난이도별 테스트(상)

정답과 해설

Ⅰ. 도형의 방정식

1 [eqn: 6]    2 ②    3 [eqn: rm D LEFT ( 13,~9 ) it]  4 [eqn: 1.8]초   5 [eqn: 13]

6 ⑤   7 ④    8 [eqn: 4SQRT2]      9 [eqn: 62]    10 ①

11 ⑤  12 ②   13 ④       14 ①    15 [eqn: 3]

16 ⑤

1  다음 그림과 같이 점 [eqn: rm D]가 원점이 되도록 변 [eqn: rm BC]를 [eqn: x]축 위에 놓고 [eqn: rm A][eqn: (a,````b)], [eqn: rm B][eqn: (-5c,````0)], [eqn: rm C][eqn: (c,````0)]이라 하자.

[eqn: {bar{rm AB}} ` ^{2}][eqn: =(-5`c-a`) ^{2} +(-b`) ^{2} `]

[eqn: = a`^2 + b`^2 + 25`c`^2 + 10`a`c`]

[eqn: {bar{rm AC}} ` ^{2} `][eqn: =(c-a`) ^{2} +(-b`) ^{2} =a` ^{2} +b` ^{2} +c` ^{2} -2`a`c`]

[eqn: {bar{rm AD}} ` ^{2}][eqn: =a` ^{2} +b` ^{2} `]

[eqn: {bar{rm DC}} ` ^{2} =itc` ^{2} `]

∴ [eqn: rm bar AB`^2 + 5` bar AC`^2`]

[eqn: = ( a`^2 + b`^2 + 25`c`^2 + 10`a`c` )`]

[eqn: + 5` ( a`^2 + b`^2 + c`^2 - 2`a`c` )`]

[eqn: = 6`a`^2 + 6`b`^2 + 30`c`^2`]

[eqn: = 6` ( a`^2 + b`^2 + 5`c`^2` )`]

[eqn: = 6` ( rm bar AD`^2 + 5` bar DC`^2` )`]

∴ [eqn: k = 6`]

2  [eqn: rm bar AB `:` bar BE = 3 : 1`]에서

[eqn: a`:`bar \BE = 3 : 1`]    [eqn: THEREFORE ```` {bar{rm BE}} it = {a} over {3}]

∴ [eqn: rm bar AE = bar AB + bar BE = it a + a over3 = 4over3 a`]

[eqn: rm bar BC`:` bar CF = 3:1`]에서

[eqn: {bar{rm CF}} =][eqn: {a} over {3}]   ∴ [eqn: {bar{rm BF}} =][eqn: {4} over {3} a]

[eqn: rm bar CD `:` bar DG = 3 : 2`]에서

[eqn: {bar{rm DG}} =][eqn: {2} over {3} a]    ∴ [eqn: {bar{rm CG}} =][eqn: {5} over {3} a]

[eqn: rm bar DA `:` bar AH = 3: 1`]에서

[eqn: {bar{rm AH}} =][eqn: {a} over {3}]   ∴ [eqn: {bar{rm DH}} =][eqn: {4} over {3} a]

따라서 사각형 [eqn: \EFGH`]의 넓이는

[eqn: □ rm ABCD + triangle AHE + triangle BEF`+ triangle rm CFG + triangle DGH`]

[eqn: = a`^2 + left( 1over2 times a over3 times 4over3 a` right) + left( 1over2 times a over3 times 4over3 a` right)`]

[eqn: + left( 1over2 times a over3 times 5over3 a` right) + left( 1over2 times 2over3 a times 4over3 a` right)`]

[eqn: = 13over6 a`^2`]

3  [eqn: rm bar AD]는 [eqn: ANGLE RMA]의 외각의 이등분선이므로

[eqn: rm {bar{AB}} : {bar{AC}} = {bar{BD}} : {bar{CD}}]

[eqn: rm {bar{AB}} = sqrt {LEFT ( -2-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( -1-3 RIGHT ) ^{2}} =5], [eqn: rm {bar{AC}} = sqrt {LEFT ( 4-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 3-3 RIGHT ) ^{2}} =3]이므로

[eqn: RM BARBD : BAR CD = 5:3]

따라서 점 [eqn: rm C]는 선분 [eqn: rm BD]를 [eqn: 2:3]으로 내분하는 점이므로 점 [eqn: { rm D }]의 좌표를 [eqn: ( x ,~ y )]라 하면

[eqn: {2x+3 TIMES (-2)} over {2+3} =4,````` {2y+3 TIMES (-1)} over {2+3} =3]

[eqn: THEREFORE ````x=13,````y=9]

[eqn: therefore] [eqn: rm D LEFT ( 13,~9 ) it]

Ⅰ. 도형의 방정식

4  [eqn: t]초 후 두 점 [eqn: { rm A }], [eqn: { rm B }]의 위치는 각각 [eqn: rm A][eqn: (3t,````0)], [eqn: rm B][eqn: (0,````2t)]이고, 점 [eqn: { rm C }]가 이동한 거리는 [eqn: sqrt2 t]이므로

[eqn: rm C][eqn: (1+t,````t)]이다.

(ⅰ) (사각형 [eqn: rm OACB]의 넓이)
[eqn: = rm TRIANGLE OAC + TRIANGLE OCB]
[eqn: = 1over2 times 3t times t + 1over2 times 2t times (1+t)]
[eqn: = 1 over2 (5 t^2 + 2t) = 3 over10]
[eqn: 25 t^2 +10t -3 =0], [eqn: (5t+3)(5t-1) =0]
∴ [eqn: t = 1over 5] (∵ [eqn: t>0])

(ⅱ) 세 점 [eqn: { rm A }], [eqn: { rm B }], [eqn: { rm C }]가 한 직선 위에 있으려면 두 직선 [eqn: { rm AB }], [eqn: { rm AC }]의 기울기가 같아야 하므로
[eqn: {0-2t} over {3t-0} = {0-t} over {3t-(1+t)}]
[eqn: therefore] [eqn: t = 2]

따라서 구하는 시간은

[eqn: 2- 1over5 = 9 over 5 = 1.8](초)

5

위의 그림과 같이 직선 [eqn: \AP`]가 변 [eqn: \OB`]와 만나는 점을 [eqn: \C`]라 하면 [eqn: triangle rm PAO : triangle PBA = 2 : 1`]이므로

[eqn: rm bar OC : bar CB = triangle POC : triangle PBC = 2 : 1`]

점 [eqn: \C`]는 선분 [eqn: \OB`]를 [eqn: 2 : 1`]로 내분하는 점이므로

[eqn: \C` left( {2 times 12 + 1 times 0}over 2+1 , ~ {2 times 3 + 1 times 0}over 2+1 right)`]

∴ [eqn: \C` ( 8, ~ 2 )`]

직선 [eqn: \BP`]가 변 [eqn: \OA`]와 만나는 점을 [eqn: \D`]라 하면

[eqn: triangle rm POB: triangle PBA = 3 : 1`], 즉 점 [eqn: \D`]는 선분 [eqn: \OA`]를

[eqn: 3 : 1`]로 내분하는 점이므로

[eqn: \D` left( {3 times4 + 1 times 0}over 3+1 , ~ {3 times 12 + 1 times 0}over 3+1 right)`]

∴ [eqn: \D` ( 3, ~ 9 )`]

직선 [eqn: \AC`]의 방정식은

[eqn: y - 12 = 2-12 over 8-4 ( x - 4 )`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 5`x + 2`y - 44 = 0`]	[eqn: cdots cdots]㉠

직선 [eqn: \BD`]의 방정식은

[eqn: y - 3 = 9-3 over 3-12 ( x - 12 )`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 2`x + 3`y - 33 = 0`]	[eqn: cdots cdots]㉡

[eqn: ㉠`], [eqn: ㉡`]을 연립하여 풀면 [eqn: x = 6`], [eqn: y = 7`]

∴ [eqn: \P` ( 6, ~ 7 )`]

따라서 [eqn: a = 6`], [eqn: b = 7`]이므로 [eqn: a + b = 13`]

6  점 [eqn: \C]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: \H]라 하면

사각형 [eqn: \ABCH]의 넓이는 [eqn: 2TIMES1=2]

[eqn: y]축 위의 점 [eqn: \F][eqn: (0,````a)] [eqn: (0<a<3)]에서 선분 [eqn: \DH]에 내린 수선의 발을 [eqn: \G]라 하고 사각형 [eqn: \DEFG]의 넓이가 [eqn: 2]가 되도록 점 [eqn: \F]를 정하면

[eqn: (3-a) TIMES3=2]    [eqn: THEREFORE ````a= {7} over {3}]

원점을 지나는 구하는 직선의 방정식을 [eqn: y=mx]라 하자.

두 직사각형 [eqn: \ABCH], [eqn: \DEFG]의 넓이가 같으므로 직선 [eqn: y=mx]가 직사각형 [eqn: \OHGF]의 두 대각선의 교점[eqn: LEFT ( {3} over {2} ,```` {7} over {6} RIGHT )]을 지나야 한다.

[eqn: {7} over {6} = {3} over {2} m]에서 [eqn: m= {7} over {9}]

따라서 구하는 직선의 방정식은

[eqn: y= {7} over {9} x]    [eqn: THEREFORE ````7x-9y=0]

난이도별 테스트(상)

7  [eqn: x + 2`y - 4 = 0`]        [eqn: cdots cdots]㉠

[eqn: y = 1`]	[eqn: cdots cdots]㉡

[eqn: x - y + 8 = 0`]	[eqn: cdots cdots]㉢

[eqn: ㉠`], [eqn: ㉢`]을 연립하여 풀면 [eqn: \A` ( - 4, ~ 4 )`]

[eqn: ㉡`], [eqn: ㉢`]을 연립하여 풀면 [eqn: \B` ( - 7, ~ 1 )`]

[eqn: ㉠`], [eqn: ㉡`]을 연립하여 풀면 [eqn: \C` ( 2, ~ 1 )`]

삼각형의 외심은 각 변의 수직이등분선의 교점이다.

변 [eqn: \BC`]의 중점이 [eqn: left( - 5over2 , ~ 1 right)`]이므로 변 [eqn: \BC`]의 수직이등분선은 [eqn: x =- 5over2`]      [eqn: cdots cdots]㉣

변 [eqn: \AB`]의 중점이 [eqn: left( - 11over2 , ~ 5over2 right)`]이고 변 [eqn: \AB`]의 기울기가 [eqn: 1`]이므로 변 [eqn: \AB`]의 수직이등분선은

[eqn: y - 5over2 =- left( x + 11over2 right)`]

∴ [eqn: y =- x - 3`]         [eqn: cdots cdots]㉤

[eqn: ㉣`], [eqn: ㉤`]을 연립하여 풀면

[eqn: x =- 5over2`], [eqn: y =- 1over2`]

즉, [eqn: triangle \ABC`]의 외심의 좌표는 [eqn: left( - 5over2 , `` - 1over2 right)`]

따라서 점 [eqn: left( - 5over2 , `` - 1over2 right)`]에서 직선 [eqn: x - y + 8 = 0`]까지의 거리는

[eqn: {left| - 5over2 - left( - 1over2 right) +8` right|}over{root{1`^2 + (-1)`^2}^`}^` = 3 sqrt2]

8  [eqn: angle rm APB = angle AQB = 90`°`]이므로 두 점 [eqn: \P`], [eqn: \Q`]는 [eqn: bar \AB`]를 지름으로 하는 원 위에 있다.

이 원의 중심의 좌표는

[eqn: LEFT ( {- sqrt {7} + sqrt {7}} over {2} ,~ {-2+4} over {2} RIGHT ) `], 즉 [eqn: (0,~1)`]

원의 반지름의 길이는

[eqn: 1over2 bar \AB = 1over2 root{( root7 + root7` )^2 + ( 4 + 2 )^2}^` = 4`]

원의 방정식은 [eqn: x`^2 + ( y - 1 )^2 = 16`]

직선 [eqn: y `= x - 3`]과 원 [eqn: x`^2 + ( y - 1 )^2 = 16`]의 교점의 좌표를 구하면

[eqn: x`^2 + ( x - 4 )^2 = 16`]

[eqn: x ^{2} -4x=0], [eqn: x(x-4)=0]

∴ [eqn: x = 0] 또는 [eqn: x =4]

따라서 직선과 원의 교점의 좌표는 [eqn: ( 0 , `` - 3 )`], [eqn: (4,``1)`]이므로

[eqn: {bar{rm PQ}} = sqrt {4` ^{2} +(1+3) ^{2 ^{`}}} =4 sqrt {2} `]

9

[eqn: x`^2 - 8`x + y`^2 = 0`]에서 [eqn: ( x - 4 )^2 + y`^2 = 16`]이므로

[eqn: rm C it `(4,~0`)`]

점 [eqn: rm P][eqn: (a,````b)]라 하면

[eqn: triangle rmACP`][eqn: = 1over2 times 8 times |``b```| = 4 ``|``b`|] (단, [eqn: |``b```|` LEQ `4`])

따라서 삼각형 [eqn: \ACP`]의 넓이가 자연수가 되려면

[eqn: b=± {1} over {4} ,~± {2} over {4} ,~± {3} over {4} ,~ CDOTS ,~± {16} over {4}]

이때 [eqn: b = +- 1 over4 ,~ +- 2over4 ,~ +- 3 over4 ,~ cdots ,~+- 15 over4]인 점 [eqn: rm P]는 각각 [eqn: 2]개, [eqn: b = +- 16 over4]인 점 [eqn: rm P]는 각각 1개이므로 구하는 점 [eqn: \P`]의 개수는

[eqn: 4 times 15 + 2 = 62`]

Ⅰ. 도형의 방정식

10  직선 [eqn: x + 2`y `= 10`], 즉 [eqn: y `=- 1over2 x + 5`]는 선분 [eqn: rm AB]의 수직이등분선이므로 직선 [eqn: \AB`]의 기울기는 [eqn: 2`]이다.

[eqn: b-a over 4-2 = 2`]에서 [eqn: b - a = 4`]

[eqn: rm bar {C_1` B} = 1over2 bar AB`]이므로

[eqn: rm bar {C_1` B}][eqn: = 1over2 root{( 4 - 2 )^2 + ( b - a` )^2}^`]

[eqn: = 1over2 root{2`^2 + 4`^2}^` = root5`]

[eqn: rm bar AC_1 = bar BC_1 = bar {C_1` C_2} = root5`]이므로 직각삼각형

[eqn: rm BC_1` C_2`]에서 [eqn: bar \BC_2 = root{ (sqrt5 )^2 +( sqrt 5 ) ^2} = root10`]

따라서 두 원 [eqn: C`_1`], [eqn: C`_2`]의 넓이의 합은

[eqn: (sqrt5 ) ^2`pi + (sqrt10 )^2`pi = 15`pi`]

11  [eqn: rm bar AP : bar BP = 2:1`]이므로 [eqn: rm bar AP = 2 bar BP`]

∴ [eqn: rm bar AP`^2 = 4 bar BP`^2`]

[eqn: rm P][eqn: (x,````y)]라 하면 점 [eqn: rm P]가 나타내는 도형은

[eqn: ( x + 2 )^2 + ( y - 2 )^2 = 4 left{ ( x - 4 )^2 + ( y-2 )^2` right}`]

[eqn: x`^2 + y`^2 - 12`x - 4`y + 24 = 0`]

∴ [eqn: ( x - 6 )^2 + ( y - 2 )^2 = 16`]

따라서 점 [eqn: \P`]는 중심의 좌표가 [eqn: ( 6, ~ 2 )`], 반지름의 길이가 [eqn: 4`]인 원 위를 움직인다.

따라서 [eqn: angle \PAB`]의 크기가 최대일 때는 위의 그림과 같이 [eqn: bar \AP`]가 원에 접할 때이므로 원의 중심을 [eqn: \C`]라 하면 [eqn: triangle \ACP`]가 직각삼각형일 때이다.

∴ [eqn: bar \AP = root{8^2 - 4^2`} = root48 = 4root3`]

12  원점으로부터 거리가 [eqn: 4]인 점은 원 [eqn: x^2 + y^2 =16] 위의 점이다.

주어진 규칙에 따라 점을 이동시키면 다음과 같다.

[eqn: rm A(-3,~1)]→[eqn: (-3,~0)]→[eqn: (-3,~-1)]→[eqn: (-3,~-2)]

→[eqn: (-3,~-3)]→[eqn: (-2,~-3)]→[eqn: (-2,~-4)]→[eqn: (-1,~-4)]→[eqn: rm B(0,~-4)]

따라서 점 [eqn: rm A(-3,~1)]에서 점 [eqn: rm B(0,~-4)]에 이르기까지는 [eqn: 8]회 이동하였으므로

[eqn: a=0], [eqn: b = -4], [eqn: c=8]

∴ [eqn: a+b+c=4]

13  점 [eqn: ( 4 ,~0)]을 한 번 평행이동하면 점 [eqn: ( 5 ,~ 2 )], 또 한 번 평행이동하면 점 [eqn: ( 6 ,~ 4 )]가 된다.

즉, 한 번 평행이동할 때마다 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표의 차가 [eqn: 1]씩 줄어든다.

점 [eqn: ( 4 ,~0)]을 [eqn: 4]번 평행이동하면 점 [eqn: ( 8 ,~ 8 )]

점 [eqn: (8,```8)]을 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동하면 점 [eqn: (8,```-8)]

점 [eqn: ( 8 ,~ - 8 )]을 [eqn: 1 6]번 평행이동하면 점 [eqn: ( 24 ,~ 2 4 )]

점 [eqn: (24,````24)]를 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동하면 점

[eqn: (24,````-24)]

점 [eqn: ( 24 ,~ - 2 4 )]를 [eqn: 48]번 평행이동하면 점 [eqn: (72,~72)]

점 [eqn: (72,~72)]를 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동하면 점

[eqn: (72,~-72)]

이때 [eqn: 75=4+1+16+1+48+1+4]이므로 점

[eqn: (72,~-72)]를 [eqn: 4]번 평행이동하면 점 [eqn: (76,~-64)]

따라서 점 [eqn: ( 4 ,~0)]을 [eqn: 75]번 이동한 후에 옮겨진 점의 좌표는 [eqn: (76,~-64)]이다.

난이도별 테스트(상)

14 점 [eqn: ( x ,~y)]를 점 [eqn: ( 3], [eqn: 1 )]에 대하여 대칭이동한 점의 좌표를 [eqn: (x prime ,~y prime )]이라 하면

[eqn: {x+x prime } over {2} =3], [eqn: {y+y prime } over {2} =1]

[eqn: therefore] [eqn: x = 6 - x'], [eqn: y = 2 - y' `]

포물선 [eqn: y = x ^{ 2 } + ax]를 점 [eqn: ( 3 ,~ 1 )]에 대하여 대칭이동한 포물선은

[eqn: 2-y prime =(6-x prime ) ^{2} +a(6-x prime )]

[eqn: -y prime =(x prime ) ^{2} -12x prime +36+6a-ax prime -2]

[eqn: therefore] [eqn: y = - x ^{ 2 } + ( a + 12 ) x - 6 a - 34]

이 포물선과 직선 [eqn: y = 2 x +1]의 교점의 [eqn: x]좌표는

이차방정식 [eqn: - x ^{ 2 } + ( a + 12 ) x - 6 a - 34 = 2x+1], 즉

[eqn: x ^{ 2 } - ( a + 10 ) x + 6 a + 35 = 0]의 두 근이다.

이때 두 교점의 [eqn: x]좌표의 합이 [eqn: 0]이므로

[eqn: a + 10 = 0]   [eqn: therefore] [eqn: a = - 10]

15  점 [eqn: { rm C }]는 직선 [eqn: 4 x - 3 y + 11 = 0]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: - 1]만큼 이동한 직선 위를 움직이고, 점 [eqn: { rm R }]는 직선 [eqn: 4 x - 3 y - 18 = 0]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: - 1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 이동한 직선 위를 움직인다.

[eqn: 4 ( x - 1 ) - 3 ( y + 1 ) + 11 = 0]에서 [eqn: 4 x - 3 y + 4 = 0]

[eqn: 4 ( x + 1 ) - 3 ( y - 1 ) - 18 = 0]에서 [eqn: 4x-3y-11=0]

이때 두 점 [eqn: { rm C }]와 [eqn: { rm R }] 사이의 거리의 최솟값은 두 평행한 직선 [eqn: 4 x - 3 y + 4 = 0]과 [eqn: 4 x - 3 y - 11 = 0] 사이의 거리와 같다.

따라서 직선 [eqn: 4 x - 3 y + 4 = 0] 위의 점 [eqn: ( - 1 ,~ 0 )]에서 직선 [eqn: 4 x - 3 y - 11 = 0]까지의 거리를 구하면

[eqn: {LEFT | -4-11 RIGHT |} over {sqrt {4 ^{2} +(-3) ^{2}}} =3]

16  점 [eqn: \A``]의 좌표를 [eqn: LEFT ( a,~a + 2 RIGHT ) ` `][eqn: LEFT ( a``＞`0 RIGHT )`]라 하면
[eqn: rm B][eqn: (a+2,````a)], [eqn: rm C][eqn: (-a-2,````-a)]

점 [eqn: \C``]는 직선 [eqn: y `= x + 2`] 위의 점이고 삼각형 [eqn: rm ABC]는 [eqn: ANGLE \A = 90`°`]인 직각삼각형이다.

[eqn: {bar{rm AB ^{`}}} =][eqn: sqrt {LEFT ( a+2-a` RIGHT ) ^{2} + LEFT ( a-a-2 RIGHT ) ^{2} ` ^{`}} =2` sqrt {2`} `],

[eqn: {bar{rm AC ^{`}}} =][eqn: sqrt {LEFT ( a+a+2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( a+2+a` RIGHT ) ^{2} ` ^{`}}][eqn: =2` sqrt {2`} ` LEFT ( a+1 RIGHT ) `]

이므로

[eqn: TRIANGLE \ABC``][eqn: ={1} over {2} TIMES bar{ \AB}^` TIMES bar{ \AC}^`]

[eqn: = {1} over {2} TIMES 2 root {2`} TIMES 2 root {2`} `LEFT ( a + 1 RIGHT ) = 24`]

[eqn: a + 1 = 6`]   ∴ [eqn: a `= 5`]

따라서 점 [eqn: rm A`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 5,~7 RIGHT )`]이다.