난이도별 테스트(상)

정답과 해설

Ⅳ. 행렬

1 [eqn: B ^{2} A]    2 ④     3 ②     4 ⑤    5 ②

6 ④      7 ③     8 [eqn: 8]      9 ④    10 [eqn: 3]

11 [eqn: 0]     12 [eqn: 18]    13 ②     14 ①   15 ⑤

16 ④

1  2026년 서비스 신청 현황은

[eqn: {pmatrix{0.7&````0.5#0.3&`````0.5}} LEFT ( pile{1640#820} RIGHT ) =BA]

2027년 서비스 신청 현황은

[eqn: {pmatrix{0.7&````0.5#0.3&`````0.5}} LEFT { {pmatrix{0.7&````0.5#0.3&`````0.5}} LEFT ( pile{1640#820} RIGHT ) RIGHT } =B(BA)=B ^{2} A]

2  [eqn: n]번 시행 후 용기 A, B의 소금물의 농도를 각각 [eqn: a _{n} ``%,````b _{n} ``%]라고 하면

[eqn: LEFT ( pile{a _{1}#b _{1}} RIGHT ) = {pmatrix{0.9&`````0.1#0.1&`````0.9}} LEFT ( pile{a _{0}#b _{0}} RIGHT )]

[eqn: LEFT ( pile{a _{2}#b _{2}} RIGHT ) = {pmatrix{0.9&`````0.1#0.1&`````0.9}} LEFT ( pile{a _{1}#b _{1}} RIGHT ) = {pmatrix{0.9&`````0.1#0.1&`````0.9}} ^{2} LEFT ( pile{a _{0}#b _{0}} RIGHT )]

[eqn: LEFT ( pile{a _{3}#b _{3}} RIGHT ) = {pmatrix{0.9&`````0.1#0.1&`````0.9}} LEFT ( pile{a _{2}#b _{2}} RIGHT ) = {pmatrix{0.9&`````0.1#0.1&`````0.9}} ^{3} LEFT ( pile{a _{0}#b _{0}} RIGHT )]

[eqn: VDOTS]

[eqn: THEREFORE ```` LEFT ( pile{a#b} RIGHT ) = LEFT ( pile{a _{5}#b _{5}} RIGHT ) = {pmatrix{0.9&`````0.1#0.1&`````0.9}} ^{5} LEFT ( pile{a _{0}#b _{0}} RIGHT )]    [eqn: therefore] [eqn: T={pmatrix{0.9&`````0.1#0.1&`````0.9}} ^{5}]

3  [eqn: (x`````y) {pmatrix{a&`````b#b&`````a}} LEFT ( pile{x#y} RIGHT ) =(ax+by````````bx+ay) LEFT ( pile{x#y} RIGHT )]

[eqn: =ax ^{2} +2bxy+ay ^{2}]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: ax ^{2} +2bxy+ay ^{2} GEQ 0]이려면 [eqn: a>0]이고 [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: ax ^{2} +2byx+ay ^{2} =0]의 판별식 [eqn: D]가 [eqn: D LEQ 0]이어야 하므로

[eqn: {D} over {4} =(by) ^{2} -a ^{2} y ^{2} LEQ 0]

[eqn: (b ^{2} -a ^{2} )y ^{2} LEQ 0]

이때 모든 실수 [eqn: y]에 대하여 [eqn: y^2 ge 0]이므로

[eqn: b ^{2} -a ^{2} LEQ 0]     [eqn: THEREFORE ````a ^{2} GEQ b ^{2}]

[eqn: THEREFORE ````a ^{2} +(b-2) ^{2} GEQ b ^{2} +(b-2) ^{2}][eqn: = 2b^2 -4b+4]

[eqn: =2(b-1) ^{2} +2]

따라서 최솟값은 [eqn: 2]이다.

4 [eqn: A LEFT ( pile{a#b} RIGHT ) = LEFT ( pile{c#d} RIGHT )]의 양변에 [eqn: A]를 곱하면

[eqn: A ^{2} LEFT ( pile{a#b} RIGHT ) =A LEFT ( pile{c#d} RIGHT )]

[eqn: THEREFORE ````A LEFT ( pile{c#d} RIGHT ) =A ^{2} LEFT ( pile{a#b} RIGHT ) = {pmatrix{3&`````0#0&`````1}} LEFT ( pile{a#b} RIGHT ) = LEFT ( pile{3a#b} RIGHT )]

[eqn: THEREFORE ````A LEFT ( pile{a+c#b+d} RIGHT ) =A LEFT { LEFT ( pile{a#b} RIGHT ) + LEFT ( pile{c#d} RIGHT ) RIGHT } =A LEFT ( pile{a#b} RIGHT ) +A LEFT ( pile{c#d} RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( pile{c#d} RIGHT ) + LEFT ( pile{3a#b} RIGHT ) = LEFT ( pile{3a+c#b+d} RIGHT )]

5  ㄱ. [eqn: XA=(1`````1) {pmatrix{p&`````q#q&`````p}} =(p+q`````p+q)]

[eqn: =(3`````3)=3(1`````1)=3X]

ㄴ. [eqn: A ^{3} Y= {pmatrix{p&`````q#q&`````p}} {pmatrix{p&`````q#q&`````p}} {pmatrix{p&`````q#q&`````p}} LEFT ( pile{1#1} RIGHT )]

[eqn: = {pmatrix{p&`````q#q&`````p}} {pmatrix{p&`````q#q&`````p}} LEFT ( pile{p+q#p+q} RIGHT )]

[eqn: = {pmatrix{p&`````q#q&`````p}} {pmatrix{p&`````q#q&`````p}} LEFT ( pile{3#3} RIGHT )]

[eqn: =3 {pmatrix{p&`````q#q&`````p}} {pmatrix{p&`````q#q&`````p}} LEFT ( pile{1#1} RIGHT )]

[eqn: =3 {pmatrix{p&`````q#q&`````p}} LEFT ( pile{p+q#p+q} RIGHT )]

[eqn: =3 {pmatrix{p&`````q#q&`````p}} LEFT ( pile{3#3} RIGHT )][eqn: =3 ^{2} {pmatrix{p&`````q#q&`````p}} LEFT ( pile{1#1} RIGHT )]

[eqn: =3 ^{2} LEFT ( pile{p+q#p+q} RIGHT )][eqn: =3 ^{2} LEFT ( pile{3#3} RIGHT )]

[eqn: =3 ^{3} LEFT ( pile{1#1} RIGHT ) =3 ^{3} Y]

Ⅳ. 행렬

ㄷ. [eqn: (YXA) ^{2} =YXAYXA=Y(XA)Y(XA)]

[eqn: =Y(3X)Y(3X)] [eqn: (BECAUSE ````ㄱ)]

[eqn: =3 ^{2} (YX) ^{2}]

이때 [eqn: YX= LEFT ( pile{1#1} RIGHT ) (1`````1)= {pmatrix{1&`````1#1&`````1}}]이므로

[eqn: (YX) ^{2} = {pmatrix{1&`````1#1&`````1}} {pmatrix{1&`````1#1&`````1}}]

[eqn: = {pmatrix{2&`````2#2&`````2}} =2 {pmatrix{1&`````1#1&`````1}} =2YX]

[eqn: THEREFORE `````(YXA) ^{2}][eqn: =3 ^{2} (YX) ^{2} =2 TIMES 3 ^{2} YX]

따라서 보기에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

6  [eqn: A _{2} =A _{1} B= {pmatrix{1&`````0#1&`````0}} {pmatrix{0&`````1#1&`````0}} = {pmatrix{0&`````1#0&`````1}}]

[eqn: A _{3} =A _{2} B= {pmatrix{0&`````1#0&`````1}} {pmatrix{0&`````1#1&`````0}} = {pmatrix{1&`````0#1&`````0}}]

[eqn: A _{4} =A _{3} B= {pmatrix{1&`````0#1&`````0}} {pmatrix{0&`````1#1&`````0}} = {pmatrix{0&`````1#0&`````1}}]

[eqn: VDOTS]

[eqn: THEREFORE ```` {cases{A _{2n-1} = {pmatrix{1&`````0#1&`````0}}&#A _{2n} = {pmatrix{0&`````1#0&`````1}}&}}](단, [eqn: n]은 자연수)

ㄱ. [eqn: A _{2} = {pmatrix{0&`````1#0&`````1}} ,```A _{5} = {pmatrix{1&`````0#1&`````0}}]이므로

[eqn: A _{2} != A _{5}]

ㄴ. [eqn: A _{2n+2} = {pmatrix{0&`````1#0&`````1}} ,```A _{2n} = {pmatrix{0&`````1#0&`````1}}]이므로

[eqn: A _{2n} `A _{2n+2} = {pmatrix{0&`````1#0&`````1}} {pmatrix{0&`````1#0&`````1}} = {pmatrix{0&`````1#0&`````1}}]

[eqn: THEREFORE ````A _{2n+2} =A _{2n} `A _{2n+2}]

ㄷ. [eqn: A _{2n+1} = {pmatrix{1&`````0#1&`````0}} ,````A _{2n} = {pmatrix{0&`````1#0&`````1}}]이므로

[eqn: A _{2n} A _{2n+1} = {pmatrix{0&`````1#0&`````1}} {pmatrix{1&`````0#1&`````0}} = {pmatrix{1&`````0#1&`````0}}]

[eqn: THEREFORE ````A _{2n+1} =A _{2n} `A _{2n+1}]

따라서 보기에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

7  [eqn: {pmatrix{3&~~~1#0&~-9}} ^{2} = {pmatrix{3&~~~1#0&~-9}} {pmatrix{3&~~~1#0&~-9}} = {pmatrix{3 ^{2}&`````3-3 ^{2}#0&`````(-9) ^{2}}}]

[eqn: {pmatrix{3&~~~1#0&~-9}} ^{3} = {pmatrix{3&~~~1#0&~-9}} ^{2} {pmatrix{3&~~~1#0&~-9}}]

[eqn: = {pmatrix{3 ^{2}&`````3-3 ^{2}#0&`````(-9) ^{2}}} {pmatrix{3&~~~1#0&~-9}}]

[eqn: = {pmatrix{3 ^{3}&`````3 ^{2} -3 ^{3} +3 ^{4}#0&`````(-9) ^{3}}}]

[eqn: {pmatrix{3&~~~1#0&~-9}} ^{4} = {pmatrix{3&~~~1#0&~-9}} ^{3} {pmatrix{3&~~~1#0&~-9}}]

[eqn: = {pmatrix{3 ^{3}&`````3 ^{2} -3 ^{3} +3 ^{4}#0&`````(-9) ^{3}}} {pmatrix{3&~~~1#0&~-9}}]

[eqn: = {pmatrix{3 ^{4}&`````3 ^{3} -3 ^{4} +3 ^{5} -3 ^{6}#0&`````(-9) ^{4}}}]

[eqn: VDOTS]

[eqn: THEREFORE ```` {pmatrix{3&~~~1#0&~-9}} ^{7} = {pmatrix{3 ^{7}&``````3 ^{6} -3 ^{7} +3 ^{8} -3 ^{9} +3 ^{10} -3 ^{11} +3 ^{12}#0&`````(-9) ^{7}}}]

따라서 행렬 [eqn: {pmatrix{3&~~~1#0&~-9}} ^{7}]의 [eqn: (1,````1)] 성분은 [eqn: 3 ^{7}]이다.

8  [eqn: A ^{2} =][eqn: {pmatrix{a&`````0#a-5&`````5}} {pmatrix{a&`````0#a-5&`````5}} = {pmatrix{a ^{2}&`````0#a ^{2} -5 ^{2}&`````5 ^{2}}}]

[eqn: A ^{3} =A ^{2} A=][eqn: {pmatrix{a ^{2}&`````0#a ^{2} -5 ^{2}&`````5 ^{2}}} {pmatrix{a&`````0#a-5&`````5}} = {pmatrix{a ^{3}&`````0#a ^{3} -5 ^{3}&`````5 ^{3}}}]

[eqn: VDOTS]

[eqn: THEREFORE ````A ^{b} =][eqn: {pmatrix{a ^{b}&`````0#a ^{b} -5 ^{b}&`````5 ^{b}}}]

행렬 [eqn: A ^{b}]의 모든 성분의 합이 [eqn: 2 ^{25}]이므로

[eqn: 2 ` a ^{b} =2 ^{25}]    [eqn: THEREFORE ````a ^{b} =2 ^{24}]

따라서 이를 만족시키는 자연수 [eqn: a,````b]의 순서쌍

[eqn: (a,````b)]는 [eqn: (2 ^{24} ,````1),````(2 ^{12} ,````2),````(2 ^{8} ,````3),````(2 ^{6} ,````4),]

[eqn: (2 ^{4} ,````6),````(2 ^{3} ,````8),````(2 ^{2} ,````12),````(2,````24)]의 8개이다.

난이도별 테스트(상)

9  [eqn: A ^{n+1} =A ^{n+2} +A ^{n}]에서 [eqn: n=1]이면

[eqn: A ^{2} =A ^{3} +A```````````````` THEREFORE ````A ^{3} =A ^{2} -A```````` CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: A ^{4} =A ^{3} A=(A ^{2} -A)A````( BECAUSE ````㉠)]

[eqn: =A ^{3} -A ^{2}][eqn: =A ^{2} -A-A ^{2} ````( BECAUSE ````㉠)]

[eqn: =-A]

[eqn: A ^{5} =A ^{4} A=-A ^{2} ``]

[eqn: A ^{6} =A ^{5} A=-A ^{3} `]

[eqn: A ^{7} =A ^{6} A=-A ^{4}][eqn: =A]

따라서 [eqn: A ^{n+6} =A]이므로

[eqn: A ^{2000} =A ^{6 TIMES 333+2} =A ^{2}]

10  행렬 [eqn: A _{1}]의 [eqn: (1,````1)] 성분이 [eqn: (1,````2)] 성분보다 크지 않으므로

[eqn: A _{2} =-PA _{1} = -{pmatrix{0&`````1#1&`````0}} {pmatrix{1&`````2#3&`````4}} = -{pmatrix{3&`````4#1&`````2}} = {pmatrix{-3&`````-4#-1&`````-2}}]

행렬 [eqn: A _{2}]의 [eqn: (1,````1)] 성분이 [eqn: (1,````2)] 성분보다 크므로

[eqn: A _{3} = A _{2} P= {pmatrix{-3&`````-4#-1&`````-2}} {pmatrix{0&`````1#1&`````0}} = {pmatrix{-4&`````-3#-2&`````-1}}]

행렬 [eqn: A _{3}]의 [eqn: (1,````1)] 성분이 [eqn: (1,````2)] 성분보다 크지 않으므로

[eqn: A _{4} =-PA _{3} = -{pmatrix{0&`````1#1&`````0}} {pmatrix{-4&`````-3#-2&`````-1}} = {pmatrix{ 2&````` 1# 4&````` 3}}]

행렬 [eqn: A _{4}]의 [eqn: (1,````1)] 성분이 [eqn: (1,````2)] 성분보다 크므로

[eqn: A _{5} = A _{4} P= {pmatrix{2&`````1#4&`````3}} {pmatrix{0&`````1#1&`````0}} = {pmatrix{1&`````2#3&`````4}}]

따라서 [eqn: A _{5} =A _{1}]이므로 [eqn: A _{n+4} =A _{1}]

[eqn: THEREFORE ````A _{1000} =A _{4 TIMES 250} =A _{4} =][eqn: {pmatrix{2&`````1#4&`````3}}]

따라서 행렬 [eqn: A _{1000}]의 [eqn: (2,```2)] 성분은 [eqn: 3]이다.

11 [eqn: A ^{2} = {pmatrix{0&`````1#1&`````0}} {pmatrix{0&`````1#1&`````0}} = {pmatrix{1&`````0#0&`````1}} =E]

[eqn: B ^{2} = {pmatrix{1&~~~1#0&~-1}} {pmatrix{1&~~~1#0&~-1}} = {pmatrix{1&`````0#0&`````1}} =E]

[eqn: AB= {pmatrix{0&`````1#1&`````0}} {pmatrix{1&~~~1#0&~-1}} = {pmatrix{0&~-1#1&~~~1}}]

[eqn: BA= {pmatrix{1&~~~1#0&~-1}} {pmatrix{0&~1#1&~0}} = {pmatrix{~```1&`````1#-1&`````0}}]

[eqn: (BA) ^{2} = {pmatrix{```````1&`````1#-1&`````0}} {pmatrix{```````1&`````1#-1&`````0}} = {pmatrix{```````0&~~~1#-1&~-1}}]

[eqn: (BA) ^{3} = {pmatrix{~0&~~~1#-1&~-1}} {pmatrix{~``1&`````1#-1&`````0}} = {pmatrix{-1&~~~0#~~0&~-1}} =-E]

[eqn: THEREFORE ```A ^{15} B ^{15} +(BA) ^{16} =(A ^{2} ) ^{7} A(B ^{2} ) ^{7} B+ LEFT { (BA) ^{3} RIGHT } ^{5} BA]

[eqn: =AB-BA]

[eqn: = {pmatrix{0&~-1#1&`~~~1}}][eqn: - {pmatrix{~```1&`````1#-1&`````0}}]

[eqn: = {pmatrix{-1&`````-2#~```2&~~~``1}}]

따라서 [eqn: A ^{15} B ^{15} +(BA) ^{16}]의 모든 성분의 합은

[eqn: -1+(-2)+2+1=0]

12  [eqn: A ^{2} +A ^{3} =-3A-3E]이므로

[eqn: A ^{4} +A ^{5} =A ^{2} (A ^{2} +A ^{3} )]

[eqn: =A ^{2} (-A-3E)]

[eqn: =-3(A ^{3} +A ^{2} )]

[eqn: =(-3) LEFT { -3(A+E) RIGHT }]

[eqn: =9A+9E]

이때 행렬 [eqn: A]의 모든 성분의 합이 [eqn: 0]이므로 [eqn: 9A]의 모든 성분의 합도 [eqn: 0]이다.

따라서 행렬 [eqn: A ^{4} +A ^{5}]의 모든 성분의 합은 행렬 [eqn: 9E]의 모든 성분의 합과 같으므로

[eqn: 9+0+0+9=18]

Ⅳ. 행렬

13  ㈎에서 [eqn: A ^{2} =E]이므로

[eqn: (A-E) ^{2} =A ^{2} -2A+E]

[eqn: =E-2A+E]

[eqn: =-2A+2E]

[eqn: =-2(A-E)]

[eqn: (A-E) ^{3} =(A-E) ^{2} (A-E)]

[eqn: =-2(A-E)(A-E)]

[eqn: =-2(A-E) ^{2}]

[eqn: =(-2) ^{2} (A-E)]

[eqn: (A-E) ^{4} =(A-E) ^{3} (A-E)]

[eqn: =(-2) ^{2} (A-E)(A-E)]

[eqn: =(-2) ^{2} (A-E) ^{2}]

[eqn: =(-2) ^{3} (A-E)]

[eqn: VDOTS]

[eqn: therefore] [eqn: (A-E) ^{100}][eqn: =(-2) ^{99} (A-E)=-2 ^{99} (A-E)]

이때 ㈏에서 행렬 [eqn: A]의 모든 성분의 합이 [eqn: 3]이고, 단위행렬 [eqn: E]의 모든 성분의 합은 [eqn: 2]이므로 행렬 [eqn: A-E]의 모든 성분의 합은

[eqn: 3-2=1]

따라서 행렬 [eqn: (A-E) ^{100}]의 모든 성분의 합은 [eqn: -2 ^{99}]이다.

14 [eqn: A+B=O]에서 [eqn: A=-B,````B=-A]이고, [eqn: AB=E]이므로

[eqn: AB=A(-A)=-A ^{2} =E]

[eqn: THEREFORE ````A ^{2} =-E]

같은 방법으로 하면

[eqn: B ^{2} =-E]

[eqn: THEREFORE ````(A+A ^{2} +A ^{3} +` CDOTS `+A ^{50} )+(B+B ^{2} +B ^{3} +` CDOTS `+B ^{50} )]

[eqn: =(A-E-A+E+A-` CDOTS `+A-E)]

[eqn: +(B-E-B+E+B-` CDOTS `+B-E)]

[eqn: =A-E+B-E]

[eqn: =-2E]

15  ㄱ. [eqn: (A+B) ^{2} =(A-B) ^{2}]에서

[eqn: A ^{2} +AB+BA+B ^{2} =A ^{2} -AB-BA+B ^{2}]

[eqn: 2AB=-2BA]    [eqn: THEREFORE ````AB=-BA]

따라서 [eqn: AB=O]이라 할 수 없다.

ㄴ. [eqn: (ABA) ^{2} =ABAABA][eqn: =ABA ^{2} BA]

[eqn: =ABEBA`]

[eqn: =AB ^{2} A]

[eqn: =ABA]

ㄷ. [eqn: A(A+E)=E]에서 [eqn: A ^{2} +A=E```````````` CDOTS CDOTS ㉠]

양변에 [eqn: B]를 곱하면

[eqn: A ^{2} B+AB=B]

[eqn: AB=-E]이므로 [eqn: -A-E=B]

[eqn: therefore] [eqn: B ^{2} =(-A-E)^2 =A ^{2} +2A+E]

이때 ㉠에서 [eqn: A ^{2} =E-A]이므로

[eqn: B ^{2} =A ^{2} +2A+E=E-A+2A+E][eqn: =A+2E]

따라서 보기에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

16 [eqn: A-B=E]에서 [eqn: B=A-E]이므로 [eqn: AB=-E]에 대입하면

[eqn: A(A-E)=-E]

[eqn: {pmatrix{a&`````b#c&`````d}} {pmatrix{a-1&`````b#c&`````d-1}} = {pmatrix{-1&~~~0#~```0&~-1}}][eqn: {pmatrix{a(a-1)+bc&`````b(a+d-1)#c(a-1+d)&`````bc+d(d-1)}} = {pmatrix{-1&~~~0#```~0&~-1}}]

행렬이 서로 같을 조건에 의하여

[eqn: a(a-1)+bc=-1]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: b(a+d-1)=0]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: c(a-1+d)=0]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉢]

[eqn: bc+d(d-1)=-1]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉣]

이때 ㉡에서 [eqn: b=0]이면 ㉠에서 [eqn: a ^{2} -a+1=0]이고 이를 만족시키는 실수 [eqn: a]의 값이 존재하지 않는다.

[eqn: THEREFORE ````b != 0]

따라서 ㉡에서 [eqn: a+d-1=0]이므로 [eqn: a+d=1]

또 [eqn: d-1=-a]이므로 ㉣에서 [eqn: bc-ad=-1]

[eqn: THEREFORE ````(a-d) ^{2} +4bc=(a+d) ^{2} -4ad+4bc]

[eqn: =(a+d) ^{2} +4(bc-ad)]

[eqn: =1 ^{2} +4 TIMES (-1)=-3]