난이도별 테스트(중)

정답과 해설

II. 방정식과 부등식

1 ④     2 [eqn: -2]    3 ③    4 ②     5 ⑤

6 ①     7 ④     8 [eqn: 4]     9 [eqn: 3]     10 ①

11 ④   12 ⑤    13 ④   14 ①    15 ③

16 ①   17 ③    18 ⑤   19 [eqn: - { 1 }over{ 2 } < x < 2]

20 ⑤

1  [eqn: LEFT | x-y RIGHT | +(y-2)i=5x-2-3 x i]에서 복소수가 서로 같을 조건에 의하여

[eqn: LEFT | x-y RIGHT | =5x-2], [eqn: y-2=-3x]

[eqn: y-2=-3x]에서 [eqn: y= -3x+2]

이를 [eqn: LEFT | x-y RIGHT | =5x-2]에 대입하면

[eqn: left|` 4x -2 `right| = 5x -2]

(ⅰ) [eqn: x< 1over2]일 때

[eqn: -LEFT ( 4x-2 RIGHT )=5x-2], [eqn: -9x=-4]

[eqn: therefore x= { 9} over {4 }]

그런데 [eqn: x< 1over2]이므로

[eqn: x= { 9} over { 4}], [eqn: y= { 2} over { 3}]

(ⅱ)[eqn: x ge 1over2]일 때

[eqn: 4x-2=5x-2], [eqn: 9x=0]

[eqn: therefore x=0]

그런데 [eqn: x ge 1over2]이므로 해는 없다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: x= { 9} over { 4}], [eqn: y= { 2} over { 3}]이므로

[eqn: {x} over {y} = {2} over {3}]

2  [eqn: x + y = { 1 + sqrt { 3 } i }over{ 2 } + { 1 - sqrt { 3 } i }over{ 2 } =1]

[eqn: xy = { 1 + sqrt { 3 } i }over{ 2 } times { 1 - sqrt { 3 } i }over{ 2 } = { 1+3} over { 4}=1]

[eqn: therefore] [eqn: { x ^{ 2 } }over{ y } + { y ^{ 2 } }over{ x } = { x ^{ 3 } + y ^{ 3 } }over{ xy }]

[eqn: = { ( x + y ) ^{ 3 } - 3 xy ( x + y ) }over{ xy }]

[eqn: = {1 ^{3} -3 TIMES 1 TIMES 1} over {1} =-2]

3  [eqn: z = a + b i]([eqn: a], [eqn: b]는 실수)라 하면 [eqn: {bar{z}} =a-bi]

[eqn: z - { bar { z }} = 2 b i], [eqn: z { bar { z }} = a ^{ 2 } + b ^{ 2 }]이므로

[eqn: 2 ( z - { bar { z }} ) + 3 z { bar { z }}][eqn: = 2 times 2 b i + 3 ( a ^{ 2 } + b ^{ 2 } ) = 30 + 4 i]

[eqn: therefore] [eqn: a ^{ 2 } + b ^{ 2 } = 10], [eqn: 4 b = 4 `]

따라서 [eqn: b = 1], [eqn: a = +- 3]이므로

[eqn: z + { bar { z }} = 2 a = +- 6]

4  [eqn: alpha = { 1 + i }over{ 1 - i } = { ( 1 + i ) ^{ 2 } }over{ ( 1 - i ) ( 1 + i ) } = i]

[eqn: i + i ^{ 2 } + i ^{ 3 } + i ^{ 4 } = i - 1 - i + 1 = 0]이고,

[eqn: 2019=4 TIMES 504+3]이므로

[eqn: alpha + alpha ^{ 2 } + alpha ^{ 3 } + alpha ^{ 4 } + cdots + alpha ^{ 2019 }]

[eqn: =(i+i ^{2} +i ^{3} +i ^{4} )+(i ^{5} +i ^{6} +i ^{7} +i ^{8} )+ CDOTS]

[eqn: +(i ^{2013} +i ^{2014} +i ^{2015} +i ^{2016} )+i ^{2017} +i ^{2018} + i ^2019]

[eqn: =i ^{2017} +i ^{2018} +i^2019]

[eqn: =i+i ^{2} +i^3]

[eqn: = i - 1 - i = - 1]

II. 방정식과 부등식

5  [eqn: ( 2019 x ) ^{ 2 } - 2018 times 2020 x - 1 = 0]에서

[eqn: 2019^{ 2 } x ^{ 2 } - ( 2019 - 1 ) ( 2019 + 1 ) x - 1 = 0]

[eqn: 2019 ^{ 2 } x ^{ 2 } - ( 2019 ^{ 2 } - 1 ) x - 1 = 0]

[eqn: ( 2019 ^{ 2 } x + 1 ) ( x - 1 ) = 0]

[eqn: therefore] [eqn: M = 1]

[eqn: x ^{ 2 } + 2018 x - 2019 = 0]에서

[eqn: ( x - 1 ) ( x + 2019 ) = 0]

[eqn: therefore] [eqn: m = - 2019]

[eqn: therefore] [eqn: M - m = 1-(-2019) = 2020]

6  [eqn: { D }over{ 4 } = ( a + b + c ) ^{ 2 } - 3 ( ab + bc + ca ) = 0]에서

[eqn: a ^{ 2 } + b ^{ 2 } + c ^{ 2 } - ab - bc - ca = 0]

[eqn: { 1 }over{ 2 } lbrace ( a - b ) ^{ 2 } + ( b - c ) ^{ 2 } + ( c - a ) ^{ 2 } rbrace = 0]

[eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 실수이므로 [eqn: a = b = c]

따라서 [eqn: a = b = c]인 정삼각형이다.

7  [eqn: ax ^{ 2 } + bx + c = 0]의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta]이므로

[eqn: alpha + beta = - { b }over{ a }], [eqn: alpha beta = { c }over{ a }]

이때 [eqn: alpha beta != 0]이므로 [eqn: c != 0]

두 근 [eqn: { 2} over { alpha}`], [eqn: { 2} over { beta}]의 합과 곱은 각각

[eqn: {2} over {alpha } + {2} over {beta } = {2( alpha + beta )} over {alpha beta } =- {2b} over {c}]

[eqn: {2} over {alpha } TIMES {2} over {beta } = {4} over {alpha beta } = {4a} over {c}]

따라서 구하는 이차방정식은

[eqn: x ^{2} - LEFT ( - {2b} over {c} ` RIGHT ) x+ {4a} over {c} =0]

[eqn: therefore] [eqn: cx ^{2} +2bx+4a=0]

8  [eqn: x ^{ 2 } - 6 x + 10 = 2 x + k]에서

[eqn: x ^{ 2 } - 8 x - k+10 = 0 `]

이 이차방정식의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하면 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha + beta = 8], [eqn: alpha beta = - k+10]      [eqn: cdotscdots]㉠

두 교점의 [eqn: x]좌표의 차가 [eqn: 2sqrt 10]이므로

[eqn: LEFT | alpha - beta RIGHT | = 2sqrt 10]

양변을 제곱하면

[eqn: LEFT ( alpha - beta RIGHT )^2 =40], [eqn: LEFT ( alpha+beta RIGHT )^2 - 4alphabeta =40]

㉠을 대입하면

[eqn: 8^2 -4 LEFT (-k+10 RIGHT )=40], [eqn: 24+4k=40]

[eqn: therefore] [eqn: k = 4]

9  [eqn: f ( x ) = 2 x ^{ 2 } - 4 mx + m ^{ 2 } + 6 m + 5]

[eqn: = 2 ( x - m ) ^{ 2 } - m ^{ 2 } + 6 m + 5]

따라서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=m]일 때 최솟값 [eqn: - m ^{ 2 } + 6 m + 5]를 가지므로

[eqn: g(m)=-m ^{2} +6m+5=-(m-3) ^{2} +14]

따라서 [eqn: -1 LEQ m LEQ 5]에서 [eqn: g ( m )]은 [eqn: m = 3]일 때 최대이다.

10  [eqn: x } + y ^{ 2 } = 4]에서 [eqn: y ^{ 2 } = 4 - x]

이를 [eqn: 4 x + y ^{ 2 }]에 대입하면

[eqn: 4x+y ^{2} =4x+(4-x ^{2} )]

[eqn: =-x ^{2} +4x+4][eqn: = - ( x - 2 ) ^{ 2 } + 8]    [eqn: cdots cdots]㉠

이때 [eqn: y]는 실수이므로

[eqn: 4 - x geq 0]   [eqn: therefore] [eqn: x le 4]

㉠에서 꼭짓점의 [eqn: x]좌표 [eqn: 2]가 [eqn: x le 4]에 포함되므로 [eqn: x=2]일 때 최댓값 [eqn: 8]을 갖는다.

난이도별 테스트(중)

11  상품의 판매가를 [eqn: ( 60 + 10 x )]원이라고 하면 원가를 뺀 이익은 [eqn: 1 0 x]원

이때 판매 개수는 [eqn: ( 100 - 10 x )]개 (단, [eqn: x <10])

따라서 판매 이익은

[eqn: 10 x ( 100 - 10 x ) = - 100 ( x - 5 ) ^{ 2 } + 2500]

따라서 [eqn: x = 5]일 때 최대 이익은 [eqn: 2500]원이므로 이때의 판매가는

[eqn: 60+ 10 times 5 = 110](원)

12  두 일차식의 상수항의 합이 같게 되도록 일차식을 두 개씩 짝지어 전개하면

[eqn: □(x+1)(x+4)□□(x+2)(x+3)□-120=0]

[eqn: ( x ^{ 2 } + 5 x + 4 ) ( x ^{ 2 } + 5 x + 6 ) - 120 = 0]

[eqn: x ^{ 2 } + 5 x = X]로 놓으면

[eqn: ( X + 4 ) ( X + 6 ) - 120 = 0]

[eqn: X` ^{2} +10X-96=0]

[eqn: ( X + 16 ) ( X - 6 ) = 0]

[eqn: ( x ^{ 2 } + 5 x + 16 ) ( x ^{ 2 } + 5 x - 6 ) = 0]    ◀[eqn: X=x^2 +5x]

[eqn: ( x ^{ 2 } + 5 x + 16 ) ( x + 6 ) ( x - 1 ) = 0]

[eqn: therefore] [eqn: x = { - 5 +- sqrt { 39 } i }over{ 2 }] 또는 [eqn: x = - 6] 또는 [eqn: x = 1]

13  [eqn: x ^{ 2 } = X]로 놓으면

[eqn: X ^{ 2 } - 5 X + 4 = 0], [eqn: ( X - 1 ) ( X - 4 ) = 0]

[eqn: therefore] [eqn: X = 1] 또는 [eqn: X = 4]

[eqn: X = x ^{ 2 }]이므로

[eqn: x ^{ 2 } = 1] 또는 [eqn: x ^{ 2 } = 4]

∴ [eqn: x=±1] 또는 [eqn: x=±2]

따라서 두 양의 근은 [eqn: 1], [eqn: 2]이므로 그 합은

[eqn: 1+2=3]

14  삼차방정식의 계수가 유리수이므로 한 근이

[eqn: 2 + sqrt { 2 }]이면 다른 한 근은 [eqn: 2 - sqrt { 2 }]이다.

주어진 방정식의 나머지 한 근을 [eqn: alpha]라 하면 주어진 직육면체의 부피가 [eqn: 4]이므로

[eqn: (2+sqrt2 ) (2-sqrt2 ) alpha = 4]    ∴ [eqn: alpha = 2]

따라서 삼차방정식 [eqn: x^3 +px^2 +qx+r=0]의 세 근이 [eqn: 2 + sqrt { 2 }], [eqn: 2 - sqrt { 2 }], [eqn: 2]이므로 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: ( 2 + sqrt { 2 } ) + ( 2 - sqrt { 2 } ) + 2 = -p]    [eqn: therefore p=-6]

[eqn: (2+sqrt2 ) (2-sqrt2 ) +(2+sqrt2 )times2 +2 times(2-sqrt2 )=q]

[eqn: therefore `q=10]

[eqn: (2+sqrt2 ) (2-sqrt2 )times2 =- r]    [eqn: THEREFORE `r=-4]

[eqn: therefore`p^2 + q^2 + r^2 = 36+100+16=152]

15  이차방정식 [eqn: x ^{ 2 } + x + 1 = 0]의 한 근이 [eqn: w]이므로

[eqn: w^2 +w+1=0]      [eqn: cdotscdots]㉠

㉠의 양변에 [eqn: w-1]을 곱하면

[eqn: ( w - 1 ) ( w ^{ 2 } + w + 1 ) = 0], [eqn: w ^{ 3 } - 1 = 0]

[eqn: therefore] [eqn: w^{ 3 } = 1]

[eqn: therefore] [eqn: alpha ^{ 100 } + alpha ^{ 101 } + alpha ^{ 102 }]

[eqn: = ( w ^{ 3 } ) ^{ 33 }times w + ( w ^{ 3 } ) ^{ 33 }times w^2 + ( w ^{ 3 } ) ^{ 34 }]

[eqn: = w + w^2 +1 =0]

16  [eqn: x+y= 1], [eqn: xy=-2]이므로 [eqn: x], [eqn: y]는 이차방정식

[eqn: t ^{ 2 } - t - 2 = 0]의 두 근이다.

[eqn: t^2 -t -2=0]에서

[eqn: (t+1)(t-2)=0]

[eqn: therefore`t=-1] 또는 [eqn: t=2]

∴ [eqn: LEFT lbrace ` { lpile { x = - 1 # y = 2 }} right .] 또는 [eqn: LEFT lbrace ` { lpile { x = 2 # y = - 1 }} right .]

따라서 [eqn: x over y]의 값은 [eqn: - 1 over2] 또는 [eqn: -2]이다.

II. 방정식과 부등식

17  [eqn: 2x-3y=1]에서 [eqn: y = { 2} over { 3}x - { 1} over {3 }]

이를 주어진 부등식에 대입하면

[eqn: 0 < x + { 2} over { 3}x - { 1} over {3 } leq 1],

[eqn: 0 < 3 x + 2 x - 1 leq 3], [eqn: 1 < 5x le 4]

[eqn: therefore] [eqn: { 1 }over{ 5 } < x leq { 4 }over{ 5 }]

18  [eqn: f ( x ) g ( x ) > 0]이면

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )>0], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )>0] 또는 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) <0], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) <0]

이때 [eqn: f ( x ) geq 0]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )>0], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )>0]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) >0]을 만족시키는 [eqn: x]의 값의 범위는

[eqn: 0 < x < 4]

따라서 주어진 부등식을 만족하는 [eqn: x]의 값이 아닌 것은 [eqn: 7]이다.

19  [eqn: x]에 대한 이차부등식 [eqn: ax ^{ 2 } + bx + c geq 0]의 해가 [eqn: x = 3]이므로 [eqn: a < 0]이고

[eqn: ax ^{ 2 } + bx + c = a ( x - 3 ) ^{ 2 }]

[eqn: = ax^2 -6ax + 9a]

[eqn: therefore] [eqn: b = - 6 a], [eqn: c = 9 a]

이를 [eqn: bx ^{ 2 } + cx + 6 a < 0]에 대입하면

[eqn: - 6 ax ^{ 2 } + 9 ax + 6 a < 0]

[eqn: 2 x ^{ 2 } - 3 x - 2 < 0` LEFT ( because -3a >0 RIGHT )]

[eqn: (2x+1)(x-2)<0]

[eqn: therefore] [eqn: - { 1 }over{ 2 } < x < 2]

20  [eqn: x ^{ 2 } - 10 x - 24 > 0]을 풀면

[eqn: ( x - 12 ) ( x + 2 ) > 0]

[eqn: therefore] [eqn: x < - 2] 또는 [eqn: x > 12]                  [eqn: cdotscdots]㉠

[eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-a^2 +a RIGHT ) <0]에서

[eqn: -1 <x < a^2 -a] 또는 [eqn: a^2 -a < x < -1]     [eqn: cdotscdots]㉡

㉠, ㉡의 공통부분이 존재하지 않으려면

[eqn: -2 le a^2 -a le 12]                        [eqn: cdots cdots]㉢

[eqn: - 2 leq a ^{ 2 } - a]을 풀면

[eqn: a ^{ 2 } - a + 2 geq 0], [eqn: LEFT ( a- { 1} over {2 } RIGHT )^2 + { 3} over {4 } ge 0]

따라서 모든 실수 [eqn: a]에 대하여 성립한다.

[eqn: a ^{ 2 } - a leq 12]을 풀면

[eqn: a ^{ 2 } - a - 12 leq 0], [eqn: ( a + 3 ) ( a - 4 ) leq 0]

[eqn: therefore] [eqn: - 3 leq a leq 4]

따라서 부등식 ㉢의 해는

[eqn: -3 le a le 4]

따라서 주어진 조건을 만족시키는 정수 [eqn: a]의 개수는

[eqn: 4 - LEFT ( -3 RIGHT )+1 =8]