 + {sqrt3 } over 9 = sqrt3 over3]

4 오른쪽 그림에서

[eqn: rm bar { OB } = IT x], [eqn: rm {bar{AB}} it =y]라 하면

[eqn: rm bar { OA } = IT a]이므로

[eqn: x ^{2} +y ^{2} =a ^{2}]

직사각형 ABCD의 넓이가 [eqn: b]이므로

[eqn: 2xy=b]

[eqn: ( x + y ) ^{ 2 }][eqn: = x ^{ 2 } + y ^{ 2 } + 2 xy]이므로

[eqn: (x+y)^2][eqn: = a ^{ 2 } + b]

[eqn: x>0], [eqn: y>0]이므로

[eqn: x+y= sqrt {a ^{2} +b}]

[eqn: therefore] [eqn: rm {bar{AB}} + {bar{BC}} + {bar{CD}} it][eqn: = y+2x+y]

[eqn: =2(x+y)=2 sqrt {a ^{2} +b}]

5  [eqn: 2A +`B-C = 2x^2 + 15x -5]

[eqn: A+B=3x^2 +11x-3]

[eqn: A-C = -x^2 + 4x -2]

[eqn: ( 2A + B-C ) ( A +B) ( A - C)][eqn: =a_6` x^6 + a_5` x^5 + cdots + a_1 x + a_0]

에서

[eqn: (2x^2 + 15x -5)(3x^2 +11x-3)( -x^2 + 4x -2)]

[eqn: =a_6` x^6 + a_5` x^5 + cdots + a_1 x + a_0]

양변에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: 12 TIMES 11 TIMES 1][eqn: =a`_0 + a`_1 + cdots+ a`_5 + a`_6`]

[eqn: therefore] [eqn: a`_0 + a`_1 + cdots+ a`_5 + a`_6`][eqn: =132]

I. 다항식

6  나머지를 [eqn: R]라 하면

[eqn: x ^{10} =(x+3)(a _{0} +a _{1} x+a _{2} x ^{2} + CDOTS +a _{9} x ^{9} )+R] [eqn: cdotscdots]㉠

㉠의 양변에 [eqn: x=-3]을 대입하면

[eqn: R = ( - 3 ) ^{ 10 } = 3^{ 10 }]

㉠의 양변에 [eqn: x = -1]을 대입하면

[eqn: 1=2(a _{0} -a _{1} +a _{2} - CDOTS -a _{9} )+3 ^{10}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a _{0} -a _{1} +a _{2} - CDOTS -a _{9} = {1-3 ^{10}} over {2}]	[eqn: cdotscdots]㉡

㉠의 양변에 [eqn: x = 1]을 대입하면

[eqn: 1=4(a _{0} +a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{9} )+3 ^{10}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a _{0} +a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{9} = {1-3 ^{10}} over {4}]	[eqn: cdotscdots]㉢

㉡[eqn: +]㉢을 하면

[eqn: 2(a _{0} +a _{2} + a_4 + a_6 + a_8 )][eqn: = {3 -3^11 } over 4]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a _{0} +a _{2} + a_4 + a_6 + a_8][eqn: = {3 -3^11 } over 8]

7  [eqn: f _{ 1 } ( x ) = ( x + 2 ) f _{ 2 } ( x ) + r _{ 1 }]

[eqn: f _{ 2 } ( x ) = ( x + 2 ) f _{ 3 } ( x ) + r _{ 2 }]

[eqn: vdots]

[eqn: f _{ n } ( x ) = ( x + 2 ) f _{ n + 1 } ( x ) + r _{ n }]

이므로

[eqn: f _{ 1 } ( x ) = ( x + 2 ) f _{ 2 } ( x ) + r _{ 1 }]

[eqn: = ( x + 2 ) lbrace ( x + 2 ) f _{ 3 } ( x ) + r _{ 2 } rbrace + r _{ 1 }]

[eqn: = ( x + 2 ) ^{ 2 } f _{ 3 } ( x ) + ( x + 2 ) r _{ 2 } + r _{ 1 }]

[eqn: vdots]

[eqn: = ( x + 2 ) ^{ n } f _{ n + 1 } ( x ) + ( x + 2 ) ^{ n - 1 } r _{ n }]                                       [eqn: + cdots + ( x + 2 ) r _{ 2 } + r _{ 1 }]

따라서 [eqn: f _{ 1 } ( x )]를 [eqn: ( x + 2 ) ^{ n }]으로 나누었을 때의 나머지 [eqn: r ( x )]는

[eqn: r(x)=(x+2) ^{n-1} r _{n} + CDOTS +(x+2)r _{2} +r _{1}]

[eqn: therefore] [eqn: r ( -1 ) =][eqn: r _{1} +r _{2} + CDOTS +r _{n}]

8  [eqn: f`(x) = `x^{2} + a x +b``]([eqn: a], [eqn: b]는 상수)라 하면

[eqn: f`(x^{2} ) = `x^4 + a` x^{2} +b]가 [eqn: f`(x)]로 나누어떨어지므로

[eqn: `x^4 + a` x^{2} +b`][eqn: = ( x^{2} + a`x+b)(x^{2} + c`x +1)`][eqn: ``(c]는 상수)

∴ [eqn: `x^4 + a` x^{2} +b`]

[eqn: = x^4 + (a+c) x^3 + (ac+b +1) x^2 + (a+bc) x +b]

이 식은 [eqn: x]에 대한 항등식이므로

[eqn: a+c = 0]    ∴ [eqn: c = -a]	[eqn: cdotscdots]㉠

[eqn: ac +b+1 = a]	[eqn: cdotscdots]㉡

[eqn: a+ bc =0]	[eqn: cdotscdots]㉢

㉠을 ㉢에 대입하면

[eqn: a-ab=0]

[eqn: a (1-b) =0]

[eqn: ∴`][eqn: a=0`] 또는 [eqn: b=1`]

(ⅰ) [eqn: a=0`]일 때

㉡에서 [eqn: b = -1]이므로

[eqn: f(x) = x^2 -1]

(ⅱ) [eqn: b=1`]일 때

㉡에서 [eqn: ac + 2 =a]

㉠을 대입하면 [eqn: -a^2 +2=a]

[eqn: a^2 +a-2=0`], [eqn: (a+2)(a-1)=0]

∴ [eqn: a = -2] 또는 [eqn: a=1]

[eqn: ∴~ f`(x) = x^{2} -2x+1`] 또는 [eqn: f`(x) = x^{2} +x+1`]

따라서 모든 [eqn: f`(x) ``]의 합은

[eqn: (x^2 -1 )+( x^{2} -2x+1`) + (x^{2} +x+1` )][eqn: =3x ^2 -x+1]

9  나머지 정리에 의하여

[eqn: c ( c + a ) ( c + b ) = 5]

[eqn: a < b < 0]에서 [eqn: a+ c < b+c < c]이므로

[eqn: a+ c = - 5], [eqn: b+ c = - 1], [eqn: c = 1]

따라서 [eqn: a= -6], [eqn: b = -2], [eqn: c=1]이므로

[eqn: a + b + c = -7]

난이도별 테스트(상)

10  ㈎에서

[eqn: f(x)= g(x) left{ g(x) -x^2 right} +g(x)-x^2]	[eqn: cdotscdots]㉠

[eqn: f(x)]를 [eqn: g(x)]로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: g(x)-x^2]이므로

([eqn: g(x)]의 차수)[eqn: >]([eqn: g(x)-x^2]의 차수)	[eqn: cdotscdots]㉡

(ⅰ) [eqn: g(x)]가 일차식인 경우

[eqn: g(x)-x^2]은 최고차항의 계수가 [eqn: -1]인 이차식이므로 ㉡을 만족시키지 않는다.

(ⅱ) [eqn: g(x)]가 이차식인 경우

이차식 [eqn: g(x)]의 최고차항의 계수가 1이 아니면 [eqn: g(x)-x^2]은 이차식이므로 ㉡을 만족시키지 않는다.

이차식 [eqn: g(x)]의 최고차항의 계수가 1이면 [eqn: g(x)-x^2]은 일차 이하의 다항식이므로 ㉡을 만족시킨다.

(ⅲ) [eqn: g(x)]가 삼차 이상의 다항식인 경우

[eqn: g(x)]와 [eqn: g(x)-x^2]의 차수가 같으므로 ㉡을 만족시키지 않는다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 [eqn: g(x)]는 최고차항의 계수가 1인 이차식이다.

[eqn: g(x)= x^2 +ax+b] ([eqn: a], [eqn: b]는 상수)라 하면 ㉠에서

[eqn: f(x)= (x^2 +ax+b)(ax+b)+ax+b]

이때 [eqn: f(x)]의 최고차항의 계수가 5이므로

[eqn: a=5]

[eqn: therefore] [eqn: f(x)= (x^2 +5x+b)(5x+b)+5x+b]

㈏에서 나머지 정리에 의하여 [eqn: f(1)=-1]이므로

[eqn: (6+b)(5+b)+5+b=-1]

[eqn: b^2 +12b +36=0], [eqn: (b+6)^2 =0]

[eqn: therefore] [eqn: b=-6]

따라서 [eqn: f(x)= (x^2 +5x-6)(5x-6)+5x-6]이므로

[eqn: f(2)= (4+10-6)(10-6)+10-6 =36]

11  삼차식 [eqn: f( x` )`]를 [eqn: x`^2 - 5`x + 6`], 즉 [eqn: (x-2)(x-3)]으로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q ( x` )`], 나머지를 [eqn: a`x + b``]([eqn: a``], [eqn: b``]는 상수)라 하면

[eqn: f(x)= ( x - 2) ( x -3 )` Q ( x` ) + a`x + b`]	[eqn: cdotscdots]㉠

㈏에서 [eqn: 2f ( x + 1 ) = f ( x` ) + `x`^2` -3x]	[eqn: cdotscdots]㉡

㉡의 양변에 [eqn: x = 1]을 대입하면

[eqn: 2`f(2)=f(1)-2]

㈎에서 [eqn: f(1)=2]이므로 [eqn: 2f(2)= 2-2]

∴ [eqn: f(2) =0]

㉡의 양변에 [eqn: x = 2]를 대입하면

[eqn: 2`f ( 3 ) = f( 2 ) -2], [eqn: 2f(3)= -2]

∴ [eqn: f(3) =-1]

㉠의 양변에 [eqn: x = 2]를 대입하면

[eqn: f` ( 2 ) =2 a + b]	[eqn: therefore] [eqn: 2a+b=0]	[eqn: cdotscdots]㉢

㉠의 양변에 [eqn: x = 3]을 대입하면

[eqn: f ( 3 ) = 3`a + b]    [eqn: therefore] [eqn: 3a+b=-1]	[eqn: cdotscdots]㉣

㉢, ㉣을 연립하여 풀면

[eqn: a = -1], [eqn: b = 2]

따라서 [eqn: f( x` )`]를 [eqn: x`^2 - 5`x + 6`]으로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: -x+2]이다.

12  [eqn: x`^n` ( x`^2 + a`x + b` )`]를 [eqn: ( x - 3 )^2`]으로 나누었을 때

의 몫을 [eqn: Q ( x)]라 하면

[eqn: x`^n` ( x`^2 + a`x + b` ) = ( x - 3 )^2` Q ( x ) + 3`^n` ( x - 3 )`]	[eqn: cdotscdots]㉠

㉠의 양변에 [eqn: x = 3]을 대입하면

[eqn: 3`^n` ( 9 + 3`a + b` ) = 0`]

∴ [eqn: b =- 3`a - 9] ([eqn: because] [eqn: 3^n >0])               [eqn: cdotscdots]㉡

㉡을 ㉠에 대입하면

[eqn: x`^n` ( x`^2 + a`x - 3`a - 9 )`][eqn: = ( x - 3 )^2` Q ( x` ) + 3`^n` ( x - 3 )`]

[eqn: x`^n` ( x - 3 ) ( x + a + 3 )`][eqn: = ( x - 3 ) left{( x - 3 )` Q`` ( x` ) +3`^n` right}`]

[eqn: x`^n` ( x + a +3 ) = ( x - 3 )` Q`` ( x` ) + 3`^n`]

위 식의 양변에 [eqn: x = 3]을 대입하면

[eqn: 3`^n` ( 3 + a +3 ) = 3^n``], [eqn: a + 6 = 1`]

∴ [eqn: a =-5]

[eqn: a =-5]를 ㉡에 대입하면 [eqn: b = 6]

∴ [eqn: a+b =1]

I. 다항식

13  ㄱ. [eqn: 2x`*` ( - 2x ) = -4x^2 -2]

[eqn: 2 left{ x `*` ( - x ) right}` = 2 (-x^2 -2) = -2x^2 -4]

∴ [eqn: 2x`*` ( - 2x ) != 2 left{ x `*` ( - x ) right}`]

ㄴ. [eqn: left{ x^2 ``*` ( x - 2 ) right} +( 2x ``*` 1 )]

[eqn: = x^2 ( x - 2 ) - 2 + 2x - 2`][eqn: = x^2 ( x - 2 ) +2(x-2)]

[eqn: = ( x - 2 ) ( x^2 + 2 )`]

ㄷ. [eqn: ( x`^2 `*` 4x`^2` ) + left{ ( 2x - 1 ) `*` ( 2x + 1 ) right} + 9]

[eqn: = 4x`^4 - 2 + ( 2x - 1 ) ( 2x + 1 ) - 2 + 9]

[eqn: = 4x`^4 +4 x`^2 + 4`] [eqn: =4(x^4 +x^2 +1)]

[eqn: = 4( x ^2 +x +1)(x^2 -x +1)]

따라서 보기에서 옳은 것은 ㄷ이다.

14  주어진 [eqn: 16`]개의 정육면체와 직육면체의 부피의

합은 [eqn: 3`a`^3 + b`^3 + 7`a`^2` b + 5`a`b`^2`][eqn: =175]

[eqn: P`` ( a` ) = 3`a`^3 + 7b`a`^2` + 5``b`^2` a + b`^3]이라 하면

[eqn: P` ( - b` ) =-3`b`^3 +7b^3` - 5b`^3 + b`^3 =0]이므로 다음과 같이 조립제법을 이용하여 [eqn: P`` ( a` )]를 인수분해하면

[eqn: - b`]	[eqn: 3]	[eqn: 7`b`]	[eqn: 5`b`^2`]	[eqn: b`^3`]
		[eqn: -3`b`]	[eqn: - 4`b`^2`]	[eqn: - b`^3`]
	[eqn: 3]	[eqn: 4`b`]	[eqn: b`^2`]	[eqn: 0`]

[eqn: P`` ( a` ) = ( a + b` ) ( 3`a`^2 + 4`a`b + b`^2` )`]

[eqn: = ( a + b` ) ( 3`a + b` )(a+b)]

[eqn: = ( a + b` )^2 ( 3`a + b` )]

즉, [eqn: ( a + b` )^2 ( 3`a + b` ) = 175 = 5^2 times 7]이므로

[eqn: a + b = 5`], [eqn: 2`a + b = 7`]

두 식을 연립하여 풀면 [eqn: a = 1`], [eqn: b = 4`]

따라서 부피가 [eqn: 175]인 직육면체의 밑면의 가로의 길이, 세로의 길이, 높이는 각각 [eqn: 5`], [eqn: 5], [eqn: 7]이므로 구하는 대각선의 길이는

[eqn: root{5`^2 + 5`^2 + 7`^2}^` = root99 = 3 sqrt11]

15  ㄱ. [eqn: a = 0`], [eqn: b = -1`]일 때

[eqn: x`^4 -1 = (x^2 -1)(x^2 +1)]

[eqn: = (x-1)(x+1) (x^2 +1)]

[eqn: therefore] [eqn: N`` ( 0, ~-1 ) = 2`]

[eqn: a = -1`], [eqn: b =0]일 때

[eqn: x`^4 -x^2 = x^2 (x^2 -1)][eqn: =x^2 (x-1)(x+1)]

[eqn: therefore] [eqn: N`` ( -1, ~ 0) = 4`]

[eqn: therefore] [eqn: N`` ( 0, ~ -1 ) != N`` ( -1, ~ 0 )]

ㄴ. [eqn: a = m`], [eqn: b =-16]일 때

[eqn: x`^4 + m`x`^2 - 16]에서 [eqn: 16 = 1 times 16 = 2 times 8 = 4 times 4]이므로

[eqn: ( x`^2 - 1 ) ( x`^2 + 16 )`][eqn: =(x+1)(x-1)(x^2 +16)]

[eqn: ( x`^2 + 1 ) ( x`^2 - 16 )`][eqn: = (x^2 +1)(x +4)(x-4)]

[eqn: ( x`^2 - 2 ) ( x`^2 + 8)`]

[eqn: ( x`^2 + 2 ) ( x`^2 - 8)`]

[eqn: ( x`^2 - 4 ) ( x`^2 +4 )`][eqn: = (x+2)(x-2)(x^2 +4)]

[eqn: therefore]  [eqn: m = 15] 또는 [eqn: m= -15] 또는 [eqn: m = 0]

따라서 [eqn: N`` ( m, `` - 16 ) = 2]를 만족하는 정수 [eqn: m]은

[eqn: 3]개이다.

ㄴ. [eqn: a = n``], [eqn: b =5]일 때

[eqn: x`^4 +n`x`^2 +5]에서 [eqn: 5 = 1 times 5]이므로

[eqn: ( x`^2 + 1 ) ( x`^2 +5 )`]

[eqn: ( x`^2 - 1 ) ( x`^2 -5 )`][eqn: = (x+1)(x-1)(x^2 -5)]

[eqn: therefore] [eqn: n = -6]

따라서 [eqn: N`` ( n, ~ 5 ) = 2]를 만족시키는 정수 [eqn: n]은 [eqn: 1]개이다.

따라서 보기에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

16 [eqn: 111=x]로 놓으면

[eqn: N = 3 times 111 ^{ 3 } - 9 times 110 ^{ 2 } -21 times 109 - 24]

[eqn: = 3x^3 -9(x-1)^2 -21 (x-2) -24]

[eqn: = 3x^3 - 9x^2 -3x +9]

[eqn: =3x^2 (x-3)-3(x-3)]

[eqn: = 3(x^2 -1)(x-3)]

[eqn: = 3( x+1)(x-1)(x-3)]

[eqn: = 3 times 112 times 110 times108]

[eqn: = 3times ( 2^4 times 7 ) times(2 times 5times11) times(2^2 times 3^3 )]

[eqn: = 2^7 times 3^4 times 5 times 7times11]

따라서 자연수 [eqn: N]의 양의 약수의 개수는

[eqn: 8times5times2times2times2=320]