난이도별 테스트(상)

정답과 해설

Ⅲ. 함수와 그래프

1 ㄱ, ㄴ, ㄷ       2 [eqn: 32]     3 ④      4 ⑤
5 ③      6 ④    7 ②     8 ②      9 ③

10 ③    11 ①   12 ②     13 [eqn: 6]     14 ①

15 ①    16 ③

1  ㄱ. [eqn: m=0], [eqn: n=1]일 때,

[eqn: f(1)=f(10 TIMES 0+1)][eqn: =f(0)+11 TIMES 1=11]

ㄴ. [eqn: f(2)=f(10 TIMES 0+2)][eqn: =f(0)+11 TIMES 2=22]이므로

[eqn: f ( 12 ) = f ( 1 ) + 11 times 2 = 11 + 22 = 33]

[eqn: f ( 21 ) = f ( 2 ) + 11 times 1 = 22 + 11 = 33]

∴  [eqn: f ( 12 ) = f ( 21 )]

ㄷ. [eqn: m=0]일 때, [eqn: f(n) =11n]이므로

[eqn: f ( 10a+b ) = f ( a ) +11b = 11a + 11b]

[eqn: f ( a+10b ) = f ( b ) +11a = 11b + 11a]

∴ [eqn: f ( 10a+b ) = f ( a+10b )]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

2  [eqn: k le2]이면 [eqn: f ( k ) ge k]이므로

[eqn: 2]는 [eqn: 2], [eqn: 3]에 대응시키는 경우 [eqn: 2]가지

[eqn: 1]은 [eqn: 2]에 대응시키고 남은 수 1개와 [eqn: 1]에 대응시키는 경우 [eqn: 2]가지

[eqn: 0]은 [eqn: 2], [eqn: 1]에 대응시키고 남은 수 1개와 [eqn: 0]에 대응시키는 경우 [eqn: 2]가지

[eqn: -1]은 [eqn: 2], [eqn: 1], [eqn: 0]에 대응시키고 남은 수 1개와 [eqn: -1]에 대응시키는 경우 [eqn: 2]가지

[eqn: -2]는 [eqn: 2], [eqn: 1], [eqn: 0], [eqn: -1]에 대응시키고 남은 수 1개와 [eqn: -2]에 대응시키는 경우 [eqn: 2]가지

[eqn: -3]은 [eqn: 2], [eqn: 1], [eqn: 0], [eqn: -1], [eqn: -2]에 대응시키고 남은 수 1개에 대응시키는 경우 [eqn: 1]가지

따라서 함수 [eqn: f`:`A`⟶`A]의 개수는

[eqn: 2 times 2 times 2 times 2 times 2 times 1 = 32](개)

3  [eqn: f ( x ) = p], [eqn: f ( p ) = q]라 하면

[eqn: ( f circ f ) ( x ) = f ( f ( x ) ) = f ( p ) = q],

[eqn: ( f circ f circ f ) ( x ) = f ( f ( f ( x ) ) ) = f ( f ( p ) ) = f ( q )]

이므로 [eqn: q = f ( q )]

[eqn: q = LEFT | q - 1over2 right |]

[eqn: therefore] [eqn: q = { 1 }over{ 4 }]

[eqn: f ( p ) = q]에서 [eqn: f ( p ) = { 1 }over{4 }]

[eqn: therefore] [eqn: p = { 1 }over{ 4 }] 또는 [eqn: p={3} over {4}]

[eqn: f ( x ) = p]이므로

[eqn: f ( x ) = LEFT | x - 1over2 right | = { 1 }over{ 4 }]일 때, [eqn: x = { 1 }over{4 }] 또는 [eqn: x={3} over {4}]

[eqn: f(x)= LEFT | x- 1over2 RIGHT | = {3} over {4}]일 때, [eqn: x = - { 1 }over{4 }] 또는 [eqn: x={5} over {4}]

따라서 [eqn: x]의 값의 합은

[eqn: { 1 }over{ 4 } + { 3 }over{ 4 } - { 1 }over{ 4 } + { 5 }over{4 } = 2]

4  [eqn: f ( x ) = - x ^{ 2 } - 6 x -10][eqn: = - (x+3)^2 -1]이므로

[eqn: f ( x ) le -1]

[eqn: ( g circ f ) ( x ) = g ( f ( x ) )]

[eqn: = 2 lbrace f ( x ) rbrace ^{ 2 } - 4 f ( x ) + k]

[eqn: = 2 lbrace f ( x ) - 1 rbrace ^{ 2 } + k - 2]

[eqn: f ( x ) le -1]이므로 [eqn: ( g circ f ) ( x )]는 [eqn: f ( x ) = -1]일 때 최솟값을 갖는다.

따라서 [eqn: g(-1) = 2+6+k = 10]이므로

[eqn: k = 4]

Ⅲ. 함수와 그래프

5  [eqn: f LEFT ( { 1 }over{16 } right ) = {3 }over{16 } - LEFT [ { 3 }over{ 16 } right ] = { 3 }over{ 16 }]

[eqn: (f circ f) left( 1 over 16 right)][eqn: = f LEFT ( { 3 }over{ 16 } right ) = { 9 }over{ 16 } - LEFT [ { 9 }over{ 16 } right ] = { 9 }over{ 16 }]

[eqn: (f circ f circ f) left( 1 over 16 right)][eqn: = f LEFT ( { 9 }over{ 16} right ) = { 27 }over{ 16 } - LEFT [ { 27 }over{ 16} right ] = { 11 }over{ 16 }]

[eqn: (f circ f circ f circ f) left( 1 over 16 right)][eqn: = f LEFT ( { 11}over{ 16} right ) = { 33 }over{ 16 } - LEFT [ {33 }over{ 16} right ] = { 1 }over{ 16 }]

따라서 [eqn: 3 over 16], [eqn: 9 over 16], [eqn: 11 over 16], [eqn: 1over 16]이 순서대로 반복되므로

[eqn: S= left{ 1 over 16 ,~ 3 over 16 ,~ 9 over 16 ,~ 11 over 16 right}]

∴ [eqn: n(S) = 4]

6  [eqn: f ^{ - 1 } ( a ) = x], [eqn: f ^{ - 1 } ( b ) = y]라 하면

[eqn: f ( x ) = a], [eqn: f ( y ) = b]

ㄱ. [eqn: f ( a + b ) = f ^{ - 1 } ( a ) + f ^{ - 1 } ( b )]에서

[eqn: f ( f ( x ) + f ( y ) ) = x + y]

∴ [eqn: f ( f ( a ) + f ( b ) ) = a + b]

ㄴ. [eqn: f ( f ( a ) + f ( b ) ) = a + b]에서

[eqn: f ^{ - 1 } ( f ( f ( a ) + f ( b ) ) ) = f ^{ - 1 } ( a + b )]

∴ [eqn: f ^{ - 1 } ( a + b ) = f ( a ) + f ( b )]

ㄷ. [eqn: f(1)=1]이고 [eqn: f ( f ( a ) + f ( b ) ) = a + b]이므로

[eqn: f(2) = f ( f ( 1 ) + f ( 1 ) ) = 2]

[eqn: f ( 3 ) = f ( f ( 2 ) + f ( 1 ) ) = 3]

[eqn: f ( 4 ) = f ( f ( 3 ) + f ( 1 ) ) = 4]

ㄹ. [eqn: f ^{ - 1 } ( a + b ) = f ( a ) + f ( b )]이므로

[eqn: f`^-1 (3) =f`^-1 (1+2) = f(1)+f(2) = 1+2=3]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

7  (ⅰ) [eqn: 0 leq x < 1]일 때

[eqn: ( f circ f ) ( x )][eqn: =f(f(x))=f(-x)]

[eqn: = {-x} over {-x-1} = {x} over {x+1} >0]

(ⅱ) [eqn: - 1 < x < 0]일 때

[eqn: ( f circ f ) ( x )][eqn: = f ( f ( x ) ) = f LEFT ( { x }over{ x - 1 } right )]

[eqn: = - { x }over{ x - 1 } < 0]

이때 [eqn: (f circ f)^-1 LEFT ( - { 1 }over{ 4 } right ) = a]라 하면

[eqn: (f circ f) ( a ) = - { 1 }over{4 } < 0]이므로 (ⅱ)에 의하여

[eqn: - { a }over{ a - 1 } = - { 1 }over{4 }], [eqn: 4a = a-1]

[eqn: therefore] [eqn: a = - 1 over3]

∴ [eqn: (f circ f)^-1 LEFT ( - { 1 }over{ 4 } right ) = - 1 over3]

8  두 함수 [eqn: y = f(x)], [eqn: y= f`^-1 (x)]의 그래프는 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이므로

[eqn: rm A it (1,~f(1))], [eqn: rm B][eqn: (f(1),~1)],

[eqn: rm C][eqn: (1,~f` ^{-1} (1))], [eqn: rm D][eqn: (f` ^{-1} (1),~1)]

이때 [eqn: { rm { bar { BD }} }]는 [eqn: x]축에 평행하므로 사각형 [eqn: { rm ABCD }]의 두 대각선은 서로 수직이다.

∴ ([eqn: □ { rm ABCD }]의 넓이)

[eqn: = 1over2 times rm bar AC times bar BD]

[eqn: = 1over2 times left| f(1) - f`^-1 (1) right| times left| f(1) - f`^-1 (1) right|]

[eqn: = { 1 }over{ 2 } lbrace f (1 ) - f ^{ - 1 } (1 ) rbrace ^{ 2 }]

난이도별 테스트(상)

9  함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프는 직선 [eqn: y = x]에 대하여 대칭이므로 [eqn: f ^{ - 1 } ( x ) = f ( x )]이다.

즉, [eqn: ( f circ f ) ( x ) = ( f circ f ^{ - 1 } ) ( x ) = x]이므로

[eqn: f ^{ 2 n } ( x ) = f ^{ 2 } ( x ) = x], [eqn: f`^2n+1 (x) = f(x)]

∴ [eqn: f ^{ 99 } LEFT ( { 2 }over{ 3 } right ) = f `left( 2over3 right)]

이때 주어진 사분원의 방정식은 [eqn: x^2 + y^2 = 2^2]
([eqn: 0le x le 2])이므로

[eqn: f` left( 2 over3 right) = sqrt { 2^2 - left ( 2over3 right)^2 } = sqrt{ 32 over 9 } = {4sqrt2} over3]

10  주어진 식의 양변에

[eqn: ( x + 1 ) ( x + 2 ) times cdots times ( x +10 )]을 곱하면

[eqn: 1 = a _{ 1 } ( x + 2 ) ( x + 3 ) times cdots times ( x + 10 )]

[eqn: + a _{ 2 } ( x + 1 ) ( x + 3 ) times cdots times ( x + 10 )]

[eqn: + cdots + a _{ 10 } ( x + 1 ) ( x + 2 ) times cdots times ( x+ 9 )]

[eqn: x]에 대한 항등식이므로 [eqn: x ^{ 9 }]의 계수를 비교하면

좌변은 [eqn: 0], 우변은 [eqn: a _{ 1 } + a _{ 2 } + cdots + a _{ 10 }]이다.

[eqn: therefore] [eqn: a _{ 1 } + a _{ 2 } + cdots + a _{ 10 } = 0]

11  [eqn: y = { x + c }over{ ax + b }]           ⋯⋯ ㉠

㉠에 [eqn: x = 0]을 대입하면 [eqn: y = { c }over{ b }]

[eqn: therefore] [eqn: { rm B }][eqn: LEFT ( 0, ~ { c }over{ b } right )]

㉠에 [eqn: y = 0]을 대입하면 [eqn: x = - c]

[eqn: therefore] [eqn: { rm A }][eqn: ( - c ,~0)]

[eqn: y = { x + c }over{ ax + b } = { c - { b }over{ a } }over{ ax + b } + { 1 }over{ a }]이므로 점근선의 방정식은
[eqn: x = - { b }over{ a }], [eqn: y = { 1 }over{ a }]

[eqn: therefore] [eqn: { rm P }][eqn: LEFT ( - { b }over{ a } , ~ { 1 }over{ a } right )]

이때 선분 [eqn: { rm AB }]의 중점이 [eqn: { rm P }]이므로

[eqn: { 0 - c }over{ 2 } = - { b }over{ a }], [eqn: { { c }over{ b } + 0 }over{ 2 } = { 1 }over{ a }]

[eqn: therefore] [eqn: 2 b = ac]

∴ [eqn: b over ac = b over 2b = 1over2]

12  [eqn: { x + 1 }over{ x - 1 } = 1 + { 2 }over{ x - 1 }]이므로

[eqn: mx leq { 2 }over{ x - 1 } leq nx]

[eqn: 2 leq x leq 3]에서 함수 [eqn: y = { 2 }over{ x - 1 }]의 그래프와 두 직선 [eqn: y = mx], [eqn: y = nx]는 다음 그림과 같다.

[eqn: mx leq { 2 }over{ x - 1 }]이려면 [eqn: m leq { 1 }over{ 3 }]이어야 하므로 [eqn: m]의 최댓값은 [eqn: { 1 }over{ 3 }]

[eqn: nx geq { 2 }over{ x - 1 }]이려면 [eqn: n geq 1]이어야 하므로 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 1]

따라서 [eqn: m]의 최댓값과 [eqn: n]의 최솟값의 곱은

[eqn: { 1 }over{ 3 } times 1 = { 1 }over{ 3 }]

Ⅲ. 함수와 그래프

13  [eqn: ( f _{ 3 } circ f _{ 3 } ) ( x )][eqn: = f _{ 3 } ( f _{ 3 } ( x ) )]

[eqn: = f _{ 3 } LEFT ( { 1 + x }over{ 1 - x } right )][eqn: = { 1 + { 1 + x }over{ 1 - x } }over{ 1 - { 1 + x }over{ 1 - x } } = - { 1 }over{ x }]

[eqn: ( f _{ 3 } circ f _{ 3 } circ f _{ 3 } ) ( x )][eqn: = f _{ 3 } ( ( f _{ 3 } circ f _{ 3 } ) ( x ) ) = f _{ 3 } LEFT ( - { 1 }over{ x } right )]

[eqn: = { 1 - { 1 }over{ x } }over{ 1 + { 1 }over{ x } } = { x - 1 }over{ x + 1 } = f _{ 4 } ( x )]

∴ [eqn: a=4]

[eqn: f _{ 4 } circ f _{ b } = f _{ 3 }]에서 [eqn: f _{ 4 } ( f _{ b} ( x ) ) = f _{ 3 } ( x )]

[eqn: { f _{ b } ( x ) - 1 }over{ f _{ b } ( x ) + 1 } = { 1 + x }over{ 1 - x }]

[eqn: ( 1 - x ) lbrace f _{ b } ( x ) - 1 rbrace = ( 1 + x ) lbrace f _{ b} ( x ) + 1 rbrace]

[eqn: - 2 xf _{ b } ( x ) = 2]

[eqn: f _{ b } ( x ) = - { 1 }over{ x } = f _{ 2 } ( x )]

∴ [eqn: b = 2]

∴ [eqn: a+ b =6]

14  [eqn: a = 2 sqrt { n + 2 } - 2 sqrt { n }][eqn: = { 4 }over{ sqrt { n + 2 } + sqrt { n } }],

[eqn: b = {2 }over{ sqrt { n } } = { 4}over{ sqrt { n } + sqrt n }],

[eqn: c =2 sqrt { n } -2 sqrt { n - 2 }][eqn: = { 4 }over{ sqrt { n } + sqrt { n - 2 } }]

이므로

[eqn: { 4 }over{ sqrt { n + 2 } + sqrt { n } } < { 4 }over{ sqrt { n } + sqrt { n } } < {4 }over{ sqrt { n } + sqrt { n - 2} }]

[eqn: therefore] [eqn: a < b < c]

15  [eqn: A = { 2 sqrt { xy } }over{ x + y }]에서

[eqn: 1-A=1- {2 sqrt {xy}} over {x+y}]

[eqn: = {x+y-2 sqrt {xy}} over {x+y}][eqn: = {( sqrt {x} - sqrt {y} ) ^{2}} over {x+y}]

[eqn: 1 + A = 1 + { 2 sqrt { xy } }over{ x + y }]

[eqn: = { x + y + 2 sqrt { xy } }over{ x + y } = { ( sqrt { x } + sqrt { y } ) ^{ 2 } }over{ x + y }]

[eqn: therefore] [eqn: sqrt { 1 - A } - sqrt { 1 + A }]

[eqn: = sqrt { { ( sqrt { x } - sqrt { y } ) ^{ 2 } }over{ x + y } } - sqrt { { ( sqrt { x } + sqrt { y } ) ^{ 2 } }over{ x + y } }]

[eqn: = { sqrt { ( sqrt { x } - sqrt { y } ) ^{ 2 } } }over{ sqrt { x + y } } - { sqrt { ( sqrt { x } + sqrt { y } ) ^{ 2 } } }over{ sqrt { x + y } }]

[eqn: = { - ( sqrt { x } - sqrt { y } ) }over{ sqrt { x + y } } - { sqrt { x } + sqrt { y } }over{ sqrt { x + y } }]

(∵ [eqn: 0 < sqrt { x } < sqrt { y }])

[eqn: = - { 2 sqrt { x } }over{ sqrt { x + y } }]

난이도별 테스트(상)

16  직선 [eqn: y= mx+1]은 [eqn: x]의 값에 관계없이 점 [eqn: (0,~1)]을 지나므로 [eqn: A smallinter B = emptyset]이려면 곡선
[eqn: y = SQRT{2x-1}]과 직선 [eqn: y= mx+1]은 다음 그림과 같아야 한다.

(ⅰ) 직선 [eqn: y= mx+1]이 [eqn: { rm P LEFT ( { 1 }over{ 2 } , ~ 0 right ) }]을 지날 때

[eqn: 0 = { 1 }over{ 2 } m + 1]이므로 [eqn: m = - 2]

(ⅱ) 직선과 곡선이 접할 때

[eqn: sqrt { 2 x - 1 } = mx + 1]이므로 이차방정식

[eqn: m ^{ 2 } x ^{ 2 } + 2 ( m - 1 ) x + 2 = 0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: { D }over{ 4 } = ( m - 1 ) ^{ 2 } - 2 m ^{ 2 } = 0]

[eqn: - m ^{ 2 } - 2 m + 1 = 0]

[eqn: therefore] [eqn: m = - 1 + sqrt { 2 }] [eqn: ( because] [eqn: m > 0 )]

(ⅰ), (ⅱ)에서

[eqn: m<`-2] 또는 [eqn: m>-1+ sqrt {2}]