난이도별 테스트(중)

정답과 해설

IV. 행렬

1 ①     2 [eqn: 10]     3 ③    4 ①     5 ②

6 ④     7 ⑤     8 ③    9 ③     10 [eqn: 29]

11 ④   12 [eqn: 21]    13 ③   14 ⑤    15 ②
16 [eqn: {pmatrix{-7&`````0#21&`````0}}]        17 ③   18 ②    19 ⑤

20 ②

1  [eqn: a _{21} =4-1=3]

[eqn: a _{22} =2 ^{2} =4]

[eqn: a _{23} =-a _{32} =-(9-4)=-5]

따라서 행렬 [eqn: A]의 제[eqn: 2]행의 성분의 합은

[eqn: a _{21} +a _{22} +a _{23} =3+4-5=2]

2  행렬이 서로 같을 조건에 의하여

[eqn: 2a=-b,````-1=a+b,````c-1=3a,````3-b=d+2]

[eqn: 2a=-b,````-1=a+b]를 연립하여 풀면

[eqn: a=1,````b=-2]

[eqn: a=1]을 [eqn: c-1=3a]에 대입하면

[eqn: c-1=3````````````````` THEREFORE ````c=4]

[eqn: b=-2]를 [eqn: 3-b=d+2]에 대입하면

[eqn: 5=d+2```````````````` THEREFORE ````d=3]

[eqn: THEREFORE ````ab+cd=-2+12=10]

3  행렬이 서로 같을 조건에 의하여

[eqn: xy=-2,````x-y=3]

[eqn: THEREFORE ````x ^{3} -y ^{3} =(x-y)(x ^{2} +xy+y ^{2} )]

[eqn: =(x-y) LEFT { (x-y) ^{2} +3xy RIGHT }]

[eqn: =3 TIMES LEFT { 3 ^{2} +3 TIMES (-2) RIGHT }]

[eqn: =9]

4  [eqn: 3(A+2B)-2(A-C)-9B]

[eqn: =3A+6B-2A+2C-9B]

[eqn: =A-3B+2C]

[eqn: = {pmatrix{1&````2#0&````-1}} -3 {pmatrix{4&````3#-2&````5}} +2 {pmatrix{2&````-3#1&`````0}}]

[eqn: = {pmatrix{-7&````-13#8&````-16}}]

따라서 모든 성분의 합은

[eqn: -7-13+8-16=-28]

5  [eqn: 2A+X=4B+3X]에서

[eqn: -2X=-2A+4B]

[eqn: THEREFORE ````X=A-2B]

[eqn: = {pmatrix{5&````-3#1&`````4}} -2 {pmatrix{-1&`````2#3&````6`}}]

[eqn: = {pmatrix{7&````-7#-5&`````-8}}]

6  [eqn: A+2B= {pmatrix{3&`````-5#4&`````1}} ````````` CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: 3A+B= {pmatrix{-1&````0#7&`````-2}} ````````````` CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉡ TIMES 2-㉠]을 하면

[eqn: 5A= {pmatrix{-5&`````5#10&`````-5}}]    [eqn: THEREFORE `````A= {pmatrix{-1&`````1#2&`````-1}}]

㉡에서

[eqn: B=-3A+ {pmatrix{-1&````0#7&`````-2}}]

[eqn: =-3 {pmatrix{-1&`````1#2&`````-1}} + {pmatrix{-1&````0#7&`````-2}}][eqn: = {pmatrix{2&`````-3#1&`````1}}]

[eqn: THEREFORE `````A-B= {pmatrix{-1&`````1#2&`````-1}} - {pmatrix{2&`````-3#1&`````1}} = {pmatrix{-3&`````4#1&`````-2}}]

따라서 행렬 [eqn: A-B]의 모든 성분의 합은

[eqn: -3+4+1-2=0]

IV. 행렬

7  [eqn: xA+yB=C]에서

[eqn: x {pmatrix{1&````-2#0&````-1}} +y {pmatrix{4&````-1#k&````3}} = {pmatrix{7&````-7#1&`````0}}]

[eqn: {pmatrix{x+4y&````-2x-y#ky&````-x+3y}} = {pmatrix{7&````-7#1&`````0}}]

행렬이 서로 같을 조건에 의하여

[eqn: x+4y=7,````-x+3y=0]

두 식을 연립하여 풀면 [eqn: x=3,````y=1]

이때 [eqn: ky=1]이므로 [eqn: k=1]

[eqn: THEREFORE ````k+x+y=1+3+1=5]

8  [eqn: {pmatrix{x-2z&`````xy+2#2x+3z&`````2xy-3}} = {pmatrix{-3&`````-1#8&`````-9}}]

행렬이 서로 같을 조건에 의하여

[eqn: x-2z=-3,````2x+3z=8]

두 식을 연립하여 풀면 [eqn: x=1,````z=2]

이때 [eqn: xy+2=-1]이므로

[eqn: y+2=-1```````````````` THEREFORE ````y=-3]

[eqn: therefore] [eqn: x+y+z=1-3+2=0]

9  전원형 가옥 [eqn: 1]채를 짓기 위해 필요한 비용은

[eqn: 5 TIMES 35+25 TIMES 12+5 TIMES 0.5+25 TIMES 0.2]이므로 행렬 [eqn: AB]의 제[eqn: 2]행의 성분의 합이다.

10  이차방정식 [eqn: x ^{2} -5x-1=0]의 두 근이 [eqn: alpha ,```` beta]이므로 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha + beta =5,```` alpha beta =-1]

[eqn: A= {pmatrix{alpha &`````1#1&````` beta }}]에서

[eqn: A ^{2} = {pmatrix{alpha &`````1#1&````` beta }} {pmatrix{alpha &`````1#1&````` beta }} = {pmatrix{alpha ^{2} +1&````` alpha + beta #alpha + beta &1+ beta ^{2}}}]

이때 [eqn: A ^{2} = {pmatrix{a&````b#c&`````d}}]이므로

[eqn: a= alpha ^{2} +1,````d=1+ beta ^{2}]

[eqn: THEREFORE ````a+d= alpha ^{2} +1+1+ beta ^{2}]

[eqn: =( alpha + beta ) ^{2} -2 alpha beta +2]

[eqn: =5 ^{2} -2 TIMES (-1)+2=29]

11  [eqn: A= {pmatrix{1&`````-1#0&`````1}}]이므로

[eqn: A ^{2} = {pmatrix{1&`````-1#0&`````1}} {pmatrix{1&`````-1#0&`````1}} = {pmatrix{1&`````-2#0&`````1}}]

[eqn: A ^{3} =A ^{2} A= {pmatrix{1&`````-2#0&`````1}} {pmatrix{1&`````-1#0&`````1}} = {pmatrix{1&`````-3#0&`````1}}]

[eqn: VDOTS]

[eqn: therefore] [eqn: A ^{100} = {pmatrix{1&`````-100#0&`````1}}]

[eqn: therefore] [eqn: A ^{100} B= {pmatrix{1&`````-100#0&`````1}} {pmatrix{-1&`````2#0&`````-2}} = {pmatrix{-1&`````202#0&`````-2}}]

따라서 행렬 [eqn: A ^{100} B]의 모든 성분의 합은

[eqn: -1+202+0-2=199]

12  [eqn: (A-B) ^{2} =A ^{2} -AB-BA+B ^{2}]

[eqn: =(A ^{2} +B ^{2} )-(AB+BA)]

[eqn: = {pmatrix{5&`````2#0&`````10}} - {pmatrix{4&`````-2#0&`````-6}}]

[eqn: = {pmatrix{1&`````4#0&`````16}}]

따라서 행렬 [eqn: (A-B) ^{2}]의 모든 성분의 합은

[eqn: 1+4+0+16=21]

13  [eqn: 3A ^{2} -AB+3BA-B ^{2}]

[eqn: =A(3A-B)+B(3A-B)]

[eqn: =(A+B)(3A-B)]

[eqn: = {pmatrix{-1&`````1#1&`````0}} {pmatrix{1&`````3#3&`````-4}}]

[eqn: = {pmatrix{2&`````-7#1&`````3}}]

난이도별 테스트(중)

14  [eqn: (A+B) ^{2} =A ^{2} +2AB+B ^{2}]에서

[eqn: A ^{2} +AB+BA+B ^{2} =A ^{2} +2AB+B ^{2}]

[eqn: AB=BA]

[eqn: therefore] [eqn: {pmatrix{a-4&`````ab+2#5&`````-b-3}} = {pmatrix{a-b&`````-2+3b#2a+1&`````-7}}]

행렬이 서로 같을 조건에 의하여

[eqn: 5=2a+1,`````-b-3=-7]

[eqn: THEREFORE ````a=2,````b=4]

[eqn: THEREFORE ````a+b=6]

15  [eqn: A LEFT ( pile{2#1} RIGHT ) = LEFT ( pile{-1#4} RIGHT ) ,````A LEFT ( pile{1#3} RIGHT ) = LEFT ( pile{3#2} RIGHT )]이므로

[eqn: A LEFT ( pile{4#7} RIGHT ) =A LEFT ( pile{2+2 TIMES 1#1+2 TIMES 3} RIGHT ) =A LEFT ( pile{2#1} RIGHT ) +2A LEFT ( pile{1#3} RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( pile{-1#4} RIGHT ) +2 LEFT ( pile{3#2} RIGHT ) = LEFT ( pile{5#8} RIGHT )]

16  [eqn: (A+E)(A ^{2} -A+E)=A ^{3} +E]   [eqn: cdotscdots㉠]

[eqn: A^2 = pmatrix{-2&~~~0#~``3&~-1} pmatrix{-2&~~~0#~``3&~-1} =pmatrix{~``4&~ 0#-9&~ 1}]

[eqn: A^3 = pmatrix{~``4&~ 0#-9&~ 1} pmatrix{-2&~~~0#~``3&~-1} =pmatrix{-8&~~~0#~21&~-1}]

㉠에서

[eqn: A^3 +E][eqn: = {pmatrix{-8&`````0#21&`````-1}} + {pmatrix{1&`````0#0&`````1}}]                             [eqn: = {pmatrix{-7&`````0#21&`````0}}]

17  [eqn: A ^{2} = {pmatrix{1&`````1#1&`````-1}} {pmatrix{1&`````1#1&`````-1}} = {pmatrix{2&`````0#0&`````2}} =2 {pmatrix{1&`````0#0&`````1}} =2E]

[eqn: THEREFORE ````A ^{50} =(A ^{2} ) ^{25} =(2E) ^{25} =2 ^{25} E]

이때 단위행렬 [eqn: E]의 모든 성분의 합이 [eqn: 2]이므로 행렬 [eqn: A ^{50}]의 모든 성분의 합은 [eqn: 2 ^{26}]이다.

18 [eqn: A ^{2} = {pmatrix{1&`````-2#1&`````-1}} {pmatrix{1&`````-2#1&`````-1}}][eqn: = {pmatrix{-1&`````0#0&`````-1}}]

[eqn: =- {pmatrix{1&`````0#0&`````1}} =-E]

[eqn: THEREFORE ````A ^{30} =(A ^{2} ) ^{15} =(-E) ^{15} =-E]

19  [eqn: A+B=O]에서 [eqn: B=-A]

[eqn: AB=E]에 대입하면

[eqn: -AA=E]    [eqn: THEREFORE ````A ^{2} =-E]

또 [eqn: A+B=O]에서 [eqn: A=-B]

[eqn: AB=E]에 대입하면

[eqn: -BB=E]    [eqn: THEREFORE ````B ^{2} =-E]

[eqn: THEREFORE ````A ^{100} +B ^{100} =(A ^{2} ) ^{50} +(B ^{2} ) ^{50}]

[eqn: =(-E) ^{50} +(-E) ^{50}]

[eqn: =E+E=2E]

[eqn: =2 {pmatrix{1&`````0#0&`````1}} = {pmatrix{2&````0#0&`````2}}]

따라서 행렬 [eqn: A ^{100} +B ^{100}]의 모든 성분의 합은 [eqn: 4]이다.

20  ① [eqn: A= {pmatrix{1&`````-1#1&`````-1}}]이면 [eqn: A ^{2} =O]이지만 [eqn: A != O]

② [eqn: A ^{3} =AA ^{2} =A]이므로 [eqn: A=E]

③ [eqn: A= {pmatrix{1&`````0#0&`````-1}}]이면 [eqn: A ^{4} =A ^{6} =E]이지만 [eqn: A != E]

④ [eqn: A= {pmatrix{0&````1#1&`````0}}]이면 [eqn: A ^{2} =E]이지만 [eqn: A != E], [eqn: A != -E]

⑤ [eqn: A= {pmatrix{1&````1#1&`````1}}]이면 [eqn: A ^{2} =2A]이지만 [eqn: A != O], [eqn: A != 2E]

따라서 옳은 것은 ②이다.