난이도별 테스트(상)

정답과 해설

III. 경우의 수

1 ④      2 ④      3 ②      4 [eqn: 4]     5 ④
6 ③      7 ③      8 ⑤      9 [eqn: 3]    10 ⑤

11 [eqn: 34]    12 ④     13 [eqn: 3]     14 [eqn: 2:3:6]

15 [eqn: 1032]  16 ⑤

1

[eqn: rm A]

[eqn: 0] / [eqn: 1]

[eqn: rmB]

[eqn: 0] / [eqn: 2]

[eqn: rmC]

[eqn: 1] / [eqn: 2]

위의 그림과 같이 세 장의 카드를 각각 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C]라 하자.

(ⅰ) 백의 자리에 [eqn: rm A]카드를 놓는 경우
백의 자리에 올 수 있는 수는 [eqn: 1]이므로 만들 수 있는 세 자리의 자연수는
[eqn: 101], [eqn: 102], [eqn: 110], [eqn: 112], [eqn: 120], [eqn: 121], [eqn: 122]

의 [eqn: 7]가지

(ⅱ) 백의 자리에 [eqn: rmB]카드를 놓는 경우
백의 자리에 올 수 있는 수는 [eqn: 2]이므로 만들 수 있는 세 자리의 자연수는
[eqn: 201], [eqn: 202], [eqn: 210], [eqn: 211], [eqn: 212], [eqn: 220], [eqn: 221]

의 [eqn: 7]가지

(ⅲ) 백의 자리에 [eqn: rmC]카드를 놓는 경우
백의 자리에 올 수 있는 수는 [eqn: 1] 또는 [eqn: 2]이고 십의 자리와 일의 자리에 올 수 있는 수는 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2]의 [eqn: 3]개 중에서 [eqn: 2]개를 택하여 일렬로 나열하면 되므로 (ⅰ), (ⅱ)와 겹치지 않게 만들 수 있는 세 자리의 자연수는
[eqn: 100], [eqn: 200]

의 [eqn: 2]가지

따라서 만들 수 있는 세 자리의 자연수의 개수는

[eqn: 7+7+2=16]

2  각 스위치마다 열고 닫는 경우의 수가 [eqn: 2]이므로 회로에 전류가 흐르는 경우는 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: RMA]의 스위치 중에서 적어도 하나가 닫혀 있는 경우

[eqn: RMB], [eqn: RMC]의 스위치는 열려 있던지 닫혀 있던지 상관이 없으므로

[eqn: (2^3 -1)times2^2 times 2^4 = 448]

(ⅱ) [eqn: RMA]의 스위치가 모두 열려 있는 경우

[eqn: RMB], [eqn: RMC]의 스위치는 각각 적어도 하나씩은 닫혀 있어야 하므로

[eqn: 1 times(2^2 -1) times(2^4 -1)= 45]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 경우의 수는

[eqn: 448+45=493]

3  [eqn: a _{1} =5]에서 첫 번째 칸에 적을 수 있는 수는 [eqn: 5]

(ⅰ) 두 번째 칸에 적을 수 있는 수는 [eqn: a _{2} LEQ 2]에서 [eqn: 1,~2] 중 [eqn: 1]개이므로

[eqn: 2]가지

(ⅱ) 세 번째 칸에 적을 수 있는 수는 [eqn: a _{3} LEQ 3]에서 [eqn: 1,~2,~3] 중 두 번째 칸에 적은 수를 제외한 남은 [eqn: 2]개의 수 중 [eqn: 1]개이므로

[eqn: 2]가지

(ⅲ) 네 번째 칸에 적을 수 있는 수는 [eqn: a _{4} LEQ 4]에서 [eqn: 1,~2,~3,~4] 중 두 번째, 세 번째 칸에 적은 수를 제외한 남은 [eqn: 2]개의 수 중 [eqn: 1]개이므로

[eqn: 2]가지

(ⅳ) 다섯 번째 칸에 적을 수 있는 수는 (ⅰ)~(ⅲ)에서 적은 수는 제외하고 남은 수이므로

[eqn: 1]가지

(ⅰ)~(ⅳ)에서 구하는 경우의 수는

[eqn: 2 TIMES 2 TIMES 2 TIMES 1=8]

Ⅲ. 경우의 수

4  [eqn: RMC] 지점과 [eqn: RMD] 지점 사이에 [eqn: x]개의 도로를 추가한다고 하면 [eqn: rm B] 지점과 [eqn: rm C] 지점 사이에 추가한 도로의 개수는 [eqn: 6-x]이므로

(ⅰ) [eqn: RM A`->`C`->`B]로 가는 경우의 수는

[eqn: 3TIMES(2+6-x)= 24-3x]

(ⅱ) [eqn: RM A`->`D`->`B]로 가는 경우의 수는

[eqn: 2TIMES3=6]

(ⅲ) [eqn: RM A`->`C`->`D`->`B]로 가는 경우의 수는

[eqn: 3TIMES x times3 = 9x]

(ⅳ) [eqn: RM A`->`D`->`C`->`B]로 가는 경우의 수는
[eqn: 2 times x times (2+6-x) = 16x - 2x^2]

(ⅰ)~(ⅳ)에서 [eqn: RMA] 지점에서 출발하여 [eqn: RMB] 지점으로 가는 경우의 수는

[eqn: 24- 3x + 6+9x +16x - 2x^2 = 86]

[eqn: x ^{2} -11x+28=0], [eqn: (x-4)(x-7) =0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: x=4] (∵ [eqn: 0<x<6])

따라서 [eqn: rm C] 지점과 [eqn: rm D] 지점 사이에 추가해야 하는 도로의 개수는 [eqn: 4]이다.

5  (ⅰ) [eqn: RMA]와 [eqn: RMD]에 서로 같은 색을 칠하는 경우

[eqn: RMA]에 칠할 수 있는 색은 [eqn: 5]가지

[eqn: RMD]에 칠할 수 있는 색은 [eqn: RMA]에 칠한 색과 같은 색인 [eqn: 1]가지

[eqn: RMB]에 칠할 수 있는 색은 [eqn: RMA]에 칠한 색을 제외한 [eqn: 4]가지

[eqn: RMC]에 칠할 수 있는 색은 [eqn: RMA], [eqn: RMB], [eqn: rmD]에 칠한 색을 제외한 [eqn: 3]가지

[eqn: RME]에 칠할 수 있는 색은 [eqn: RMA], [eqn: RMD]에 칠한 색을 제외한 [eqn: 4]가지

[eqn: THEREFORE] [eqn: 5 TIMES 1 TIMES 4 TIMES 3 TIMES 4=240]

(ⅱ) [eqn: RMA]와 [eqn: RMD]에 서로 다른 색을 칠하는 경우

[eqn: RMA]에 칠할 수 있는 색은 [eqn: 5]가지

[eqn: RMB]에 칠할 수 있는 색은 [eqn: RMA]에 칠한 색을 제외한 [eqn: 4]가지

[eqn: RMC]에 칠할 수 있는 색은 [eqn: RMA], [eqn: RMB]에 칠한 색을 제외한 [eqn: 3]가지

[eqn: RMD]에 칠할 수 있는 색은 [eqn: RMA], [eqn: RMC]에 칠한 색을 제외한 [eqn: 3]가지

[eqn: RME]에 칠할 수 있는 색은 [eqn: RMA], [eqn: RMD]에 칠한 색을 제외한 [eqn: 3]가지

[eqn: THEREFORE] [eqn: 5times4times3times3times3 = 540]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 경우의 수는
[eqn: 240+540 = 780]

6  (ⅰ) [eqn: 3215]보다 큰 자연수
[eqn: 321□] 꼴: [eqn: 3216]의 [eqn: 1]개
[eqn: 32□□] 꼴: [eqn: {}_{3} rmP _{2} =6](개)
[eqn: 3□□□] 꼴: [eqn: {}_{3} rmP _{3} =6](개)
[eqn: 4□□□], [eqn: 5□□□], [eqn: 6□□□] 꼴:
[eqn: ` _{5} rm P it _{3} TIMES 3=60 TIMES 3=180](개)
따라서 [eqn: 3215]보다 큰 자연수의 개수는
[eqn: 1+6+6+180=193]

(ⅱ) [eqn: 2145]보다 작은 자연수
[eqn: 214□] 꼴: [eqn: 2143]의 [eqn: 1]개
[eqn: 21□□] 꼴: [eqn: 1 TIMES _{3} RMP _{1} =3](개)
[eqn: 2□□□] 꼴: [eqn: 0]개
[eqn: 1□□□] 꼴: [eqn: `_5 {rm P} _3 = 60](개)
따라서 [eqn: 2145]보다 작은 자연수의 개수는
[eqn: 1+3+0+60=64]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: a=193], [eqn: b=64]이므로

[eqn: a+b=193+64=257]

7  [eqn: 7]권의 책을 책꽂이에 일렬로 꽂을 때, 좌우대칭이 되려면 [eqn: 3]권의 수학책 중 한 권을 [eqn: 4]번째 자리에 꽂아야 한다.

즉, [eqn: 3]권의 수학책을 꽂은 후 과학책을 좌우대칭이 되도록 꽂으면 되므로 과학책을 ○, 수학책을 ●로 나타내면

(ⅰ) ○●○●○●○인 경우의 수

[eqn: 3! times 4!][eqn: =6 TIMES 24=144]

(ⅱ) ●○○●○○●인 경우의 수

[eqn: 3! times 4!][eqn: =6 TIMES 24=144]

(ⅲ) ○○●●●○○인 경우의 수

[eqn: 3! times 4!][eqn: =6 TIMES 24=144]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 책을 꽂는 경우의 수는

[eqn: 3 TIMES 144=432]

난이도별 테스트(상)

8  (ⅰ) [eqn: RMA] 학교 학생 [eqn: 2]명, [eqn: RMB] 학교 학생 [eqn: 2]명, [eqn: RMC] 학교 학생 [eqn: 1]명이 발표하는 경우의 수
[eqn: 3! times (2! times 2! times1) =24]

(ⅱ) [eqn: RMA] 학교 학생 [eqn: 2]명, [eqn: RMB] 학교 학생 [eqn: 1]명, [eqn: RMC] 학교 학생 [eqn: 2]명이 발표하는 경우의 수
[eqn: 3! times (2! times 1times2!) =24]

(ⅲ) [eqn: RMA] 학교 학생 [eqn: 3]명, [eqn: RMB] 학교 학생 [eqn: 1]명, [eqn: RMC] 학교 학생 [eqn: 1]명이 발표하는 경우의 수
[eqn: 3! times (3! times 1 times1) =36]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 소감 발표 순서를 정하는 경우의 수는

[eqn: 24+24+36=84]

9  (ⅰ) 서로 다른 [eqn: 7]개의 자연수를 일렬로 나열하는 경우의 수는 [eqn: 7!][eqn: =5040]

(ⅱ) 양 끝에 [eqn: n]개의 짝수 중에서 [eqn: 2]개를 택하여 나열하는 경우의 수는 [eqn: `_n {rm P} _2]

나머지 자리에 [eqn: 5]개의 수를 일렬로 나열하는 경우의 수는 [eqn: 5!][eqn: =120]

(ⅰ), (ⅱ)에서 적어도 한쪽 끝에 홀수가 오는 경우의 수는

[eqn: 5040-` _{n} rm P _{2} TIMES 120=3600]

[eqn: 120n(n-1) = 1440], [eqn: n(n-1) = 12 = 4times 3]

∴ [eqn: n=4]

따라서 짝수의 개수가 [eqn: 4]이므로 홀수의 개수는

[eqn: 7-4=3]

10  [eqn: RMA □□□□□] 꼴인 문자열의 개수는 [eqn: 5! =120]

[eqn: RM D □□□□□] 꼴인 문자열의 개수는 [eqn: 5! =120]

[eqn: RM E □□□□□] 꼴인 문자열의 개수는 [eqn: 5! =120]

[eqn: RM GA □□□□] 꼴인 문자열의 개수는 [eqn: 4! = 24]

[eqn: rm GDA□□□] 꼴인 문자열의 개수는 [eqn: 3!`=6]

[eqn: rm GDE□□□] 꼴인 문자열의 개수는 [eqn: 3!`=6]

따라서 [eqn: RMA]로 시작하는 문자열부터 [eqn: rm GDE]로 시작하는 문자열까지의 총 개수가

[eqn: 120times 3 +24 + 6 times 2 = 396]이므로 [eqn: 397]번째에 오는 문자열은 [eqn: rm GDNAER], [eqn: 398]번째에 오는 문자열은 [eqn: rm GDNARE]이다.

11  [eqn: 12]개의 점 중에서 [eqn: 2]개를 택하는 경우의 수는

[eqn: rm_12rmC_2 = 66]

같은 행 또는 같은 열에 있는 두 점을 연결한 선분의 길이는 유리수이므로 그 개수는

[eqn: 3 TIMES rm _{4} rm C _{2} +4 TIMES _{3} rm C _{2} =18+12=30]

또 모퉁이에 있는 두 점을 연결한 대각선의 길이는

[eqn: sqrt{4^2 + 3^2 }=5]로 유리수이므로 그 개수는 [eqn: 2]

따라서 길이가 무리수인 선분의 개수는

[eqn: 66-30-2=34]

12  (ⅰ) 두 사람이 동시에 봉사활동을 하는 날이 없는 경우
대식이가 [eqn: 3]일을 택하고 예지가 남은 [eqn: 4]일 중에서 [eqn: 3]일을 택하면 되므로 그 경우의 수는
[eqn: `_7 { rm C } _ 3 times `_4 {rm C } _3 = 35 times 4 = 140]

(ⅱ) 두 사람이 동시에 봉사활동을 하는 날이 [eqn: 1]일인 경우
대식이가 [eqn: 3]일을 택하고 예지가 남은 [eqn: 4]일 중에서 [eqn: 2]일, 대식이가 택한 [eqn: 3]일 중에서 [eqn: 1]일을 택하면 되므로 그 경우의 수는
[eqn: `_7 { rm C } _ 3 times ( `_4 {rm C } _2 times `_3 {rm C } _1 )= 35 times 6 times 3 = 630]

따라서 두 사람이 동시에 봉사활동을 하는 날이 [eqn: 2]일 미만인 경우의 수는

[eqn: 140+630=770]

Ⅲ. 경우의 수

13  [방법1]을 이용하여 [eqn: r]개의 숫자로 비밀번호를 정한다고 하면 만들 수 있는 비밀번호의 개수는

[eqn: rm _{10} rm C _{it r}` it (1 le r le 9)]

이때 [eqn: rm _{10} rm C it _{1} =rm _{10} rm C it _{9}], [eqn: rm _{10} rm C it _{2} = rm _{10} rm C it _{8}], [eqn: rm _{10} rm C it _{3} = rm _{10} rm C it _{7}],

[eqn: rm _{10} rm C it _{4} = rm _{10} rm C it _{6}]이고 [eqn: rm _{10} rm C it _{1} < _{10} rm C it _{2} < _{10} rm C it _{3} < _{10} rm C _{4} < _{10} rm C _{5} it]

이므로 [eqn: rm _10 {\C}_r]의 최댓값은

[eqn: rm _{10} rm C _{5} =252]

[방법2]를 이용하여 [eqn: n]개의 숫자로 비밀번호를 정한다고 하면 만들 수 있는 비밀번호의 개수는

[eqn: rm_10{rmP}_n`(1 LEQ n LEQ 9)]

[eqn: n=2]일 때, [eqn: rm_10{rmP}_2 = 90<rm_10{rmC}_5]

[eqn: n=3]일 때, [eqn: rm_10{rmP}_3 =720 > rm_10{rmC}_5]

따라서 자연수 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 3]이다.

14  다음 그림과 같이 [eqn: 12]개의 점을 각각 [eqn: rmA_1], [eqn: rmA_2], [eqn: cdots], [eqn: rmA_12]라 하면 [eqn: 12]개의 점 중에서 [eqn: 3]개의 점을 택하는 경우의 수는 [eqn: rm_12rmC_3 = 220]

점 [eqn: rmA_1]을 한 꼭짓점으로 하는 서로 다른 직각삼각형 또는 둔각삼각형의 개수는 [eqn: rmA_2], [eqn: rmA_3], [eqn: cdots], [eqn: rmA_7]의 [eqn: 6]개의 점 중에서 [eqn: 2]개를 택하는 경우의 수와 같으므로 [eqn: rm_6rmC_2 = 15]

[eqn: rmA_2], [eqn: rmA_3], [eqn: cdots], [eqn: rmA_12]에 대하여 같은 방법으로 구하면 직각삼각형 또는 둔각삼각형의 개수는

[eqn: 12 TIMES 15=180]

따라서 예각삼각형의 개수는

[eqn: a=220-180=40]

[eqn: 12]개의 점 중에서 [eqn: 2]개의 점을 연결하여 만들 수 있는 지름의 개수는 [eqn: 6]이므로 직각삼각형의 개수는

[eqn: b=][eqn: 6times 10 = 60]

따라서 둔각삼각형의 개수는

[eqn: c=180-60=120]

[eqn: THEREFORE ```a:b:c=40:60:120=2:3:6]

15  (ⅰ) [eqn: rm A] 구역 또는 [eqn: rm C] 구역에 사자 [eqn: 2]마리를 넣는 경우
[eqn: rm A] 구역 또는 [eqn: rm C] 구역의 [eqn: 3]칸 중에서 [eqn: 2]칸에 사자 [eqn: 2]마리를 넣는 경우의 수는 [eqn: `_3 {rm P} _2]이고, 사자를 넣지 않은 두 구역의 [eqn: 5]칸 중에서 [eqn: 3]칸에 호랑이 [eqn: 3]마리를 넣는 경우의 수는 [eqn: `_5 {rm P} _3]이므로
[eqn: (`2 TIMES _{3} rm P _{2} ) TIMES ` _{5} rm P _{3} =2 TIMES 6 TIMES 60=720]

(ⅱ) [eqn: rm B] 구역에 사자 [eqn: 2]마리를 넣는 경우
[eqn: rm B] 구역의 [eqn: 2]칸에 사자 [eqn: 2]마리를 넣는 경우의 수는 [eqn: 2!]이고, 사자를 넣지 않은 두 구역의 [eqn: 6]칸 중에서 [eqn: 3]칸에 호랑이 [eqn: 3]마리를 넣는 경우의 수는 [eqn: `_6 {rm P} _3]이므로
[eqn: 2! times `_6 {rm P} _3 = 2 times 120 = 240]

(ⅲ) [eqn: rm A], [eqn: rm B] 구역 또는 [eqn: rm B], [eqn: rm C] 구역에 사자를 [eqn: 1]마리씩 넣는 경우
[eqn: rm A], [eqn: rm B] 구역 또는 [eqn: rm B], [eqn: rm C] 구역에 사자를 [eqn: 1]마리씩 넣는 경우의 수는 [eqn: `_3 {rm C}_1 times `_2 {rm C}_1]이고, 사자를 넣지 않은 한 구역의 [eqn: 3]칸에 호랑이 [eqn: 3]마리를 넣는 경우의 수는 [eqn: 3!]이므로
[eqn: (2 TIMES ` _{3} rm C _{1} TIMES ` _{2} rm C _{1} ) TIMES 3!=2 TIMES 3 TIMES 2 TIMES 6=72]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 사자와 호랑이를 우리에 넣는 경우의 수는

[eqn: 720+240+72 = 1032]

난이도별 테스트(상)

16

위의 그림과 같이 [eqn: 3]개, [eqn: 4]개, [eqn: 5]개의 평행한 직선의 그룹을 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]라 하자.

(ⅰ) 평행사변형을 만드는 경우

[eqn: a], [eqn: b]에서 각각 [eqn: 2]개씩 택하는 경우의 수는
[eqn: `_3{ rm C}_2 times `_4{ rm C}_2 = 3 times 6 =18]

[eqn: a], [eqn: c]에서 각각 [eqn: 2]개씩 택하는 경우의 수는
[eqn: `_3{ rm C}_2 times `_5{ rm C}_2 = 3 times 10 =30]

[eqn: b], [eqn: c]에서 각각 [eqn: 2]개씩 택하는 경우의 수는
[eqn: `_4{ rm C}_2 times `_5{ rm C}_2 = 6 times 10 =60]

따라서 평행사변형의 개수는
[eqn: m=][eqn: 18+30+60=108]

(ⅱ) 평행사변형이 아닌 사다리꼴을 만드는 경우

[eqn: a]에서 [eqn: 2]개, [eqn: b], [eqn: c]에서 각각 [eqn: 1]개씩 택하는 경우의 수는

[eqn: rm_3rmC_2 times _4rmC_1 times _5rmC_1 = 3times4times5 = 60]

[eqn: b]에서 [eqn: 2]개, [eqn: a], [eqn: c]에서 각각 [eqn: 1]개씩 택하는 경우의 수는

[eqn: rm_4rmC_2 times _3rmC_1 times _5rmC_1 = 6times3times5 = 90]

[eqn: c]에서 [eqn: 2]개, [eqn: a], [eqn: b]에서 각각 [eqn: 1]개씩 택하는 경우의 수는

[eqn: rm_5rmC_2 times _3rmC_1 times _4rmC_1 =10times3times4 = 120]

따라서 평행사변형이 아닌 사다리꼴의 개수는
[eqn: n=][eqn: 60+90+120=270]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: m+n = 108+270=378]