난이도별 테스트(상)

정답과 해설

Ⅱ. 집합과 명제

1 ④      2 [eqn: 64]      3 ③      4 ④

5 [eqn: lbrace 1, ~ 3, ~ 4, ~ 9, ~ 10 rbrace]  6 ②     7 [eqn: -4]    8 ④  9 [eqn: 3]    10 ㄴ    11 ③   12 ③   13 ②    14 풀이 참조         15 ②    16 ④

1  [eqn: 2 in A]이므로 [eqn: 2 +2 = 4 in A]

[eqn: 2 in A], [eqn: 4 in A]이므로 [eqn: 2+4 = 6 in A]

[eqn: 2 in A], [eqn: 6 in A]이므로 [eqn: 2+ 6 = 8 in A]

[eqn: vdots]

즉, [eqn: A]는 최소한 [eqn: 100] 이하의 [eqn: 2]의 배수를 모두 포함하는 집합이다.

[eqn: 3 in B]이므로 [eqn: 3 + 3 = 6 in B]

[eqn: 3 in B], [eqn: 6 in B]이므로 [eqn: 3 + 6 = 9 in B]

[eqn: 3 in B], [eqn: 9 in B]이므로 [eqn: 3+9 =12 in B]

[eqn: vdots]

즉, [eqn: B]는 최소한 [eqn: 100] 이하의 [eqn: 3]의 배수를 모두 포함하는 집합이다.

따라서 원소의 개수가 최소인 집합 [eqn: A SMALLINTER B]는 [eqn: 100] 이하의 [eqn: 6]의 배수를 모두 포함하는 집합이므로

[eqn: left{ 6,~12,~18,~24,~ cdots,~96 right}]

2  [eqn: A smallunion B = A ^{ C } smallunion B ^{ C }]에서 [eqn: A smallunion B = (A cap B)^C]이고

[eqn: (A SMALLINTER B) subset (A cup B)]이므로

[eqn: A smallinter B = emptyset], [eqn: A smallunion B = U]

즉, [eqn: A ^ C =B] 또는 [eqn: B^C = A]이므로 [eqn: A] 또는 [eqn: B]의 개수는 전체집합 [eqn: U]의 부분집합의 개수와 같다.

따라서 순서쌍 [eqn: ( A ,~ B )]의 개수는

[eqn: 2^6 = 64]

3  [eqn: A ^{C} SMALLINTER B=□1,```4,```9□], [eqn: A-B=□3,```5,```8□]을 벤 다이어그램으로 나타내면 다음 그림과 같다.

이때 [eqn: S ( A ^{ C } smallinter B ^{ C } `) = S ( ( A smallunion B ) ^{ C } `) = 13]이므로 색칠한 부분에 속하는 원소 [eqn: 2], [eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: 10] 중에서 합이 [eqn: 13]이 되는 수는 [eqn: 6], [eqn: 7]

따라서 [eqn: ( A smallunion B ) ^{ C } = lbrace 6, ~ 7 rbrace]이므로

[eqn: A smallinter B = lbrace 2, ~ 10 rbrace]

[eqn: therefore] [eqn: S ( A smallinter B ) = 2 + 10 = 12]

4  ① [eqn: emptyset smallinter X = emptyset], [eqn: emptyset smallunion X = X]이므로 성립한다.

② [eqn: emptyset smallinter lbrace a rbrace = emptyset], [eqn: emptyset smallunion lbrace a rbrace = lbrace a rbrace],

[eqn: lbrace a rbrace smallinter X = lbrace a rbrace], [eqn: lbrace a rbrace smallunion X = X]

이므로 성립한다.

③ [eqn: emptyset smallinter lbrace a,`b rbrace = emptyset], [eqn: emptyset smallunion lbrace a,`b rbrace = lbrace a,`b rbrace],

[eqn: lbrace a rbrace smallinter lbrace a , ~ b rbrace = lbrace a rbrace], [eqn: lbrace a rbrace smallunion lbrace a , ~ b rbrace = lbrace a , ~ b rbrace],

[eqn: lbrace a,`b rbrace smallinter X = lbrace a,`b rbrace], [eqn: lbrace a,`b rbrace smallunion X = X]

이므로 성립한다.

④ [eqn: lbrace a rbrace smallunion lbrace b rbrace = lbrace a , ~ b rbrace notin T]이므로 성립하지 않는다.

⑤ [eqn: emptyset smallinter lbrace b rbrace = emptyset], [eqn: emptyset smallunion lbrace b rbrace = lbrace b rbrace],

[eqn: lbrace a rbrace smallinter lbrace b rbrace = emptyset], [eqn: lbrace a rbrace smallunion lbrace b rbrace = lbrace a , ~ b rbrace],

[eqn: lbrace b rbrace smallinter lbrace a , ~ b rbrace = lbrace b rbrace], [eqn: lbrace b rbrace smallunion lbrace a , ~ b rbrace = lbrace a , ~ b rbrace],

[eqn: lbrace b rbrace smallinter X = lbrace b rbrace], [eqn: lbrace b rbrace smallunion X = X]

이므로 성립한다.

따라서 집합 [eqn: T]가 될 수 없는 것은 ④이다.

Ⅱ. 집합과 명제

5  [eqn: a _{ 1 } in B], [eqn: a _{ 4 } in B]이고 [eqn: a _{ 1 } + a _{ 4 } = 10]이므로

[eqn: a _{ 1 } = 1^2 =1], [eqn: a _{ 4 } = 3^2 = 9]

[eqn: A smallinter B = lbrace 1, ~ 9 rbrace]이고 [eqn: a _{ 2 } < a _{ 3 } < a _{ 4 }]이므로 [eqn: a _{ 2 }` ^{ 2 }]과 [eqn: a _{ 3 } `^{ 2 }] 중 하나는 [eqn: 9]이다.

즉, [eqn: a _{ 2 }]와 [eqn: a _{ 3 }] 중 하나는 [eqn: 3]이다.

[eqn: A smallunion B][eqn: = lbrace a _{ 1 } , ~ a _{ 2 } , ~ a _{ 3 } , ~ a _{ 5 } , ~ a _{ 2 }` ^{ 2 } , ~ a _{ 3 }` ^{ 2 } , ~ a _{ 4 }` ^{ 2 } , ~ a _{ 5 } `^{ 2 } rbrace]에서

[eqn: a _{ 2 } + a _{ 3 } + a _{ 5 } + a _{ 2 }` ^{ 2 } + a _{ 3 } `^{ 2 } + a _{ 5 }` ^{ 2 }]

[eqn: =224-(a _{1} +a _{4} ` ^{2} )]

[eqn: =224-(1+81)=142]

이때 [eqn: a _{ 2 }]와 [eqn: a _{ 3 }] 중 하나는 [eqn: 3]이므로 [eqn: a _{ 5 } < 11]

[eqn: a_4 = 9 < a_5]이므로 [eqn: a_ 5 =10]

[eqn: a _{ 2 } + a _{ 3 } + a _{ 2 }` ^{ 2 } + a _{ 3 } `^{ 2 } = 32]에서 [eqn: a _{ 2 }], [eqn: a _{ 3 }] 중 하나는 [eqn: 3]이므로 나머지 하나를 [eqn: x]라 하면

[eqn: x ^{ 2 } + x = 20], [eqn: (x+5)(x-4)=0]

[eqn: therefore] [eqn: x = 4] (∵ [eqn: x>0])

따라서 [eqn: a _{ 2 } = 3], [eqn: a _{ 3 } = 4]이므로

[eqn: A = lbrace 1, ~ 3, ~ 4, ~ 9, ~ 10 rbrace]

6  [eqn: X = lbrace 6, ~ 7, ~ 8, ~ 9, ~ 11 rbrace],

[eqn: Y = lbrace a + 2, ~ a + 3, ~ a + 4, ~ a + 5 rbrace]이고

[eqn: ( X capY^C ` ) cup ( X^C cap Y ) = (X-Y`) cup (Y-X)]

이므로 [eqn: n lbrace ( X capY^C ` ) cup ( X^C cap Y ) rbrace = 3]이기 위해서는 연속한 네 정수의 집합 [eqn: Y]가 [eqn: lbrace 5, ~ 6, ~ 7, ~ 8 rbrace] 또는

[eqn: lbrace 8, ~ 9, ~ 10, ~ 11 rbrace]이어야 한다.

따라서 [eqn: a = 3] 또는 [eqn: a = 6]이므로 구하는 합은
[eqn: 3 + 6 = 9]

7  [eqn: A _{ 6 } = lbrace 1, ~ 5, ~][eqn: 7, ~ 11, ~ cdots rbrace],

[eqn: A _{ 2 } = lbrace 1, ~ 3, ~ 5, ~][eqn: 7, ~ 9, ~ 11, ~ cdots rbrace]

[eqn: A _{ 6 } subset A _{ 2 }]이므로 [eqn: A _{ 6 } smallinter A _{ 2 } = A _{ 6 }], [eqn: A _{ 6 } smallunion A _{ 2 } = A _{ 2 }]

[eqn: a = 6], [eqn: b = 2]

[eqn: therefore] [eqn: b - a = 2 - 6 = - 4]

8  [eqn: f ( X ) = x]라 하면 [eqn: f ( X ) + f ( Y ) = f ( A ) = 36]이므로 [eqn: f ( Y ) = 36 - x]

[eqn: therefore] [eqn: f ( X ) f ( Y ) = x ( 36 - x )]

[eqn: = -x^2 + 36x]

[eqn: = - ( x - 18 ) ^{ 2 } + 324]

따라서 [eqn: x = 18]일 때 [eqn: f ( X ) f ( Y )]의 최댓값은 [eqn: 324]이다.

9  상의, 하의, 모자를 교환한 학생의 집합을 각각 [eqn: A`,``B`,``C``]라 하면

[eqn: n(A`) = 42 `,```n(B`) = 37 `,`` n(C`) = 28``]

[eqn: n(A`cup`B`cup`C`) = 73`], [eqn: n(A - (B`cup`C`)) = 17 `]

[eqn: n(B - (A`cup`C`)) = 16 ``], [eqn: n(C - (A`cup`B`))= 9``]

다음 벤 다이어그램과 같이 집합 [eqn: A`], [eqn: B`], [eqn: C`]에 대하여 각 부분에 해당하는 원소의 수를 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`], [eqn: d`], [eqn: f`], [eqn: g`], [eqn: h`]라고 하면

[eqn: a+b+c+d+e+f+g = 73`]

[eqn: a+d+f+g=42]

[eqn: b+d+e+g=37]

[eqn: c+e+f+g=28]

[eqn: a = 17 ,~ b = 16 , ~c= 9`]를 대입하면

[eqn: d+e+f+g=73-42=31`]

[eqn: d+f+g=42-17=25`]

[eqn: d+e+g=37-16=21`]

[eqn: f+e+g=28-9=19`]

∴ [eqn: e = 6 , ~ f = 10 , ~ d = 12, ~ g = 3`]

∴ [eqn: n(A`cap`B`cap`C`) = g = 3 ``]

따라서 상의, 하의, 모자를 모두 교환한 학생은 [eqn: 3`]명이다.

난이도별 테스트(상)

10  [[eqn: 1]단계] 명제: 거짓

(반례) [eqn: a = 1], [eqn: b = - 1]인 경우 [eqn: ab<0]이지만 [eqn: a >0], [eqn: b<0]이다.

역: 참

[[eqn: 2]단계] 명제: 거짓

(반례) [eqn: a = 2], [eqn: b = - 2]인 경우 [eqn: a ^{ 2 } = b ^{ 2 }]이지만 [eqn: a != b]이다.

역: 참

[[eqn: 3]단계] 명제: 거짓

(홀수)[eqn: +](홀수)[eqn: =](짝수)

역: 거짓

(반례) [eqn: a = 1], [eqn: b = 2]인 경우 [eqn: a + b]는 홀수이지만 [eqn: b]는 짝수이다.

따라서 왼쪽-왼쪽-가운데로 이동하므로 도착하는 지점은 ㄴ이다.

11  주어진 명제 ‘카드에 적힌 수가 짝수이면 [eqn: rm C] 주머니에 넣지 않는다.’의 대우는 ‘[eqn: rm C] 주머니에 넣은 카드에 적힌 수는 짝수가 아니다.’이다.

따라서 [eqn: rm C] 주머니에 들어 있는 카드에 적힌 수는 홀수이므로 홀수가 적힌 카드는 최소 [eqn: c]장이다.

12  조건 ㈏에 의해 [eqn: { rm D }]와 [eqn: { rm E }] 중에서 적어도 한 가지를 사야 하므로

(ⅰ) [eqn: rm D]를 살 경우

조건 ㈑에 의해 [eqn: rm C]를 사야 한다.

[eqn: rm A]를 살 경우 조건 ㈎에 의해 [eqn: rm B]도 사야 하는데, 조건 ㈐에 의해 [eqn: rm B]와 [eqn: rm C]는 함께 살 수 없으므로 [eqn: rm A]는 살 수 없다.

[eqn: rm E]를 살 경우 조건 ㈒에 의해 [eqn: rm A]도 사야 하는데, [eqn: rm A]는 살 수 없으므로 [eqn: rm D]를 살 경우 [eqn: rm C]만 함께 살 수 있다.

(ⅱ) [eqn: rm E]를 살 경우

조건 ㈒에 의해 [eqn: rm A]와 [eqn: rm D]도 사야 하는데, 이 경우 조건 ㈎, ㈑에 의해 [eqn: rm B], [eqn: rm C]도 사야 하므로 조건 ㈐에 어긋난다.

즉, [eqn: rm E]는 살 수 없다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의해 이 가게에서 살 수 있는 상품은 [eqn: { rm C }], [eqn: { rm D }]이다.

13  ㄱ. [eqn: |``x``| ge 0], [eqn: |``y``| ge 0]이고 [eqn: x^2 = |``x``|`^2],

[eqn: y^2 = |``y``|`^2]이므로 [eqn: |``x``| < |``y``|]이면 [eqn: x^2 < y^2]이고

[eqn: x^2 < y^2]이면 [eqn: |``x``| < |``y``|]이다.

∴ [eqn: p` `⟺`q]

ㄴ. [eqn: ( x - y ) ( y - z ) = 0]에서 [eqn: x=y] 또는 [eqn: y=z]이므로

[eqn: x = y = z]이면 [eqn: ( x - y ) ( y - z ) = 0]이지만
[eqn: ( x - y ) ( y - z ) = 0]이라고 해서 반드시 [eqn: x = y = z]은 아니다.

∴ [eqn: q `⟹`p]

ㄷ. [eqn: x <y < z]에서

[eqn: 0<`-x+y<`-x+z], [eqn: 0>x-y > x-z]이므로

[eqn: x <y < z]이면 [eqn: left | x- y right | < left | x - z right |]이다.

(반례) [eqn: x=2], [eqn: y=1], [eqn: z=4]이면

[eqn: left | 2-1 right | =1 <2 =left | 2-4 right |]이지만 [eqn: y<x<z]이다.

∴ [eqn: p `⟹`q]

따라서 [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 충분조건이지만 필요조건이 아닌 것은 ㄷ이다.

Ⅱ. 집합과 명제

14  귀류법을 이용하여 증명하자.

[eqn: A`], [eqn: B`] 모두 [eqn: n`]보다 작다고 하면 [eqn: A+B `＜`2n`]이므로

[eqn: A+B`][eqn: = ( a_1 + a_2 + cdots + a_n ) + left ( 1 over a_1 + 1 over a_2 +cdots+ 1 over a_n right )`]

[eqn: = left ( a_1 + 1 over a_1 right ) + left ( a_2 + 1 over a_2 right ) + cdots +left ( a_n + 1 over a_n right ) `]

이때 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: a_k >0], [eqn: 1 over a_k >0]이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의해 [eqn: a_k + 1 over a_k `ge` 2`]

∴ [eqn: A+B`= 2+2+ cdots +2 ge` 2n`]

따라서 가정에 모순이므로 [eqn: A`], [eqn: B`] 중 적어도 하나는 [eqn: n`]보다 작지 않다.

15  [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]가 실수이므로

코시-슈바르츠의 부등식에 의해

[eqn: ( 1 ^{ 2 } + 1 ^{ 2 } + 1 ^{ 2 } ) ( a ^{ 2 } + b ^{ 2 } + c ^{ 2 } ) geq ( a + b + c ) ^{ 2 }]

[eqn: 3 ( a ^{ 2 } + b ^{ 2 } + c ^{ 2 } ) geq ( a + b + c ) ^{ 2 }]

(단, 등호는 [eqn: a =b=c]일 때 성립)

이때 [eqn: a + b + c + d = 4], [eqn: a ^{ 2 } + b ^{ 2 } + c ^{ 2 } + d ^{ 2 } = 16]에서

[eqn: a + b + c = 4 - d], [eqn: a ^{ 2 } + b ^{ 2 } + c ^{ 2 } = 16 - d ^{ 2 }]이므로

[eqn: 3 ( 16 - d ^{ 2 } ) geq ( 4 - d ) ^{ 2 }]

[eqn: d ^{ 2 } - 2 d - 8 leq 0], [eqn: (d+2)(d-4) le0]

[eqn: therefore] [eqn: - 2 leq d leq 4]

따라서 [eqn: d]의 최솟값은 [eqn: - 2]이다.

16

위의 그림과 같이 나타내면

[eqn: x = a + d], [eqn: y = b + c]

변 [eqn: rm AB], [eqn: RM CD]의 중점을 점 [eqn: RM E], [eqn: RM F]라 하면 선분 [eqn: RM EF]는 원의 중심 [eqn: RM O]를 지나고 [eqn: RM BAR AD ⫽ BAR EF ⫽ BAR BC]를 만족한다.

ㄱ. 사다리꼴에서 평행선과 선분의 길이의 비에 의하여 [eqn: rm {bar{EF}} =][eqn: {x+y} over {2}]이고 [eqn: rm bar EF ge](원의 지름의 길이)이므로

[eqn: { x + y }over{ 2 } geq 2]   [eqn: therefore] [eqn: x + y geq 4]

ㄴ. 두 점 [eqn: { rm A }], [eqn: { rm D }]에서 [eqn: { rm { bar { BC }} }]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: RM A'], [eqn: RM D']이라 하면

[eqn: TRIANGLE RM ABA']에서 [eqn: ( a + b ) ^{ 2 } = ( b - a ) ^{ 2 } + 2 ^{ 2 }]

[eqn: therefore] [eqn: ab = 1]

[eqn: TRIANGLE RM DCD']에서 [eqn: ( c + d ) ^{ 2 } = ( c - d ) ^{ 2 } + 2 ^{ 2 }]

[eqn: therefore] [eqn: cd = 1]

[eqn: therefore] [eqn: xy = ( a + d ) ( b + c )]

[eqn: = ab + ac + bd + cd]

[eqn: = 2 + ac + bd]

[eqn: geq 2 + 2 sqrt { ac times bd } = 4]

(단, 등호는 [eqn: ac= bd]일 때 성립)

ㄷ. [eqn: x + y = 4]이면 [eqn: x>0], [eqn: y>0]이므로

[eqn: x + y geq 2 sqrt { xy }]   [eqn: therefore] [eqn: xy leq 4]

ㄴ에서 [eqn: xy ge 4]이므로 [eqn: xy = 4]

등호가 성립하므로 [eqn: x = y= 2]

이때 [eqn: { rm { bar { EF }} = 2 }]이므로 사다리꼴은 정사각형이다.

ㄹ. (반례) [eqn: { rm { bar { BC }} = 4 }], [eqn: { rm { bar { AD }} = 1 }]인 등변사다리꼴은

[eqn: xy = 4]이지만 정사각형이 아니다.

따라서 참인 명제는 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.