난이도별 테스트(하)

정답과 해설

II. 방정식과 부등식

1 ⑤     2 ⑤     3 ④     4 ②     5 ④

6 ④     7 ⑤     8 ③     9 ⑤     10 ②

11 ②    12 ②   13 ②    14 ③

15 [eqn: 25]   16 ④    17 ④    18 ③

19 [eqn: x = { 5 }over{ 2 }], [eqn: y= {1} over {2}]           20 ①    21 ⑤

22 [eqn: x < - 2] 또는 [eqn: x>- {1} over {2}]    23 ④    24 ⑤

1  복소수 [eqn: z=( x ^{ 2 } - 3 x + 2 ) + ( x ^{ 2 } + x - 2 ) i]가 순허수이므로

[eqn: x ^{ 2 } - 3 x + 2 = 0], [eqn: x ^{ 2 } + x - 2 != 0]

[eqn: x^2 -3x+ 2 = 0]에서 [eqn: ( x - 1 ) ( x - 2 ) = 0]

[eqn: therefore][eqn: x = 1] 또는 [eqn: x = 2]      [eqn: cdotscdots]㉠

[eqn: x^2 +x-2 !=0]에서 [eqn: ( x + 2 ) ( x - 1 ) != 0]

[eqn: therefore][eqn: x != - 2], [eqn: x != 1]         [eqn: cdotscdots]㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: x = 2 `]

2  [eqn: ( - 1 + 3 i ) x + ( 1 - i ) y = 3 + i]에서
[eqn: ( - x + y ) + ( 3 x - y ) i = 3 + i]

복소수가 서로 같을 조건에 의하여

[eqn: - x + y = 3], [eqn: 3 x - y = 1]

두 식을 연립하여 풀면

[eqn: x = 2], [eqn: y = 5]

[eqn: therefore] [eqn: x + y = 7]

3  [eqn: z = a + bi]([eqn: a], [eqn: b]는 실수)라 하면 [eqn: { bar { z }} = a - bi]

이를 [eqn: ( 2 - i ) { bar { z }} + 3 iz = 4 + 6 i]에 대입하면

[eqn: ( 2 - i ) ( a - bi ) + 3 i ( a + bi ) = 4 + 6 i]

[eqn: ( 2 a - 4 b ) + ( 2 a - 2 b ) i = 4 + 6 i]

복소수가 서로 같을 조건에 의하여

[eqn: therefore] [eqn: 2a-4b=4], [eqn: 2 a - 2 b = 6]

두 식을 연립하여 풀면

[eqn: a = 4], [eqn: b = 1]

따라서 [eqn: z=4+i]이므로 [eqn: z]의 실수부분과 허수부분은 각각 [eqn: 4], [eqn: 1]이다.

4  [eqn: ( 1 + i ) ^{ 2 } = 2 i], [eqn: ( 1 - i ) ^{ 2 } = - 2 i]이므로

[eqn: ( 1 + i ) ^{ 6 } - ( 1 - i ) ^{ 6 } = ( 2 i ) ^{ 3 } - ( - 2 i ) ^{ 3 } = - 16 i]

5  [eqn: 2018 = x]로 놓으면

[eqn: sqrt {2018} TIMES sqrt {-2018} + {sqrt {2018}} over {sqrt {-2018}}]

[eqn: = sqrt { x } times sqrt { - x } + { sqrt { x } }over{ sqrt { - x } }]

[eqn: = sqrt { x } times sqrt { x } i - sqrt { - { x }over{ x } }]

[eqn: =x i- sqrt {-1}]

[eqn: =x i-i][eqn: = ( x - 1 ) i]

[eqn: = 2017 i]

II. 방정식과 부등식

6  이차방정식 [eqn: x ^{ 2 } + ( k + 2 ) x + 2 k + 9 = 0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면 [eqn: D=0]이므로

[eqn: D = ( k + 2 ) ^{ 2 } - 4 ( 2 k + 9 ) = 0 `]

[eqn: k ^{ 2 } - 4 k - 32 = 0], [eqn: ( k - 8 ) ( k + 4 ) = 0]

[eqn: therefore] [eqn: k = 8] ([eqn: because] [eqn: k > 0])

이를 주어진 이차방정식에 대입하면

[eqn: x ^{ 2 } + 10 x + 25 = 0], [eqn: ( x + 5 ) ^{ 2 } = 0]

[eqn: therefore] [eqn: x = - 5](중근)      [eqn: therefore `alpha=-5]

[eqn: therefore`k + alpha = 8 + LEFT ( -5 RIGHT )=3]

7  이차방정식 [eqn: x ^{ 2 } - 2 ( m + 1 ) x + 2 ( m ^{ 2 } + 1 ) = 0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: { D }over{ 4 } = ( m + 1 ) ^{ 2 } - 2 ( m ^{ 2 } + 1 ) `]

[eqn: =-m^2 +2m -1=- LEFT ( m-1 RIGHT )^2]

(ⅰ) [eqn: m = 1]일 때

[eqn: D=0]이므로 중근을 갖는다.

(ⅱ) [eqn: m != 1]일 때

[eqn: D < 0]이므로 서로 다른 두 허근을 갖는다.

따라서 보기에서 옳은 것은 ③이다.

8  주어진 이차방정식의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta]이므로

[eqn: alpha ^{ 2 } - alpha + 5 = 0], [eqn: beta ^{ 2 } - beta + 5 = 0]

[eqn: therefore`-alpha^2 +alpha=5], [eqn: -beta^2 +beta=5]

[eqn: therefore] [eqn: ( 1 - alpha ^{ 2 } + alpha ) ( 2 - beta ^{ 2 } + beta ) = ( 1 + 5 ) ( 2 + 5 ) = 42]

9  근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha + beta = a + 4], [eqn: alpha beta = a]

[eqn: therefore][eqn: { 1 }over{ alpha } + { 1 }over{ beta } = { alpha + beta }over{ alpha beta } = { a + 4 }over{ a }]

이때 [eqn: { 1} over { alpha}+ { 1} over { beta}=3]이므로

[eqn: { a + 4 }over{ a } = 3]     [eqn: therefore` a = 2]

10  이차방정식 [eqn: 4 x ^{ 2 } + 2 x + 3 = 0]의 해는

[eqn: x = { - 1 +- sqrt { 1 - 12 } }over{ 4 } = { - 1 +- sqrt { 11 } i }over{ 4 }]

∴ [eqn: 4 x ^{ 2 } + 2 x + 3]

[eqn: =4 LEFT ( x- {-1- sqrt {11} i} over {4} RIGHT ) LEFT ( x- {-1+ sqrt {11} i} over {4} RIGHT )]

[eqn: = {1} over {4} (4x+1+ sqrt {11} i)(4x+1- sqrt {11} i)]

11  계수가 실수이므로 [eqn: 2 + sqrt { 5 } i]가 근이면 다른 한 근은 [eqn: 2 - sqrt { 5 } i]이다.

이차방정식 [eqn: x^2 +ax +b=0]에서 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: ( 2 + sqrt { 5 } i )][eqn: +][eqn: ( 2 - sqrt { 5 } i )][eqn: = - a], [eqn: (2+ sqrt {5} i)(2- sqrt {5} i)=b]

[eqn: therefore] [eqn: a = - 4], [eqn: b = 9]

12  [eqn: y = - 2 x ^{ 2 } + 3 x + a = -2 left( x - 3 over4 right)^2 + a + 9 over 8]

꼭짓점의 [eqn: x]좌표 [eqn: { 3} over {4 }]가 [eqn: 1 leq x leq 3]에 포함되지 않으므로 [eqn: x = 1]일 때 최댓값 [eqn: a + 1]을 갖는다.

이때 주어진 조건에서 최댓값이 [eqn: 2]이므로

[eqn: a + 1 = 2]     ∴ [eqn: a = 1]

13  [eqn: f LEFT ( x RIGHT )=x^3 +2x^2 -x-2]라 하면 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )=0]이므로

[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: - 1]	[eqn: - 2]
		[eqn: 1]	[eqn: 3]	[eqn: 2]
	[eqn: 1]	[eqn: 3]	[eqn: 2]	[eqn: 0]

[eqn: therefore ` f LEFT ( x RIGHT )= LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x^2 +3x+2 RIGHT )]

[eqn: =LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT )]

주어진 방정식은 [eqn: LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT )=0]

[eqn: therefore`x=-2] 또는 [eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=1]

난이도별 테스트(하)

14  [eqn: x!=0]이므로 주어진 방정식의 양변을 [eqn: x ^{ 2 }]으로 나누면

[eqn: x^2 -3x +4 - { 3} over { x}+ { 1} over {x^2 }=0]

[eqn: LEFT ( x + { 1 }over{ x } right ) ^{ 2 } - 3 LEFT ( x + { 1 }over{ x } right ) + 2 = 0]

[eqn: x+ { 1} over {x }=t]로 놓으면

[eqn: t ^{ 2 } - 3 t + 2 = 0], [eqn: (t-1)(t-2)=0]

[eqn: therefore] [eqn: t = 1] 또는 [eqn: t = 2]

따라서 [eqn: x+ { 1} over { x}=1] 또는 [eqn: x+ { 1} over { x}=2]이므로

[eqn: alpha + { 1 }over{ alpha } =1] 또는 [eqn: alpha + { 1 }over{ alpha } =2]

15  계수가 실수이므로 [eqn: 1 - i]가 근이면 [eqn: 1 + i]도 근이다.

나머지 한 근을 [eqn: alpha]라 하면 삼차방정식 [eqn: x ^{ 3 } + ax ^{ 2 } + bx - 2 = 0]에서  근과 계수의 관계에 하여 세 근의 곱은

[eqn: ( 1 - i ) ( 1 + i ) alpha = 2]   [eqn: therefore] [eqn: alpha = 1]

즉, 세 근이 [eqn: 1 - i], [eqn: 1 + i], [eqn: 1]이므로 세 근의 합은

[eqn: ( 1 - i ) + ( 1 + i ) + 1 = -a]   [eqn: therefore][eqn: a = - 3]

두 근끼리의 곱의 합은

[eqn: ( 1 - i ) ( 1 + i ) + ( 1 + i ) times1 + 1 times ( 1 - i ) = b] [eqn: therefore`b=4]

[eqn: therefore] [eqn: a ^{ 2 } + b ^{ 2 } = 9+16=25]

16  [eqn: x ^{ 3 } = - 1]에서 [eqn: x ^{ 3 } + 1 = 0]

[eqn: ( x + 1 ) ( x ^{ 2 } - x + 1 ) = 0]

[eqn: therefore] [eqn: omega ^{ 3 } = - 1], [eqn: omega ^{ 2 } - omega + 1 = 0]

[eqn: therefore] [eqn: 1 - omega + omega ^{ 2 } - omega ^{ 3 } + omega ^{ 4 } - omega ^{ 5 } + omega ^{ 6 }]

[eqn: =LEFT ( 1-w+w^2 RIGHT ) - w^3 LEFT ( 1-w+w^2 RIGHT )+ w^6]

[eqn: = omega ^{ 6 } = ( omega ^{ 3 } ) ^{ 2 }]

[eqn: = ( - 1 ) ^{ 2 } = 1]

17  [eqn: LEFT □ ` lpile{x+y=3#x ^{2} -y ^{2} =6} RIGHT .]

[eqn: x+y=3]에서 [eqn: y = 3 - x]

이를 [eqn: x^2 -y^2 =6]에 대입하면

[eqn: x ^{2} -(3-x) ^{2} =6], [eqn: 6x-9=6]

[eqn: therefore] [eqn: x = { 5 }over{ 2 }], [eqn: y= {1} over {2}]

18  [eqn: ax + 2 leq x + 3]에서 [eqn: ( a - 1 ) x leq 1]

이 부등식의 해가 모든 실수이므로

[eqn: a - 1 = 0]    ∴ [eqn: a = 1]

19  [eqn: 5-x` le `4x -10]을 풀면

[eqn: -5x le -15]      ∴ [eqn: x ge 3]      [eqn: cdots cdots]㉠

[eqn: 5x -4`>`3x]을 풀면

[eqn: 2x > 4]      ∴ [eqn: x > 2]        [eqn: cdots cdots]㉡

㉠, ㉡에서 주어진 연립부등식의 해는

[eqn: x ge 3]

따라서 주어진 연립부등식의 해가 아닌 것은 ①이다.

20  (ⅰ) [eqn: x < 2]일 때

[eqn: - ( x - 2 ) leq 2 x - 1], [eqn: - 3 x leq - 3]

[eqn: therefore` x geq 1]

그런데 [eqn: x<2]이므로

[eqn: 1 leq x < 2]

(ⅱ) [eqn: x geq 2]일 때

[eqn: x - 2 leq 2 x - 1], [eqn: - x leq 1]

[eqn: therefore` x geq - 1]

그런데 [eqn: x ge 2]이므로

[eqn: x geq 2]

(ⅰ), (ⅱ)에서 주어진 부등식의 해는

[eqn: x geq 1]

II. 방정식과 부등식

21  [eqn: {1} over {5} + {x ^{2}} over {5} >- {x} over {2}]

[eqn: 2 + 2 x ^{ 2 } > - 5 x]

[eqn: 2 x ^{ 2 } + 5 x + 2 > 0]

[eqn: (2x+1)(x+2)>0]

[eqn: therefore] [eqn: x < - 2] 또는 [eqn: x>- {1} over {2}]

22  이차부등식 [eqn: x ^{ 2 } + ax + a + 3 < 0]이 해를 갖지 않으려면 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x^2 +ax +a+3 ge 0]이 성립해야 하므로 이차방정식 [eqn: x ^{2} +ax+a+3=0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D= a^2 -4 LEFT ( a+3 RIGHT ) le 0]

[eqn: a ^{2} -4a-12 LEQ 0], [eqn: LEFT ( a +2 RIGHT ) LEFT ( a-6 RIGHT ) le 0]

[eqn: therefore] [eqn: - 2 leq a leq 6]

23  [eqn: 4x ^{2} `-`8x`+`3` GEQ `0`]을 풀면

[eqn: (2x-1)(2x-3) ge 0]

∴ [eqn: x le 1 over2] 또는 [eqn: x ge 3 over2]       [eqn: cdots cdots]㉠

[eqn: `x ^{2} -3x-4`<`0]을 풀면

[eqn: (x+1)(x-4)<0]

∴ [eqn: -1 < x<4]               [eqn: cdots cdots]㉡

㉠, ㉡에서 주어진 연립부등식의 해는

[eqn: -1 < x le 1over2] 또는 [eqn: 3 over2 le x <4]

따라서 정수 [eqn: x]는 [eqn: 0], [eqn: 2], [eqn: 3]의 3개이다.

24  [eqn: f LEFT ( x RIGHT )=x^2 -2ax+3a-2]라 하고 이차방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )=0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면

(ⅰ) [eqn: D ge 0]에서

[eqn: { D} over {4 }= a^2 - LEFT ( 3a-2 RIGHT ) ge0], [eqn: LEFT ( a-1 RIGHT ) LEFT ( a-2 RIGHT )ge 0]

[eqn: therefore `a le 1] 또는 [eqn: a ge 2]      [eqn: cdotscdots]㉠

(ⅱ) [eqn: f ( - 1 ) >0]에서

[eqn: 1+2a+3a-2>0]

[eqn: therefore`a> { 1} over {5 }]                 [eqn: cdotscdots]㉡

(ⅲ) [eqn: a>-1]                  [eqn: cdotscdots]㉢

㉠, ㉡, ㉢의 공통부분은 [eqn: { 1} over {5 } < a le1]