난이도별 테스트(중)

정답과 해설

I. 다항식

1 ③    2 ⑤    3 [eqn: x ^{ 6 } - 7 x ^{ 3 } - 8]    4 ⑤

5 ⑤    6 ①     7 [eqn: 17]    8 ⑤    9 ④

10 ④   11 ②   12 ⑤   13 [eqn: 9]    14 ②

15 [eqn: 29]   16 ④   17 ⑤   18 ②   19 ④

20 ④

1  [eqn: 2A-3B-C]

[eqn: =2(2x ^{3} -3x ^{2} -7x+1)-3(2x ^{2} -5x-2)]

[eqn: - (5x^3 + 4x^2 - x -9)]

[eqn: =-x ^{3} -16x ^{2} +2x+17]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a=-1], [eqn: b = -16], [eqn: c=2], [eqn: d= 17]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a-b+c-d][eqn: = -1+16+2 -17 =0]

2  [eqn: 2(A-X)=B-X]에서

[eqn: X = 2 A - B]

[eqn: =2(3x ^{2} +xy+3y ^{2} )-(3x ^{2} -2xy+2y ^{2} )]

[eqn: =3x ^{2} +4xy+4y ^{2}]

3  [eqn: (x+1)(x-2)(x ^{2} -x+1)(x ^{2} +2x+4)]

[eqn: =(x+1)(x ^{2} -x+1)(x-2)(x ^{2} +2x+4)]

[eqn: = ( x ^{ 3 } + 1 ) ( x ^{ 3 } - 8 )]

[eqn: = x ^{ 6 } - 7 x ^{ 3 } - 8]

4  [eqn: ( { x ^{2} -x+1})][eqn: ( 2 x ^{2} -2x-1} )]에서 [eqn: x^2]항은

[eqn: x^2 times(-1)+(-x) times(-2x) +1 times2x^2]

[eqn: = -x^2 +2x^2 +2x^2][eqn: = 3x^2]

따라서 [eqn: x^2]의 계수는 3이다.

5  [eqn: ( a - b + c` ) ( a + b + c` )`]

[eqn: = left{ ( a + c` ) - b` right} left{ ( a + c` ) + b` right}`]

[eqn: = ( a + c` )^2 - b`^2`]

[eqn: = a`^2 + 2a`c + c`^2 - b`^2`]

[eqn: ( a + b - c` ) ( - a + b + c` )`]

[eqn: = left{ b + ( a - c` ) right} left{ b - ( a - c` ) right}`]

[eqn: = b`^2 - ( a - c` )^2`]

[eqn: = b`^2 - ( a`^2 - 2a`c + c`^2 )`]

[eqn: = b`^2 - a`^2 + 2a`c - c`^2`]

즉, [eqn: a`^2 + 2a`c + c`^2 - b`^2 = b`^2 - a`^2 + 2a`c - c`^2`]이므로

[eqn: 2a`^2 + 2c`^2 = 2b`^2`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a`^2 + c`^2 = b`^2`]

따라서 삼각형 [eqn: \ABC]는 [eqn: angle \B = 90°]인 직각삼각형이다.

6  [eqn: a ^{ 3 } - b ^{ 3 } = ( a - b ) ^{ 3 } + 3 ab ( a - b )]이므로

[eqn: 7 = 1^3 + 3 ab times1]

[eqn: therefore] [eqn: ab = 2]

[eqn: therefore] [eqn: ( a + b ) ^{ 2 } = ( a - b ) ^{ 2 } + 4 ab]

[eqn: = 1^2 + 4 times2 = 9]

7  [eqn: x ^{2} +y ^{2} =(x+y) ^{2} -2xy]이므로

[eqn: 5=3 ^{2} -2xy]

[eqn: therefore] [eqn: xy=2]

[eqn: therefore] [eqn: x ^{ 4 } + y ^{ 4 } =(x ^{2} +y ^{2} ) ^{2} -2x ^{2} y ^{2}]

[eqn: = 5 ^{ 2 } - 2 times 2 ^{ 2 } = 17]

I. 다항식

8  [eqn: { 1 }over{ a } + { 1 }over{ b } + { 1 }over{ c } = 1]에서 [eqn: ab + bc + ca = abc]

[eqn: a + b + c = 1]이므로

[eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} +2(ab+bc+ca)=(a+b+c)^2]에서

[eqn: {3} over {2} +2(ab+bc+ca)=1]

[eqn: therefore] [eqn: ab+bc+ca =abc=- {1} over {4}]

[eqn: therefore] [eqn: {1} over {a ^{2}} + {1} over {b ^{2}} + {1} over {c ^{2}}]

[eqn: = {a ^{2} b ^{2} +b ^{2} c ^{2} +c ^{2} a ^{2}} over {(abc) ^{2}}]

[eqn: = {(ab+bc+ca) ^{2} -2abc(a+b+c)} over {(abc) ^{2}} = 9]

9  직육면체의 가로의 길이, 세로의 길이, 높이를

각각 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]라 하면

[eqn: 4 ( x + y + z ) = 44]이므로 [eqn: x+y+z=11]

[eqn: sqrt { x ^{ 2 } + y ^{ 2 } + z ^{ 2 } } = 8]이므로 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =64]

[eqn: (x+y+z )^2 = x^2 + y^2 +z^2 + 2(xy+ yz+zx)]이므로 겉넓이는

[eqn: 2(xy+yz+zx)=(x+y+z) ^{2} -(x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} )]

[eqn: =11 ^{2} - 64=57]

10  [eqn: 3 x ^{ 3 } - b x ^{ 3 } = 0]에서 [eqn: b = 3]

[eqn: a x times x ^{ 2 } = b x ^{ 3 }]에서 [eqn: a = b = 3]

[eqn: 6 x - d x = 0]에서 [eqn: d = 6]

[eqn: - 1 - e = 1]에서 [eqn: e = - 2]

[eqn: a x times c = d x]에서 [eqn: 3 c = 6]   [eqn: therefore] [eqn: c = 2]

[eqn: therefore] [eqn: a+b+c over d+e = 3+3+2 over6-2 = 2]

11  [eqn: f(x)=g(x)Q(x)]	[eqn: cdots cdots]㉠

[eqn: Q(x)=g(x)h(x)+r(x)]	[eqn: cdots cdots]㉡

㉡을 ㉠에 대입하면

[eqn: f ( x ) = "{" g ( x ) "}" ^{ 2 } h ( x ) + g ( x ) r ( x )]

[eqn: r ( x )]가 [eqn: g ( x )]보다 차수가 낮으므로 [eqn: g ( x ) r ( x )]는 [eqn: "{" g ( x )"}"^{ 2 }]보다 차수가 낮다.

따라서 [eqn: f(x)]를 [eqn: left{ g(x) right}^2]으로 나누었을 때의 몫은 [eqn: h ( x )]이고, 나머지는 [eqn: g ( x ) r ( x )]이다.

12  [eqn: ( x ^{ 6 } - 1 ) P ( x ) = x ^{ 9 } + ax ^{ 3 } + b]	[eqn: cdots cdots]㉠

㉠의 양변에 [eqn: x = 1]을 대입하면

[eqn: 0 = 1 + a + b]    [eqn: therefore] [eqn: a+b = -1]	[eqn: cdots cdots]㉡

㉠의 양변에 [eqn: x = - 1]을 대입하면

[eqn: 0 = - 1 - a + b]    [eqn: therefore] [eqn: a-b = -1]	[eqn: cdots cdots]㉢

㉡, ㉢을 연립하여 풀면 [eqn: a = - 1], [eqn: b = 0]

13  [eqn: f ( x ) = ( x - 4 ) g ( x ) + 5]  [eqn: cdots cdots]㉠

[eqn: g(x)]를 [eqn: x-6]으로 나누었을 때의 나머지가 2이므로

[eqn: g(6)=2]

㉠의 양변에 [eqn: x=6]을 대입하면

[eqn: f(6)= 2g(6)+5]

[eqn: = 2times2+5 = 9]

따라서 구하는 나머지는 9이다.

14 [eqn: f(x)+1]이 [eqn: x ^{ 2 } - 3 x + 2], 즉 [eqn: (x-1)(x-2)]로 나누어떨어지므로 인수 정리에 의하여

[eqn: f(1) + 1 =0], [eqn: f(2) + 1 =0]

∴ [eqn: f(1) = -1], [eqn: f(2) = -1]

[eqn: f(x-1)]을 [eqn: x^2 - 5x+6], 즉 [eqn: (x-2)(x-3)]으로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지 [eqn: R(x)]를 [eqn: ax +b]([eqn: a], [eqn: b]는 상수)라 하면

[eqn: f(x-1)=(x -2)(x-3)Q(x)+ax+b]	[eqn: cdots cdots]㉠

난이도별 테스트(중)

㉠의 양변에 [eqn: x = 2]를 대입하면

[eqn: f(1)=2a+b]    [eqn: therefore] [eqn: 2a+b=-1]	[eqn: cdots cdots]㉡

㉠의 양변에 [eqn: x = 3]을 대입하면

[eqn: f(2)=3a+b]    [eqn: therefore] [eqn: 3a+b=-1]	[eqn: cdots cdots]㉢

㉡, ㉢을 연립하여 풀면 [eqn: a = 0], [eqn: b = - 1]

따라서 [eqn: R(x)=-1]이므로

[eqn: R(1)=-1]

15  조립제법을 이용하면

[eqn: - 2]	[eqn: 1]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 2]
		[eqn: - 2]	[eqn: - 2]	[eqn: - 4]
[eqn: - 2]	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: - 2]	← [eqn: c]
		[eqn: - 2]	[eqn: 2]
[eqn: - 2]	[eqn: 1]	[eqn: - 1]	[eqn: 4]	← [eqn: b]
		[eqn: - 2]
	[eqn: 1]	[eqn: - 3]	← [eqn: a]

[eqn: therefore] [eqn: x ^{ 3 } + 3 x ^{ 2 } + 4 x + 2]

[eqn: = ( x + 2 ) ^{ 3 } - 3 ( x + 2 ) ^{ 2 } + 4 ( x + 2 ) - 2]

따라서 [eqn: a= -3], [eqn: b = 4], [eqn: c = -2]이므로

[eqn: a^2 + b^2 + c^2][eqn: = 9+16+4=29]

16  [eqn: ( x + 1 ) ( x + 3 ) ( x + 5 ) ( x + 7 ) + k]

[eqn: = ( x + 1 ) ( x + 7 ) ( x + 3 ) ( x + 5 ) + k]

[eqn: = ( x ^{ 2 } + 8 x + 7 ) ( x ^{ 2 } + 8 x + 15 ) + k]

[eqn: x ^{ 2 } + 8 x = X]로 놓으면

[eqn: ( x ^{ 2 } + 8 x + 7 ) ( x ^{ 2 } + 8 x + 15 ) + k]

[eqn: = ( X + 7 ) ( X + 15 ) + k]

[eqn: = X ^{ 2 } + 22 X + 105 + k]

완전제곱식이 되어야 하므로

[eqn: 105 + k = 11 ^{ 2 }]

[eqn: therefore] [eqn: k = 16]

17 [eqn: (a+b) ^{6} -(a-b) ^{6}]

[eqn: = left{ (a+b)^3 right}^2 - left{(a-b)^3 right}^2]

[eqn: =□(a+b) ^{3} +(a-b) ^{3} □□(a+b) ^{3} -(a-b) ^{3} □]

[eqn: =2a□(a+b) ^{2} -(a+b)(a-b)+(a-b) ^{2} □]

[eqn: TIMES 2b□(a+b) ^{2} +(a+b)(a-b)+(a-b) ^{2} □]

[eqn: =4ab(a ^{2} +3b ^{2} )(3a ^{2} +b ^{2} )]

따라서 보기에서 인수인 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다.

18  [eqn: 2 x ^{ 2 } + xy - 3 y ^{ 2 } + 4 x + y + 2]

[eqn: = 2 x ^{ 2 } + ( y + 4 ) x - ( 3 y ^{ 2 } - y - 2 )]

[eqn: = 2 x ^{ 2 } + ( y + 4 ) x - ( 3 y + 2 ) ( y - 1 )]

[eqn: =□x-(y-1)□□2x+(3y+2)□]

[eqn: =(x-y+1)(2x+3y+2)]

19  [eqn: c = 1 - ab]이므로

[eqn: 2 ab - a ^{ 2 } b - ab ^{ 2 } - abc]

[eqn: = 2 ab - a ^{ 2 } b - ab ^{ 2 } - ab ( 1 - ab )]

[eqn: = ab ( 2 - a - b - 1 + ab )][eqn: = ab ( 1 - a - b + ab )]

[eqn: = ab ( 1 - a ) ( 1 - b )]

[eqn: = ( 1 - c ) ( 1 - a ) ( 1 - b )]

[eqn: = ( 1 - a ) ( 1 - b ) ( 1 - c )]

20  [eqn: 2222 = x]로 놓으면

[eqn: { 2222 ^{ 3 } + 8 }over{ 2222 times 2220 + 4 }][eqn: = {x ^{3} +8} over {x(x-2)+4}]

[eqn: = {(x+2)(x ^{2} -2x+4)} over {x ^{2} -2x+4}]

[eqn: =x+2=2224]