Ⅱ. 집합과 명제

난이도별 테스트(상)	학년 반	맞은 개수
	이름	/16개

1 집합 [eqn: U = lbrace 1, ~ 2, ~ 3, ~ 4, ~ cdots , ~ 100 rbrace]의 부분집합 [eqn: A]가 다음 조건을 만족할 때, 원소의 개수가 최소인 집합 [eqn: A SMALLINTER B]는?

㈎ [eqn: 2 in A], [eqn: 3 in B]

㈏ [eqn: p in A], [eqn: q in A]이면 [eqn: p+q in A]이다.

㈐ [eqn: r in B], [eqn: s in B]이면 [eqn: r+s in B]이다.

① [eqn: lbrace 2,~4, ~ 6,~8, ~ cdots , ~ 100 rbrace]

② [eqn: lbrace 2,~3, ~ 5,~8, ~ cdots , ~ 98 rbrace]

③ [eqn: lbrace 3, ~ 6,~9,~12, ~ cdots , ~ 99 rbrace]

④ [eqn: left{ 6,~12,~18,~24,~ cdots,~96 right}]

⑤ [eqn: left{ 12,~24,~36,~ 48,~cdots,~96 right}]

2 전체집합 [eqn: U = lbrace 1, ~ 2, ~ 3, ~ 4, ~ 5, ~ 6 rbrace]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]가 [eqn: A smallunion B = A ^{ C } smallunion B ^{ C }]을 만족할 때, 집합 [eqn: A], [eqn: B]의 순서쌍 [eqn: ( A ,~ B )]의 개수를 구하시오.

3 집합 [eqn: X]의 원소의 총합을 [eqn: S ( X )]라 하자. 전체집합 [eqn: U = lbrace 1, ~ 2, ~ 3, ~ cdots , ~ 10 rbrace]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 [eqn: A ^{ C } smallinter B = lbrace 1, ~ 4, ~ 9 rbrace],
[eqn: A - B = lbrace 3, ~ 5, ~ 8 rbrace], [eqn: S ( A ^{ C } smallinter B ^{ C } ` ) = 13]일 때,
[eqn: S ( A smallinter B )]의 값은?

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]          ③ [eqn: 12]

④ [eqn: 13]          ⑤ [eqn: 16]

4 집합 [eqn: X = lbrace a , ~ b , ~ c rbrace]의 부분집합을 원소로 갖는 집합 [eqn: T]가 다음 조건을 만족할 때, 집합 [eqn: T]가 될 수 없는 것은?

㈎ [eqn: emptyset in T], [eqn: X in T]

㈏ [eqn: A in T], [eqn: B in T]이면 [eqn: A smallunion B in T]

㈐ [eqn: A in T], [eqn: B in T]이면 [eqn: A smallinter B in T]

① [eqn: lbrace emptyset , ~ X rbrace]

② [eqn: lbrace emptyset , ~ lbrace a rbrace , ~ X rbrace]

③ [eqn: lbrace emptyset , ~ lbrace a rbrace , ~ lbrace a , ~ b rbrace , ~ X rbrace]

④ [eqn: lbrace emptyset , ~ lbrace a rbrace , ~ lbrace b rbrace , ~ X rbrace]

⑤ [eqn: lbrace emptyset , ~ lbrace a rbrace , ~ lbrace b rbrace , ~ lbrace a , ~ b rbrace , ~ X rbrace]

Ⅱ. 집합과 명제
5 자연수 전체의 집합의 두 부분집합 [eqn: A = lbrace a _{ 1 } , ~ a _{ 2 } , ~ a _{ 3 } , ~ a _{ 4 } , ~ a _{ 5 } rbrace], [eqn: B = lbrace a _{ 1 }`^{ 2 } , ~ a _{ 2 }` ^{ 2 } , ~ a _{ 3 }` ^{ 2 } , ~ a _{ 4 }` ^{ 2 } , ~ a _{ 5 } `^{ 2 } rbrace] 에 대하여 [eqn: a _{ 1 } < a _{ 2 } < a _{ 3 } < a _{ 4 } < a _{ 5 }]이고 [eqn: A smallinter B = lbrace a _{ 1 } , ~ a _{ 4 } rbrace], [eqn: a _{ 1 } + a _{ 4 } = 10]이다. [eqn: A smallunion B]의 모든 원소의 합이 [eqn: 224]일 때, 집합 [eqn: A]를 구하시오. 6 정수 전체의 집합의 두 부분집합 [eqn: A = lbrace 1, ~ 2, ~ 3 rbrace], [eqn: B = lbrace 1, ~ 2 rbrace]에 대하여 [eqn: X = lbrace x y + 5 ` |` x in A , ~ y in B rbrace], [eqn: Y = lbrace x + y + a `| `x in A , ~ y in B rbrace] 라 할 때, [eqn: n lbrace ( X capY^C ` ) cup ( X^C cap Y ) rbrace = 3]를 만족하는 모든 정수 [eqn: a]의 값의 합은? ① [eqn: 6] ② [eqn: 9] ③ [eqn: 10] ④ [eqn: 12] ⑤ [eqn: 15]	7 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: A _{ n } = lbrace x` | ` x]는 [eqn: n]과 서로소인 자연수[eqn: rbrace] 라 하자. [eqn: A _{ 6 } smallinter A _{ 2 } = A _{ a }], [eqn: A _{ 6 } smallunion A _{ 2 } = A _{ b }]를 만족하는 가장 작은 자연수를 각각 [eqn: a], [eqn: b]라고 할 때, [eqn: b - a]의 값을 구하시오. 8 집합 [eqn: A = lbrace 1, ~ 3, ~ 5, ~ 7, ~ 9, ~ 11 rbrace]의 두 부분집합 [eqn: X], [eqn: Y]에 대하여 [eqn: X smallunion Y = A], [eqn: X smallinter Y = emptyset]이다. [eqn: f ( X )]는 집합 [eqn: X]의 원소의 총합이라 할 때, [eqn: f ( X ) f ( Y )]의 최댓값은? ① [eqn: 96] ② [eqn: 118] ③ [eqn: 246] ④ [eqn: 324] ⑤ [eqn: 422]

난이도별 테스트(상)
9 어느 학교 학생 [eqn: 300`]명이 유니폼을 단체 주문하였는데, 몸에 맞지 않는 옷들이 많아서 상의 [eqn: 42`]벌, 하의 [eqn: 37`]벌, 모자 [eqn: 28`]개를 교환하였다. 상의만 교환한 학생이 [eqn: 17`]명, 하의만 교환한 학생이 [eqn: 16`]명, 모자만 교환한 학생이 [eqn: 9`]명이고, 상의나 하의, 모자 중 적어도 하나를 교환한 학생은 [eqn: 73`]명이다. 상의, 하의, 모자를 모두 교환한 학생의 수를 구하시오. 10 아래 그림의 [eqn: { rm A }] 지점에서 출발하여 각 단계에 주어진 명제가 참이고 그 명제의 역이 거짓이면 오른쪽으로, 명제가 거짓이고 그 명제의 역이 참이면 왼쪽으로, 명제와 그 명제의 역이 모두 참이거나 모두 거짓이면 가운데로 간다. 각 단계에 주어진 명제가 다음과 같을 때, 도착하는 지점을 구하시오. [[eqn: 1]단계] [eqn: ab < 0]이면 [eqn: a < 0], [eqn: b > 0]이다. [[eqn: 2]단계] [eqn: a ^{ 2 } = b ^{ 2 }]이면 [eqn: a = b]이다. [[eqn: 3]단계] 두 자연수 [eqn: a], [eqn: b]가 홀수이면 [eqn: a + b]는 홀수이다.	11 자연수가 적힌 카드를 [eqn: { rm A }], [eqn: { rm B }], [eqn: { rm C }] 세 주머니에 넣으려고 한다. ‘카드에 적힌 수가 짝수이면 [eqn: rm C] 주머니에 넣지 않는다.’는 규칙을 지키며 카드를 정리했더니 [eqn: { rm A }], [eqn: { rm B }], [eqn: { rm C }] 세 주머니에 각각 [eqn: a]장, [eqn: b]장, [eqn: c]장의 카드가 있었다. 전체 카드 중 홀수가 적힌 카드는 최소 몇 장인가? ① [eqn: a]장 ② [eqn: b]장 ③ [eqn: c]장 ④ [eqn: ( a + b )]장 ⑤ [eqn: (b+c)]장 12 [eqn: 5]가지 상품 [eqn: { rm A }], [eqn: { rm B }], [eqn: { rm C }], [eqn: { rm D }], [eqn: { rm E }]를 파는 가게가 있다. 가게 주인은 다음과 같은 조건으로 상품을 판다고 한다. 다음 중 이 가게에서 살 수 있는 상품은? ㈎ [eqn: { rm A }]를 사려면 [eqn: { rm B }]도 사야 한다. ㈏ [eqn: { rm D }]와 [eqn: { rm E }] 중에서 적어도 한 가지를 사야 한다. ㈐ [eqn: { rm B }]와 [eqn: { rm C }] 중에서 한 가지만 살 수 있다. ㈑ [eqn: { rm C }] 또는 [eqn: { rm D }]를 사려면 둘 다 사야 한다. ㈒ [eqn: { rm E }]를 사려면 [eqn: { rm A }]와 [eqn: { rm D }]도 사야 한다. ① [eqn: { rm A }], [eqn: { rm B }] ② [eqn: { rm B }], [eqn: { rm D }] ③ [eqn: { rm C }], [eqn: { rm D }] ④ [eqn: { rm B }], [eqn: { rm C }], [eqn: { rm D }] ⑤ [eqn: { rm A }], [eqn: { rm B }], [eqn: { rm C }], [eqn: { rm D }], [eqn: { rm E }]

Ⅱ. 집합과 명제

13 보기에서 두 조건 [eqn: p], [eqn: q]에 대하여 조건 [eqn: p]가 조건 [eqn: q]이기 위한 충분조건이지만 필요조건이 아닌 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]는 실수)

	<보기>
ㄱ. [eqn: p`:` left | x right | < left | y right |] [eqn: q`:` x ^{ 2 } < y ^{ 2 }] ㄴ. [eqn: p`:` ( x - y ) ( y - z ) = 0] [eqn: q`:` x = y = z] ㄷ. [eqn: p`:`x<y<z] [eqn: q`:` left | x-y right | < left | x-z right |]

① ㄱ	② ㄷ           ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ       ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

14 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: A = a_1 + a_2 + cdots+ a_n`],
[eqn: B = 1 over a_1 + 1 over a_2 + cdots + 1 over a_n`]이라 할 때, [eqn: A`], [eqn: B`] 중 적어도 하나는 [eqn: n`]보다 작지 않음을 증명하시오.

(단, [eqn: a_1], [eqn: a_2], [eqn: a_3], [eqn: cdots], [eqn: a_n]은 양수)

15 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]에 대하여 [eqn: a + b + c + d = 4],
[eqn: a ^{ 2 } + b ^{ 2 } + c ^{ 2 } + d ^{ 2 } = 16]일 때, [eqn: d]의 최솟값은?

① [eqn: - 4]	② [eqn: - 2]          ③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]            ⑤ [eqn: 4]

16 다음 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원에 외접하는 사다리꼴에서 평행한 두 변의 길이를 [eqn: x], [eqn: y]라 할 때, 보기에서 참인 명제인 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보기>
ㄱ. [eqn: x + y geq 4] ㄴ. [eqn: xy geq 4] ㄷ. [eqn: x + y = 4]이면 주어진 사다리꼴은 정사각형이다. ㄹ. [eqn: xy = 4]이면 주어진 사다리꼴은 정사각형이다.

① ㄱ, ㄴ       ② ㄱ, ㄷ      ③ ㄷ, ㄹ

④ ㄱ, ㄴ, ㄷ   ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ