난이도별 테스트(상)

정답과 해설

II. 방정식과 부등식

1 ②    2 ⑤    3 ⑤     4 ⑤     5 ④

6 ②    7 ④    8 [eqn: 24]    9 ⑤    10 ②

11 ②   12 ①   13 [eqn: - 3 ``＜`x``＜`7`]

14 [eqn: 20000]원      15 ⑤   16 ④

1  [eqn: z _{ 2 }], [eqn: z _{ 3 }], [eqn: z _{ 4 }], [eqn: z _{ 5 }], [eqn: cdots]를 차례대로 구하면

[eqn: z _{ 2 } = { bar { z _{ 1 } }} + ( 1 + i ) = 1 - i + ( 1 + i ) = 2]

[eqn: z _{ 3 } = { bar { z _{ 2 } }} + ( 1 + i ) = 2 + ( 1 + i ) = 3 + i]

[eqn: z _{ 4 } = { bar { z _{ 3 } }} + ( 1 + i ) = 3 - i + ( 1 + i ) = 4]

[eqn: z _{ 5 } = { bar { z _{ 4 } }} + ( 1 + i ) = 4 + ( 1 + i ) = 5 + i]

[eqn: vdots]

실수부분은 [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: cdots]로 나타나고, 허수부분은 [eqn: 0], [eqn: 1]이 반복되어 나타나므로

[eqn: z _{ 99 } = 99 + i]

2  음이 아닌 정수 [eqn: k]에 대하여

(ⅰ) [eqn: m = 4k+1]일 때

[eqn: i^m = i`^{4`k +1} = LEFT ( i^4 RIGHT )^k times i``]  [eqn: LEFT ( -i RIGHT )^m = ( - i)^{4`k+1} = LEFT { LEFT ( -i RIGHT )^4 RIGHT } ^k times LEFT ( -i RIGHT ) =- i]

[eqn: therefore `z _{m} = {i ^{m}} over {2} + {LEFT ( -i RIGHT ) ^{m}} over {2} = { i} over { 2}+ { -i} over {2 }=0]

(ⅱ) [eqn: m = 4k+2]일 때

[eqn: i^m =i^4k+2 = LEFT ( i^4 RIGHT )^k times i^2 =-1]

[eqn: LEFT ( -i RIGHT )^m = LEFT ( -i RIGHT )^4k+2 = LEFT { LEFT ( -i RIGHT )^4 RIGHT } ^k times LEFT ( -i RIGHT )^2 =-1]

[eqn: therefore `z_m = {i ^{m}} over {2} + {LEFT ( -i RIGHT ) ^{m}} over {2} = - { 1} over { 2 }+ LEFT ( - { 1} over {2 } RIGHT )=-1]

(ⅲ) [eqn: m = 4k+3]일 때

[eqn: i^m =i^4k+3 = LEFT ( i^4 RIGHT )^k times i^3 =-i]

[eqn: LEFT ( -i RIGHT )^m = LEFT ( -i RIGHT )^4k+3 = LEFT { LEFT ( -i RIGHT )^4 RIGHT } ^k times LEFT ( -i RIGHT )^3 =i]

[eqn: therefore `z_m = {i ^{m}} over {2} + {LEFT ( -i RIGHT ) ^{m}} over {2} = - {i} over { 2 }+ { i} over {2 } =0]

(ⅳ) [eqn: m = 4k+4]일 때

[eqn: i^m =i^4k+4 = LEFT ( i^4 RIGHT )^k+1 =1]

[eqn: LEFT ( -i RIGHT )^m = LEFT ( -i RIGHT )^4k+4 = LEFT { LEFT ( -i RIGHT )^4 RIGHT } ^k+1 = 1]

[eqn: therefore `z_m = {i ^{m}} over {2} + {LEFT ( -i RIGHT ) ^{m}} over {2} = { 1} over {2 }+ { 1} over { 2 } =1]

ㄱ. [eqn: m = 4`k - 2`]이면 [eqn: z`_m =- 1`]이다.

ㄴ. [eqn: 104 = 4times 25 +4], [eqn: 100 = 4 times 24 +4]이므로

[eqn: z`_104 = z`_100` =1]

ㄷ. 임의의 자연수 [eqn: m``]에 대하여 [eqn: z`_m``]은 실수이므로

[eqn: z`_m = bar {z`_m``}`]이다.

따라서 보기에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

3  [eqn: z_1 + z_2][eqn: = sqrt a - sqrt b + 2 sqrt b + sqrt c]

[eqn: = sqrt a + sqrt b + sqrt c]      [eqn: cdotscdots]㉠

이때 [eqn: sqrt { a } sqrt { b } = - sqrt { ab }], [eqn: sqrt c over sqrtb = - sqrt{ c over b]에서

[eqn: a < 0], [eqn: b<0], [eqn: c>0]이므로 ㉠에서

[eqn: bar {z_1 + z_2}=- sqrt a - sqrt b + sqrt c]

4  주어진 이차방정식의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: { D }over{ 4 }] [eqn: = ( a - c ) ^{ 2 } - ( a - b ) (b - c )]

[eqn: = a ^{ 2 } + b ^{ 2 } + c ^{ 2 } - ab - bc - ca]

[eqn: = {1} over {2} LEFT □ (a-b) ^{2} +(b-c) ^{2} +(c-a) ^{2} RIGHT } >0`]

[eqn: LEFT ( because a>b>c RIGHT )]

따라서 주어진 이차방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다.

이때 주어진 이차방정식의 두 실근을 [eqn: { rm alpha }], [eqn: beta]라 하면 [eqn: a>b>c]이므로 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha + beta = {2(a-c)} over {a-b} >0], [eqn: alpha beta = {b-c} over {a-b} >0]

즉, 두 실근의 합과 곱이 모두 양수이므로

[eqn: { alpha } > 0], [eqn: { beta } > 0]

따라서 주어진 이차방정식은 서로 다른 두 양의 근을 가진다.

II. 방정식과 부등식

5

위의 그림에서 [eqn: triangle { rm ADC }]∾[eqn: triangle { rm CDB }](AA닮음)이므로

[eqn: rm {barAD} : {barCD} = {barCD} : {barBD}]

[eqn: therefore] [eqn: rm {bar{CD}} ^{2} = {bar{AD}} TIMES {bar{BD}} = it b ^{2}]

[eqn: { bar {{ rm AD }}}], [eqn: { bar {{ rm BD }}}]를 두 근으로 하고 이차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차방정식은

[eqn: x ^{ 2 } - ( { bar {{ rm AD }}} + { bar {{ rm BD }}} ) it x + { bar {{ rm AD }}} times { bar {{ rm BD }}} = 0]

따라서 구하는 이차방정식은

[eqn: x ^{ 2 } - ax + b ^{ 2 } = 0]

6  방정식 [eqn: LEFT | x ^{ 2 } - 1 right | - 1 = a] 즉, [eqn: LEFT | x ^{ 2 } - 1 right | = a + 1]의 실근의 개수는 함수 [eqn: y = LEFT | x ^{ 2 } - 1 right |]의 그래프와 직선 [eqn: y = a + 1]의 교점의 개수와 같다.

[eqn: y= LEFT | x^2 -1RIGHT |]

[eqn: =cases {-x^2 +1 ~~ LEFT ( -1<x <1 RIGHT )#````x^2 -1~~~ LEFT ( x le -1 ~또는 ~x ge 1 RIGHT ) }]

교점이 [eqn: 2]개이려면 오른쪽 그림과 같아야 하므로

[eqn: a+1 >1] 또는 [eqn: a+1=0]

[eqn: therefore `a>0] 또는 [eqn: a=-1]

따라서 [eqn: a]의 값이 될 수 없는 것은 ②이다.

7 [eqn: x ^{ 2 } = t]로 놓으면 주어진 방정식은

[eqn: t ^{ 2 } - ( 4 m + 8 ) t + 4 m ^{ 2 } = 0]

[eqn: t]에 대한 이차방정식 [eqn: t ^{ 2 } - ( 4 m + 8 ) t + 4 m ^{ 2 } = 0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta `(0< alpha < beta )]라고 하면

[eqn: t=alpha] 또는 [eqn: t=beta]

[eqn: x^2 =alpha] 또는 [eqn: x^2 = beta]

[eqn: therefore` x = +- sqrt { alpha }] 또는 [eqn: x = +- sqrt { beta }]

[eqn: - sqrt { beta } < - sqrt { alpha } < sqrt { alpha } < sqrt { beta }]이므로

[eqn: x _{ 1 } = - sqrt { beta }], [eqn: x _{ 2 } = - sqrt { alpha }], [eqn: x _{ 3 } = sqrt { alpha }], [eqn: x _{ 4 } = sqrt { beta }]

[eqn: x _{ 2 } - x _{ 1 } = x _{ 3 } - x _{ 2 }]에서

[eqn: x _{1} =2x _{2} -x _{3}=2(- sqrt {alpha } )- sqrt {alpha } =-3 sqrt {alpha }]

[eqn: -sqrt beta =-3sqrt alpha]

양변을 제곱하면

[eqn: beta = 9 alpha]

이때 [eqn: t=alpha] 또는 [eqn: t=beta], 즉 [eqn: t = alpha], [eqn: t=9 alpha]가 이차방정식 [eqn: t ^{ 2 } - ( 4 m + 8 ) t + 4 m ^{ 2 } = 0]의 두 근이므로 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha + 9 alpha = 4m +8]    [eqn: therefore alpha = { 2} over { 5}m + { 4} over { 5}]    [eqn: cdotscdots]㉠

[eqn: alpha times 9 alpha =4 m^2]    [eqn: therefore`m= -{3 } over {2 }alpha] 또는 [eqn: m= { 3} over { 2}alpha]

이를 각각 ㉠에 대입하면

(ⅰ) [eqn: m = - 3 over2 alpha]일 때

[eqn: alpha = { 2} over { 5} times LEFT (- { 3} over {2 }alpha RIGHT )+ { 4} over { 5}]

[eqn: therefore`alpha= { 1} over { 2}]    [eqn: therefore m=- { 3} over { 4}]

그런데 [eqn: m]은 정수이므로 조건을 만족시키는 [eqn: m]의 값은 없다.

(ⅱ) [eqn: m = 3 over2 alpha]일 때

[eqn: alpha = { 2} over { 5}times { 3} over { 2}alpha + { 4} over { 5}]

[eqn: therefore`alpha = 2]    [eqn: therefore`m=3]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 정수 [eqn: m]의 값은 [eqn: 3]이다.

난이도별 테스트(상)

8  오른쪽 그림과 같이

[eqn: { rm { bar { PM }} } = itx], [eqn: { rm { bar { PN }} } = it y]라 하고 선분 [eqn: { rm NP }]의 연장선이 선분 [eqn: { rm AD }]와 만나는 점을 [eqn: { rm G }]라 하자.

[eqn: rm bar DE = 1over2 bar AD = 3], [eqn: rm bar DF = 1over3 bar CD = 2]이고, [eqn: { rm triangle }{ rm EPG }]와

[eqn: triangle { rm EFD }]는 닮음이므로

[eqn: rm {bar{GP}} : {bar{DF}} = {bar{EG}} : {bar{ED}}]

[eqn: ( 6 - y ) : 2 = ( x - 3 ) : 3]

[eqn: therefore] [eqn: y = - { 2 }over{ 3 } x + 8 `` LEFT ( 3 LE x le 6 RIGHT )]

사각형 [eqn: rm PMBN]의 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S][eqn: =xy=x LEFT ( - {2} over {3} x+8 RIGHT )=- {2} over {3} x ^{2} +8x]

[eqn: = - { 2 }over{ 3 } ( x ^{ 2 } - 12 x )][eqn: = - { 2 }over{ 3 } ( x - 6 ) ^{ 2 } + 24]

따라서 [eqn: 3 le x le 6]에서 [eqn: x = 6]일 때 최댓값 [eqn: 24]를 가지므로 사각형 [eqn: { rm PMBN }]의 넓이의 최댓값은 [eqn: 24]이다.

9  삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의해

[eqn: alpha + beta + gamma= 3]                 [eqn: cdots cdots]㉠

[eqn: alpha beta + beta gamma + gamma alpha = -6]            [eqn: cdots cdots]㉡

[eqn: alpha beta gamma =- {k}]                    [eqn: cdots cdots]㉢

[eqn: beta = {alpha + gamma } over {2}]에서

[eqn: alpha + gamma =2 beta]                    [eqn: cdots cdots]㉣

이를 ㉠에 대입하면

[eqn: 3 beta =3]      [eqn: therefore `beta =1]

이를 ㉣에 대입하면

[eqn: alpha + gamma = { 2 }]

[eqn: beta =1]을 ㉡에 대입하면

[eqn: alpha +gamma +gamma alpha=-6]

[eqn: therefore ` gamma alpha = - 8`` LEFT ( because `alpha +gamma=2 RIGHT )]

㉢에서

[eqn: alpha beta gamma =beta LEFT ( gammaalpha RIGHT )=1 times LEFT ( -8 RIGHT ) =-8]

[eqn: therefore] [eqn: k=8]

10  [eqn: a`^3 - 6`a`^2 + 4`a + 50 - ( a`^2 + b`^2 + c`^2` ) = 0`]

[eqn: b`^3 - 6`b`^2 + 4`b + 50 - ( a`^2 + b`^2 + c`^2` ) = 0`]

[eqn: c`^3 - 6`c`^2 + 4`c + 50 - ( a`^2 + b`^2 + c`^2` ) = 0`]

따라서 [eqn: a``], [eqn: b``], [eqn: c``]는 삼차방정식

[eqn: x`^3 - 6`x`^2 + 4`x + 50 - ( a`^2 + b`^2 + c`^2` ) = 0`]의 세 근이므로 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: a + b + c = 6`], [eqn: a`b + b`c + c`a = 4`],

[eqn: a`b`c =- 50 + a`^2 + b`^2 + c`^2`]

[eqn: therefore`a`b`c =- 50 +a^2 +b^2 +c^2]

[eqn: =-50+ ( a + b + c )^2 - 2 LEFT ( ab+bc+ca RIGHT )]

[eqn: =- 50 + 6`^2 - 8=-22]

11  ① [eqn: x= alpha]를 주어진 방정식에 대입하면

[eqn: a alpha ^{4} +b alpha ^{3} +c alpha ^{2} +b alpha +a=0]

[eqn: alpha != 0]이므로 위 식의 양변을 [eqn: { it alpha }^{ 4 }]으로 나누면

[eqn: a+b LEFT ( {1} over {alpha } RIGHT ) +c LEFT ( {1} over {alpha } RIGHT ) ^{2} +b LEFT ( {1} over {alpha } RIGHT ) ^{3} +a LEFT ( {1} over {alpha } RIGHT ) ^{4} =0]  [eqn: cdots cdots]㉠
즉, [eqn: alpha]가 근이면 [eqn: 1 over alpha]도 근이다.

② [eqn: x = - 1 over alpha]이 근이면

[eqn: a left( 1 over alpha right) ^{4} -b left( 1 over alpha right) ^{3} +c left( 1 over alpha right) ^{2} -b left( 1 over alpha right) +a=0]  [eqn: cdots cdots]㉡

㉠[eqn: -]㉡을 하면

[eqn: 2b left( 1 over alpha right) ^{3} +2b left( 1 over alpha right) =0], [eqn: 1over alpha left( 1 over alpha^2 +1 right) =0`` LEFT ( BECAUSE b!=0 RIGHT )]

위 식을 만족하는 실수 [eqn: alpha]는 존재하지 않으므로

실수 [eqn: { it alpha }]가 근이면 [eqn: - { 1 }over{{ it alpha }}]은 근이 아니다.

③ [eqn: x =1]이 근이면 ①에서  [eqn: { 1 }over{1} = 1]도 근이므로 중근이 된다.

④ [eqn: x =-1]이 근이면 ①에서 [eqn: { 1 }over{-1} = - 1]도 근이므로 중근이 된다.

II. 방정식과 부등식

⑤ [eqn: { it alpha }], [eqn: { it gamma }]가 근이면 ①에서 [eqn: { 1} over { alpha}], [eqn: {1} over {gamma }]도 근이므로 [eqn: { 1} over { alpha} =beta], [eqn: { 1} over { gamma }=delta]라 하면  [eqn: { alpha beta - gamma delta } = 0]을 만족시키는 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma], [eqn: delta]가 존재한다.

따라서 옳지 않은 것은 ②이다.

12  [eqn: n`^2 + n + 15]이 [eqn: m]의 제곱이므로

[eqn: n`^2 + n + 15= m`^2`]

양변에 [eqn: 4`]를 곱하면

[eqn: 4`n`^2 + 4`n + 60 = 4`m`^2`]

[eqn: ( 2n + 1 )^2 +59 = LEFT ( 2m RIGHT )^2]

[eqn: ( 2`m` )^2 - ( 2`n + 1 )^2 = 59]

[eqn: ( 2`m + 2`n + 1 ) ( 2`m - 2`n - 1 ) = 59]

[eqn: m], [eqn: n]이 자연수이므로 [eqn: 2m+2n+1 >0]이고

[eqn: 2m+2n+1]이 자연수이므로 [eqn: 2m-2n-1]도 자연수이다.

이때 [eqn: 2m +2n+1 > 2m-2n-1]이므로

[eqn: 2`m + 2`n + 1 = 59], [eqn: 2`m - 2`n - 1 = 1`]

[eqn: therefore`m + n = 29], [eqn: m - n = 1`]

두 식을 연립하여 풀면

[eqn: m = 15], [eqn: n = 14]

∴ [eqn: mn=15times 14=210]

13 두 이차함수 [eqn: y = f`` ( x` )`], [eqn: y = g`` ( x` )`]의 그래프가 두 점 [eqn: rm A][eqn: ( - 1, ~ k` )`], [eqn: rm B][eqn: ( 5, ~ k` )`]에서 만나므로 두 이차함수의 그래프의 축이 일치한다.

[eqn: f`` ( x` ) = x`^2 + a`x + b``], [eqn: g`` ( x` ) =- x`^2 - a`x + c``]

([eqn: a``], [eqn: b``], [eqn: c``]는 상수)라 하면 방정식 [eqn: f`` ( x` ) = g`` ( x` )`], 즉

[eqn: 2`x`^2 + 2`a`x + b - c = 0`]의 두 근이 [eqn: - 1`], [eqn: 5]이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: - 1 + 5 =- {2`a}over2`], [eqn: ( - 1) times 5 = b-c over2`]

∴ [eqn: a =- 4`], [eqn: b - c =- 10]	……㉠

이때 [eqn: g`` ( 1 ) =-1-a+c]이므로 [eqn: f`` ( x` )`＜`g`` ( 1 ) + 8`]에서

[eqn: x`^2 + a`x + b``＜`7-a+c]

∴ [eqn: x`^2 + a`x + a+b - c - 7`＜`0`]

㉠을 대입하면

[eqn: x`^2 - 4x - 21`＜`0`], [eqn: ( x + 3 ) ( x - 7)`＜`0`]

∴ [eqn: - 3 ``＜`x``＜`7`]

14 한 상품의 이전 가격과 판매 수량을 각각 [eqn: a], [eqn: b]라 하면 주어진 조건에서 세금을 제외한 현재 총 판매 금액은

[eqn: a LEFT ( 1 + { x }over{ 100 } right ) times b LEFT ( 1 - { x }over{ 200 } right ) times { 9 }over{ 10 }]

이 금액이 이전의 판매 금액인 [eqn: ab] 이상이므로

[eqn: a LEFT ( 1 + { x }over{ 100 } right ) times b LEFT ( 1 - { x }over{ 200 } right ) times { 9 }over{ 10 } geq ab]

[eqn: {1} over {100} (100+x) TIMES {1} over {200} (200-x) TIMES {9} over {10} GEQ 1]

[eqn: 9 x ^{ 2 } - 900 x + 20000 leq 0]

[eqn: ( 3 x - 100 ) ( 3 x - 200 ) leq 0]

[eqn: therefore] [eqn: {100} over {3} LEQ x LEQ {200} over {3}]

따라서 이전 가격이 [eqn: 15000]원이었던 상품의 현재 최소 가격은

[eqn: 15000timesleft(1 + 100 over 300 right) = 20000](원)

난이도별 테스트(상)

15 [eqn: x ^{ 2 } - ( a + b ) x + a b < 0]에서 [eqn: ( x - a ) ( x - b ) < 0]

[eqn: therefore] [eqn: a < x < b]

[eqn: a b x ^{ 2 } - ( a + b ) x + 1 < 0]에서 [eqn: ( ax - 1 ) ( bx - 1 ) < 0]

[eqn: therefore] [eqn: { 1 }over{ b } < x < { 1 }over{ a }] [eqn: ( because] [eqn: a < b )]

주어진 연립부등식의 해가 존재하려면 다음 그림과 같아야 한다.

따라서 [eqn: a < { 1 }over{ a }], [eqn: { 1 }over{ b } < b]이어야 하므로

[eqn: 0 < a < 1], [eqn: b > 1 `` LEFT ( because `a>0,~b>0 RIGHT )]

[eqn: therefore] [eqn: a < 1 < b]

16  [eqn: 6`x`^2 - 11`n` x + 3`n`^2 `le` 0`]에 [eqn: x` = 1`]을 대입하면

[eqn: 6 - 11`n + 3`n`^2 `le` 0`], [eqn: (3`n - 2) (n - 3) `le` 0`]

∴ [eqn: 2 over3 `le` n ``le` 3`]

그런데 [eqn: n``]은 정수이므로

[eqn: n `= 1`] 또는 [eqn: n `= 2`] 또는 [eqn: n `= 3`]	……㉠

[eqn: |``3`x - n```| `ge`2`]에 [eqn: x` = 1`]을 대입하면

[eqn: |``3 - n```| ge`2`]

[eqn: 3 - n ``le` - 2`] 또는 [eqn: 3 - n `ge` 2`]

[eqn: - n ``le` - 5`] 또는 [eqn: - n `ge - 1`]

∴ [eqn: n ``le 1`] 또는 [eqn: n `ge`5`]                   ……㉡

[eqn: ㉠`], [eqn: ㉡`]에서 [eqn: n `= 1`]

따라서 주어진 연립부등식은

[eqn: cases{ 6`x`^2 - 11 `x + 3 `le` 0 # |``3`x - 1```| `ge`2}`]

[eqn: 6`x`^2 - 11 `x + 3 `le` 0 `]을 풀면

[eqn: (2`x - 3) (3`x - 1) `le`0`]   ∴ [eqn: 1 over3 `le` x ``le` 3over2`]	……㉢

[eqn: |``3`x - 1```| `ge`2`]을 풀면

[eqn: 3`x - 1 `le` - 2`] 또는 [eqn: 3`x - 1 `ge`2`]

[eqn: 3`x `le - 1`] 또는 [eqn: 3`x ``ge`3`]

∴ [eqn: x le` - 1 over3`] 또는 [eqn: x ``ge`1`]	……㉣

[eqn: ㉢`], [eqn: ㉣`]의 공통부분을 구하면

[eqn: 1 `le` x ``le` 3over2`]