난이도별 테스트(하)

정답과 해설

I. 다항식

1 ④     2 [eqn: 11x ^{2} -5xy+3y ^{2}]            3 ②

4 [eqn: 4a^2 +16 b^2 + c^2 + 16ab +8bc+4ca]      5 ④

6 ②     7 [eqn: x ^{ 2 } + 2 xy + y ^{ 2 } - 2x - 2y - 3]

8 ④     9 ⑤     10 ①      11 ④

12 [eqn: x ^{ 3 } + x ^{ 2 } + x + 1]             13 ③

14 몫: [eqn: 7x ^{2} -3x-2], 나머지: [eqn: 5]           15 ⑤

16 ④   17 ⑤    18 ⑤     19 ④    20 ②   21 ④    22 ④    23 ②

24 [eqn: LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )]

1  [eqn: y]에 대하여 차수가 낮은 항부터 나열하면

[eqn: 3x ^{2} +y+2xy ^{2} -2+yx ^{3}]

[eqn: = 3x^2 - 2 + y + y x^3 + 2xy^2]

[eqn: =3x^2 -2 + (x^3 +1)y +2xy^2]

2  [eqn: 3 A - 2 B]

[eqn: =3(x ^{2} -3xy-y ^{2} )-2(-4x ^{2} -2xy-3y ^{2} )]

[eqn: = 3x ^{2} -9xy-3y ^{2} +8x ^{2} +4xy+6y ^{2}]

[eqn: =11x ^{2} -5xy+3y ^{2}]

3  [eqn: A-3B-2(C-B)]

[eqn: =A-B-2C]

[eqn: =(x ^{2} -xy+y ^{2}} )-(2xy-y ^{2} )-2(-2x ^{2} +y ^{2} )]

[eqn: = x ^{2} -xy+y ^{2}} -2xy+y ^{2} +4x ^{2} -2y ^{2}]

[eqn: =5x^2 -3xy]

4  [eqn: ( 2 a + 4 b + c ) ^{ 2 }]

[eqn: = (2a )^ 2 + (4 b)^2 +c^2 + 2 times 2a times 4b]

[eqn: + 2 times 4b times c + 2 times c times 2a]

[eqn: = 4a^2 +16 b^2 + c^2 + 16ab +8bc+4ca]

5  주어진 정육면체는 한 모서리의 길이가 [eqn: a+b]이므

로 부피는

[eqn: ( a + b ) ^{ 3 } = a ^{ 3 } + 3 a ^{ 2 } b + 3 ab ^{ 2 } + b ^{ 3 }]

6  [eqn: ( a + b - c ) ( a ^{ 2 } + b ^{ 2 } + c ^{ 2 } - ab + bc + ca )]

[eqn: =LEFT { a+b+ LEFT ( -c RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: times LEFT { a^2 +b^2 + LEFT ( -c RIGHT )^2 -ab-b timesLEFT (-c RIGHT )- LEFT ( -c RIGHT )times a RIGHT }]

[eqn: = a ^{ 3 } + b ^{ 3 } + ( - c ) ^{ 3 } - 3 times a times b times ( - c )]

[eqn: = a ^{ 3 } + b ^{ 3 } - c ^{ 3 } + 3 abc]

7  [eqn: x + y = X]로 놓으면

[eqn: (x+y+1)(x+y-3)]

[eqn: = ( X + 1 ) ( X - 3 )]

[eqn: = X ^{ 2 } - 2 X -3]

[eqn: = ( x + y ) ^{ 2 } -2 ( x + y ) - 3]

[eqn: = x ^{ 2 } + 2 xy + y ^{ 2 } - 2 x - 2 y - 3]

8  [eqn: x ^{ 3 } + y ^{ 3 } = ( x + y ) ^{ 3 } - 3 xy ( x + y )]

[eqn: = 3 ^{ 3 } - 3 times 2 times 3 = 9]

9  [eqn: x ^{ 3 } - { 1 }over{ x ^{ 3 } }][eqn: = LEFT ( x- {1} over {x} RIGHT ) ^{3} +3 LEFT ( x- {1} over {x} RIGHT )]

[eqn: = 2^3 + 3 times 2 =14]

I. 다항식

10  [eqn: (a+b+c) ^{2} =a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} +2(ab+bc+ca)]에서

[eqn: 3^2 = 29+2(ab+bc+ca)], [eqn: 2(ab+bc+ca) =-20]

[eqn: therefore] [eqn: ab+bc+ca =-10]

11  [eqn: a ^{ 2 } + b ^{ 2 } + c ^{ 2 }][eqn: =(a+b+c) ^{2} -2(ab+bc+ca)]

[eqn: = 2^{ 2 } - 2 times (-5) = 14]

[eqn: a ^{3} +b ^{3} +c ^{3}]

[eqn: =(a+b+c)(a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} -ab-bc-ca)+3abc]

[eqn: =2times LEFT { 14- LEFT ( -5 RIGHT ) RIGHT } +3times(-6) = 20]

12  [eqn: A = ( x ^{ 2 } - x + 1 ) ( x + 2 ) + 2 x - 1]

[eqn: = x ^{ 3 } + x ^{ 2 } + x + 1]

13  [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x- { 1} over { 5}]로 나누었을 때의 몫이 [eqn: Q LEFT ( x RIGHT )], 나머지가 [eqn: R]이므로

[eqn: f ( x ) = LEFT ( x - { 1 }over{ 3 } right ) Q ( x ) + R]

[eqn: = { 1 }over{ 3 } times 3( x - { 1} over {3} ) Q ( x ) + R]

[eqn: =LEFT ( 3x-1 RIGHT )times { 1} over {3 }Q LEFT ( x RIGHT )+R]

따라서 [eqn: f(x)]를 [eqn: 3x-1]로 나누었을 때의 몫은 [eqn: { 1 }over{ 3 } Q ( x )], 나머지는 [eqn: R]이다.

14

[eqn: { 1 }over{ 2 }]	[eqn: 14]	[eqn: - 13]	[eqn: - 1]	[eqn: 7]
		[eqn: 7]	[eqn: - 3]	[eqn: - 2]
	[eqn: 14]	[eqn: - 6]	[eqn: - 4]	[eqn: 5]

[eqn: therefore`14x^3 - 13x^2 -x+7]

[eqn: = left(x - 1 over2 right ) (14x^2 -6x - 4) +5]

[eqn: = 2 LEFT ( x- { 1} over { 2} RIGHT ) LEFT ( 7x^2 -3x -2 RIGHT )+5]

[eqn: = (2x-1) (7x^2 - 3x-2) +5]

따라서 몫은 [eqn: 7x ^{2} -3x-2], 나머지는 [eqn: 5]이다.

15  주어진 등식의 우변을 전개한 후 [eqn: x]에 대하여 내림차순으로 정리하면

[eqn: x ^{ 2 } - x + 2 = ax ^{ 2 } + ( - 4 a + b ) x + 4 a - 2 b + c]

이 등식이 [eqn: x]에 대한 항등식이므로

[eqn: 1=a], [eqn: -1=-4a+b], [eqn: 2=4a-2b+c]

[eqn: therefore` a = 1], [eqn: b = 3], [eqn: c = 4 `]

[eqn: therefore `a - 2 b +3 c= 1-6+12 = 7]

16  [eqn: f ( x ) = 3 x ^{ 3 } - 5 x ^{ 2 } - x + 1]이라 하면 구하는 나머지는 나머지 정리에 의하여

[eqn: f ( 2 ) = 24-20-2+1=3]

17  [eqn: f ` ( x ) = x ^{ 3 } - x ^{ 2 } - x + a]라 하면 나머지 정리에 의하여 [eqn: f LEFT ( -2 RIGHT )=1]이므로

[eqn: - 8 - 4 + 2 + a = 1]    [eqn: therefore] [eqn: a = 11]

18  [eqn: 1 over x f ( x )]를 [eqn: a x + b]로 나누었을 때의 나머지는 나머지 정리에 의하여

[eqn: - {a} over {b} f LEFT ( - {b} over {a} RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: ax+b]로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: R]이므로 나머지 정리에 의하여

[eqn: f LEFT ( - { b} over { a} RIGHT )=R]

따라서 구하는 나머지는

[eqn: - {a} over {b} f LEFT ( - {b} over {a} RIGHT ) = - { a} over { b}R]

19  [eqn: f ( x ) = x ^{4 } + mx ^{ 2 } + 8]이라 하면 인수 정리에 의하여 [eqn: f ( 1 ) = 0]이므로

[eqn: 1 + m + 8 = 0]    [eqn: therefore] [eqn: m = - 9]

난이도별 테스트(하)

20  [eqn: x ^{ 2 } + y ^{ 2 } + 2 xy - 2 x - 2 y + 1]

[eqn: =x ^{2} +y ^{2} +(-1) ^{2}]

[eqn: +2 TIMES x TIMES y+2timesy times LEFT ( -1 RIGHT )+2times LEFT ( -1 RIGHT )timesx]

[eqn: = ( x + y - 1 ) ^{ 2 }]

21  [eqn: x ^{4} y-xy ^{4}]

[eqn: =xy(x ^{3} -y ^{3} )]

[eqn: = x y ( x - y ) ( x ^{ 2 } + x y + y ^{ 2 } )]

따라서 인수가 아닌 것은 ④이다.

22  [eqn: a ^{ 3 } + b ^{ 3 } - 8 + 6 ab]

[eqn: = a ^{ 3 } + b ^{ 3 } + (- 2) ^{ 3 } - 3 times a times b times (-2)]

[eqn: =LEFT ( a+b-2 RIGHT )]

[eqn: times LEFT { a^2 +b^2 + LEFT ( -2 RIGHT )^2 -a times b -b times LEFT ( -2 RIGHT ) - LEFT ( -2 RIGHT ) timesa RIGHT }]

[eqn: = ( a + b - 2 ) ( a ^{ 2 } + b ^{ 2 } - ab + 2 a + 2 b +4 )]

23  [eqn: x + y = X]로 놓으면

[eqn: ( x + y ) ( x + y - 3 ) - 4]

[eqn: = X ( X - 3 ) - 4]

[eqn: = X^2 -3X -4]

[eqn: = (X +1)(X-4)]

[eqn: =(x+y+1)(x+y-4)]

따라서 보기에서 주어진 다항식의 인수인 것은 ㄱ, ㄹ이다.

24  [eqn: f(x)=x ^{4} -x ^{3} -7x ^{2} +x+6]이라 하면

[eqn: f ( 1 ) = 0], [eqn: f ( - 1 ) = 0]

조립제법을 이용하여 인수분해하면

[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: -1]	[eqn: -7]	[eqn: 1]	[eqn: 6]
		[eqn: 1]	[eqn: 0]	[eqn: -7]	[eqn: -6]
[eqn: -1]	[eqn: 1]	[eqn: 0]	[eqn: -7]	[eqn: -6]	[eqn: 0]
		[eqn: -1]	[eqn: 1]	[eqn: 6]
	[eqn: 1]	[eqn: -1]	[eqn: -6]	[eqn: 0]

∴ [eqn: x^4 -x^2 -7x^2 +x+6]

[eqn: =(x+1)(x-1)(x ^{2} -x-6)]

[eqn: =LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )]