난이도별 테스트(하)

정답과 해설

Ⅲ. 경우의 수

1 ③     2 ②     3 ①     4 ⑤     5 ②

6 ③     7 ④     8 ⑤     9 ①    10 ①

11 ④    12 ④    13 ②   14 ④    15 ②

16 ①    17 ⑤    18 ④   19 ②    20 ②

21 ③    22 ⑤    23 ②   24 ④

1  (ⅰ) 두 눈의 수의 합이 [eqn: 6]인 경우

[eqn: (1,~5)], [eqn: (2,~4)], [eqn: (3, ~3)], [eqn: (4, ~2)], [eqn: (5,~1)]의

[eqn: 5]가지

(ⅱ) 두 눈의 수의 합이 [eqn: 8]인 경우

[eqn: (2,~6)], [eqn: (3,~5)], [eqn: (4,~4)], [eqn: (5,~3)], [eqn: (6,~2])의

[eqn: 5]가지

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 경우의 수는

[eqn: 5+5=10]

2  (ⅰ) 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형의 개수
[eqn: 5 times4 -2 =18]

(ⅱ) 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형의 개수
[eqn: 4 times 3 -2 = 10]

(ⅲ) 한 변의 길이가 [eqn: 3]인 정사각형의 개수
[eqn: 3times 2-2 =4]

(ⅰ)~(ⅲ)에서 구하는 정사각형의 개수는

[eqn: 18+10+4=32]

3  [eqn: 1]부터 [eqn: 20]까지의 자연수 중에서 [eqn: 2]의 배수는 [eqn: 10]개, [eqn: 3]의 배수는 [eqn: 6]개, [eqn: 2]와 [eqn: 3]의 최소공배수인 [eqn: 6]의 배수는 [eqn: 3]개이므로 [eqn: 2]의 배수 또는 [eqn: 3]의 배수의 개수는

[eqn: 10+6-3=13]

4  (ⅰ) [eqn: x+y=0]인 경우
[eqn: (0,~0)]의 [eqn: 1]가지

(ⅱ) [eqn: x+y=1]인 경우
[eqn: (0,~1)], [eqn: (1,~0)]의 [eqn: 2]가지

(ⅲ) [eqn: x+y=2]인 경우
[eqn: (0,~2)], [eqn: (1,~1)], [eqn: (2,~0)]의 [eqn: 3]가지

(ⅳ) [eqn: x+y=3]인 경우
[eqn: (0,~3)], [eqn: (1,~2)], [eqn: (2,~1)], [eqn: (3,~ 0)]의 [eqn: 4]가지

(ⅴ) [eqn: x+y=4]인 경우
[eqn: (0,~4)], [eqn: (1,~3)], [eqn: (2,~2)], [eqn: (3,~ 1)], [eqn: (4,~ 0)]의 [eqn: 5]가지

(ⅰ)~(ⅴ)에서 구하는 순서쌍 [eqn: (x,```y)]의 개수는

[eqn: 1+2+3+4+5=15]

5  [eqn: 10]원, [eqn: 50]원, [eqn: 100]원짜리 동전을 각각 [eqn: x]개, [eqn: y]개, [eqn: z]개 사용한다고 하면

[eqn: 10x+50y+100z = 300]

[eqn: THEREFORE] [eqn: x+5y+10z = 30]       [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

따라서 구하는 방법의 수는 방정식 ㉠을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: x,~y,~z]의 순서쌍 [eqn: (x,```y,```z)]의 개수와 같다.

(ⅰ) [eqn: z=0]일 때, [eqn: x+5y=30]이므로 순서쌍 [eqn: (x,~y)]는 [eqn: (30,~0)], [eqn: (25,~1)], [eqn: (20,~2)], [eqn: (15,~3)], [eqn: (10,~4)],
[eqn: (5,~5)], [eqn: (0,~6)]의 [eqn: 7]개

(ⅱ) [eqn: z=1]일 때, [eqn: x+5y=20]이므로 순서쌍 [eqn: (x,~y)]는 [eqn: (20,~0)], [eqn: (15,~1)], [eqn: (10,~2)], [eqn: (5,~3)], [eqn: (0,~4)]의
[eqn: 5]개

(ⅲ) [eqn: z=2]일 때, [eqn: x+5y=10]이므로 순서쌍 [eqn: (x,~y)]는 [eqn: (10,~0)], [eqn: (5,~1)], [eqn: (0,~2)]의 [eqn: 3]개

(ⅳ) [eqn: z=3]일 때, [eqn: x+5y=0]이므로 순서쌍 [eqn: (x,~y)]는
[eqn: (0,~0)]의 [eqn: 1]개

(ⅰ)~(ⅳ)에서 구하는 방법의 수는
[eqn: 7+5+3+1=16]

Ⅲ. 경우의 수

6  [eqn: rm A] 지역 [eqn: 3]개의 학교 중에서 한 곳을 지정하는 경우의 수는 [eqn: 3], [eqn: rm B] 지역 [eqn: 5]개의 학교 중에서 한 곳을 지정하는 경우의 수는 [eqn: 5], [eqn: rm C] 지역 [eqn: 4]개의 학교 중에서 한 곳을 지정하는 경우의 수는 [eqn: 4]이므로

[eqn: 3times5 times4=60]

7  집에서 [eqn: \P] 지점까지 가는 경우의 수는 [eqn: 4]가지, [eqn: \P] 지점에서 학교까지 가는 경우의 수는 [eqn: 6]가지이므로

[eqn: 4 times6 =24]

8  [eqn: LEFT ( a+b+c RIGHT ) LEFT ( x+y+z RIGHT ) LEFT ( p+q RIGHT )]를 전개하면 [eqn: a,~b,~c]에 [eqn: x,~y,~z]를 각각 곱하여 항이 만들어지고, 그것에 다시 [eqn: p,~q]를 각각 곱하여 항이 만들어지므로 구하는 항의 개수는

[eqn: 3 times3 times 2= 18]

9  [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C], [eqn: rm D] 네 학생의 휴대전화를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]라 하면 네 학생 모두 자신의 것이 아닌 휴대전화를 받는 경우는 다음과 같다.

[eqn: rm A]	[eqn: rm B]	[eqn: rm C]	[eqn: rm D]
[eqn: b]	[eqn: a]	[eqn: d]	[eqn: c]
	[eqn: c]	[eqn: d]	[eqn: a]
	[eqn: d]	[eqn: a]	[eqn: c]
[eqn: c]	[eqn: a]	[eqn: d]	[eqn: b]
	[eqn: d]	[eqn: a]	[eqn: b]
		[eqn: b]	[eqn: a]
[eqn: d]	[eqn: a]	[eqn: b]	[eqn: c]
	[eqn: c]	[eqn: a]	[eqn: b]
		[eqn: b]	[eqn: a]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 9]이다.

10  [eqn: {8!} over {(7-r)!} =336]에서 [eqn: {8 TIMES 7!} over {(7-r)!} =336]
[eqn: rm_7{rmP}_r = 42]

이때 [eqn: 42=7times6][eqn: =][eqn: rm _{7} rm P it _{2}]이므로

[eqn: r=2]

11  [eqn: rm _{n} {rm P} _{3} =210]이므로

[eqn: n(n-1)(n-2)=7 TIMES 6 TIMES 5]

[eqn: THEREFORE] [eqn: n=7]

12  서로 다른 [eqn: 7]개의 선물 상자 중에서 [eqn: 4]개를 뽑아 각 상자에 선물을 하나씩 넣으면 되므로

[eqn: rm _{7} rm P _{4} =840]

13  남자(또는 여자) 회원 [eqn: 6]명의 자리를 고정하면 고정된 [eqn: 6]개의 자리에 여자(또는 남자) 회원 [eqn: 6]명을 일렬로 나열하면 되므로 [eqn: 6]개의 혼합 복식 팀을 구성하는 경우의 수는 [eqn: 6!]

14  여자 [eqn: 3]명을 한 묶음으로 생각하여 남자 [eqn: 4]명과 함께 일렬로 세우는 경우의 수는 [eqn: 5!][eqn: =120]

여자 [eqn: 3]명이 자리를 바꾸는 경우의 수는 [eqn: 3!][eqn: =6]

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: 120 TIMES 6=720]

15  [eqn: b], [eqn: d]를 양 끝에 나열하는 경우의 수는 [eqn: 2!][eqn: =2]

나머지 자리에 [eqn: a], [eqn: c], [eqn: e], [eqn: f]를 일렬로 나열하는 경우의 수는 [eqn: 4!][eqn: =24]

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: 2 TIMES 24=48]

난이도별 테스트(하)

16  [eqn: rm_n{\P}_r =336], [eqn: rm_n{\C}_r = {rm_n{\P}_r }overr! = 56]이므로

[eqn: 336 overr! =56], [eqn: r! = 6]

[eqn: THEREFORE] [eqn: r=3]

[eqn: rm _{n} rm P _{3} =336]에서

[eqn: n(n-1)(n-2)= 8times 7 times 6]

[eqn: THEREFORE] [eqn: n=8]

[eqn: THEREFORE] [eqn: n+r= 8+3=11]

17  [eqn: 50]개의 곡 중에서 [eqn: 3]곡을 뽑는 경우의 수는

[eqn: rm_50{rmC}_3 = {50times49 times 48}over{3 times 2times 1}= 19600]

18  [eqn: rm _{n} rm P _{2} - _{it n rm} rm C _{2} =45]이므로

[eqn: n(n-1) - n(n-1) over 2times1 = 45]

[eqn: n(n-1)=90 = 10 times 9]

[eqn: THEREFORE] [eqn: n=10]

19  [eqn: 5]개의 스포츠 동호회 중에서 [eqn: 2]개를 택하는 경우의 수는 [eqn: rm_5RMC_2 =10]

[eqn: 4]개의 문화 동호회 중에서 [eqn: 2]개를 택하는 경우의 수는 [eqn: rm_4RMC_2 =6]

따라서 [eqn: 4]개의 동호회에 가입하는 경우의 수는

[eqn: 10 times 6 = 60]

20  뽑힌 두 수의 곱이 짝수가 되려면 짝수가 [eqn: 2]개 또는 짝수가 [eqn: 1]개, 홀수가 [eqn: 1]개이어야 한다.

[eqn: 1]부터 [eqn: 9]까지의 자연수 중에서 짝수는 [eqn: 4]개, 홀수는 [eqn: 5]개이므로 구하는 경우의 수는

[eqn: rm _{4} rm C it rm _{2} + rm _{4} rm C it rm _{1} TIMES _{5} rm C it rm _{1} =6+20=26]

21  [eqn: \A]는 선발되고, [eqn: \B]와 [eqn: \C]는 모두 선발되지 않는 경우의 수는 [eqn: \A], [eqn: \B], [eqn: \C]를 제외한 나머지 [eqn: 7]명 중에서 [eqn: 4]명을 택하는 경우의 수와 같으므로

[eqn: rm_7{\C}_4 = 35]

22  [eqn: c], [eqn: d]를 제외한 [eqn: 4]개의 문자에서 [eqn: 2]개의 문자를 택하는 경우의 수는 [eqn: `_4 { rm C } _2 =6]

[eqn: 4]개의 문자를 일렬로 나열하는 경우의 수는
[eqn: 4! = 24]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 6 times 24=144]

23  [eqn: 8]개의 점 중에서 어느 [eqn: 2]개의 점도 한 직선 위에 있지 않으므로 구하는 직선의 개수는

[eqn: rm_8rmC_2 = 28]

24  (ⅰ) [eqn: 9]개의 점 중에서 [eqn: 3]개를 택하는 경우의 수는 [eqn: `_9 { rm C }_3 = 84]

(ⅱ) 가로 방향의 직선은 [eqn: 3]개이고 각각에 대하여 한 직선 위에 있는 [eqn: 3]개의 점 중에서 [eqn: 3]개를 택하는 경우의 수는 [eqn: {} _{3} {rmC} _{3} =1]

(ⅲ) 세로 방향의 직선은 [eqn: 3]개이고 각각에 대하여  한 직선 위에 있는 [eqn: 3]개의 점 중에서 [eqn: 3]개를 택하는 경우의 수는 [eqn: {} _{3} {rmC} _{3} =1]

(ⅳ) [eqn: 3]개의 점을 지나는 대각선 방향의 직선은 [eqn: 2]개이고 각각에 대하여 한 직선 위에 있는 [eqn: 3]개의 점 중에서 [eqn: 3]개를 택하는 경우의 수는 [eqn: {} _{3} {rmC} _{3} =1]

(ⅰ)~(ⅳ)에서 구하는 삼각형의 개수는

[eqn: 84-3 TIMES 1-3 TIMES 1-2 TIMES 1=76]