난이도별 테스트(중)

정답과 해설

Ⅰ. 도형의 방정식

1 ①      2 ④     3 [eqn: rm M LEFT ( 3,````- {1} over {2} RIGHT )]       4 ④

5 ②      6 ④     7 ⑤      8 [eqn: -2]    9 ①

10 ①    11 ①   12 ⑤    13 ⑤   14 ①    15 ⑤    16 ④   17 ④    18 ⑤   19 ⑤   20 [eqn: 5]

1  [eqn: rm {bar{AP}} ^{2} + {bar{BP}} ^{2} + {bar{CP}} ^{2}]

[eqn: = ( a - 3 ) ^{ 2 } + ( b - 3 ) ^{ 2 } + ( a + 3 ) ^{ 2 } + b ^{ 2 } + ( a - 3 ) ^{ 2 } + b ^{ 2 }]

[eqn: = 3 ( a ^{ 2 } + b ^{ 2 } - 2 a - 2 b + 12 )]

[eqn: = 3 ( a - 1 ) ^{ 2 } + 3 ( b - 1 ) ^{ 2 } + 30]

따라서 [eqn: a = 1], [eqn: b = 1]일 때, 최솟값은 [eqn: 30]이다.

[eqn: therefore] [eqn: a ^{2} +b ^{2} =2]

2  세 변의 길이를 각각 구하면

[eqn: a = sqrt { ( 6 + 1 ) ^{ 2 } + ( 0 + 1 ) ^{ 2 } } = sqrt { 50 } = 5 sqrt { 2 }]

[eqn: b = sqrt { ( 2 - 6 ) ^{ 2 } + ( 3 - 0 ) ^{ 2 } } = sqrt { 25 } = 5]

[eqn: c = sqrt { ( - 1 - 2 ) ^{ 2 } + ( - 1 - 3 ) ^{ 2 } } = sqrt { 25 } = 5]

[eqn: therefore] [eqn: a ^{ 2 } = b ^{ 2 } + c ` ^{ 2 }], [eqn: b = c]

따라서 삼각형 [eqn: { rm ABC }]는 [eqn: a : b : c = sqrt { 2 } : 1 : 1]이고

[eqn: ANGLE rm A it =90 DEG]인 직각이등변삼각형이다.

3  점 [eqn: { rm P }]는 선분 [eqn: rm {AB}}]를 [eqn: rm 1:3]으로 내분하는 점이므로

[eqn: LEFT ( {1 TIMES 12+3 TIMES (-4)} over {1+3} ,```` {1 TIMES (-5)+3 TIMES 3} over {1+3} RIGHT )]

[eqn: therefore] [eqn: rm P(0,````1)]

점 [eqn: { rm Q }]는 선분 [eqn: rm {AB}}]를 [eqn: 5:3]로 내분하는 점이므로

[eqn: LEFT ( {5 TIMES 12+3 TIMES (-4)} over {5+3} ,```` {5 TIMES (-5)+3 TIMES 3} over {5+3} RIGHT )]

[eqn: therefore] [eqn: rm Q(6,````-2)]

따라서 [eqn: { rm { bar { PQ }} }]의 중점 [eqn: { rm M }]의 좌표는

[eqn: LEFT ( {0+6} over {2} ,``` {1+(-2)} over {2} RIGHT )]

[eqn: therefore] [eqn: rm M LEFT ( 3,````- {1} over {2} RIGHT )]

4  삼각형 [eqn: rm ABC]의 무게중심의 좌표는 삼각형 [eqn: \DEF]의 무게중심의 좌표와 같으므로

[eqn: { a + 4 }over{ 3 } = 2 `], [eqn: { b + 2 }over{ 3 } = 1]

[eqn: therefore] [eqn: a = 2], [eqn: b = 1]

[eqn: therefore] [eqn: a + b = 3 `]

5  각의 이등분선의 성질에 의하여

[eqn: { rm { bar { AB }} : { bar { AC }} = { bar { BD }} : { bar { DC }} }]이고,

[eqn: { rm { bar { AB }} = sqrt { ( - 4 - 2 ) ^{ 2 } + ( - 5 - 3 ) ^{ 2 } } = sqrt { 100 } = 10 }],

[eqn: { rm { bar { AC }} = sqrt { ( 5 - 2 ) ^{ 2 } + ( - 1 - 3 ) ^{ 2 } } = sqrt { 25 } = 5 }]

이므로

[eqn: { rm { bar { BD }} : { bar { DC }} = 2 : 1 }]

즉, 점 [eqn: { rm D }]는 선분 [eqn: { rm BC }]를 [eqn: 2 : 1]로 내분하는 점이다.

이때 [eqn: { rm B } ( - 4 ,~ - 5 )], [eqn: { rm C } ( 5,~ - 1 )]이므로

[eqn: a = { 2 times 5 + 1 times ( - 4 ) }over{ 2 + 1 } = { 6 }over{ 3 } = 2]

[eqn: b = { 2 times ( - 1 ) + 1 times ( - 5 ) }over{ 2 + 1 } = - { 7 }over{ 3 }]

[eqn: therefore] [eqn: b over a = LEFT ( - { 7 }over{ 3 } right ) div2 = - { 7 }over{ 6 }]

Ⅰ. 도형의 방정식

6  직선 [eqn: y = ax + 2]가 점 [eqn: (1,~ - 2 )]를 지나므로

[eqn: - 2 = a + 2]   [eqn: therefore] [eqn: a = - 4 `]

직선 [eqn: y = 4 x + b]가 점 [eqn: (1,~ - 2 )]를 지나므로

[eqn: - 2 = 4 + b]   [eqn: therefore] [eqn: b = - 6 `]

두 점 [eqn: rm A(-4,~-3)], [eqn: rmB(2,~-6)]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 1``:``2]로 내분하는 점의 좌표는

[eqn: LEFT ( {1 TIMES 2+2 TIMES (-4)} over {1+2} ,```` {1 TIMES (-6)+2 TIMES (-3)} over {1+2} RIGHT )]

[eqn: THEREFORE ````(-2,````-4)]

이때 직선 [eqn: y=ax+2]에 평행한 직선의 기울기는 [eqn: a], 즉 [eqn: -4]이므로 구하는 직선의 방정식은

[eqn: y+4=-4 LEFT ( x+2 RIGHT )]    [eqn: THEREFORE ````4x+y+12=0]

7  [eqn: ( a - 2 ) y = ( 3 a - 1 ) x - 1]에서

[eqn: ( y - 3 x ) a + x - 2 y + 1 = 0]

이 직선은 [eqn: a]의 값에 관계없이 두 직선 [eqn: y - 3 x = 0], [eqn: x - 2 y + 1 = 0]의 교점 [eqn: LEFT ( { 1 }over{ 5 } , ~ { 3 }over{ 5 } right )]을 지난다.

(ⅰ) [eqn: a = 2]일 때

[eqn: x = { 1 }over{ 5 }]이므로 제[eqn: 2]사분면을 지나지 않는다.

(ⅱ) [eqn: a != 2]일 때

제[eqn: 2]사분면을 지나지 않으려면 ([eqn: y]절편)[eqn: LEQ 0]이어야 하므로

[eqn: - {1} over {a-2} LEQ 0]    [eqn: THEREFORE ````a>2]

따라서 구하는 범위는 [eqn: a geq 2]이다.

8  점 [eqn: { rm A }]를 지나고 삼각형 [eqn: { rm ABC }]의 넓이를 이등분하는 직선은 변 [eqn: { rm BC }]의 중점 [eqn: { rm M } ( 2,~1)]을 지난다.

따라서 구하는 직선은 두 점 [eqn: rm A IT (-1,~-1)],

[eqn: { rm M ( 2 },~ 1 )]을 지나므로

[eqn: y - ( - 1 ) = { 1 - ( - 1 ) }over{ 2 - ( - 1 ) } lbrace x - ( - 1 ) rbrace]

[eqn: THEREFORE ````y= {2} over {3} x- {1} over {3}]

따라서 [eqn: m = 2 over3], [eqn: n = - 1 over3]이므로

[eqn: 9mn = 9 times 2over3 times left( - 1 over 3 right) = -2]

9  [eqn: x + 2 y = 5]        [eqn: cdots cdots]㉠

[eqn: 2 x - 3 y = - 4]         [eqn: cdots cdots]㉡

[eqn: ax + y = 0]            [eqn: cdots cdots]㉢

(ⅰ) 두 직선 ㉠, ㉢이 평행할 때

[eqn: {1} over {a} = {2} over {1} != {5} over {0}]   [eqn: therefore] [eqn: a= 1 over2]

(ⅱ) 두 직선 ㉡, ㉢이 평행할 때

[eqn: {2} over {a} = {-3} over {1} != {-4} over {0}]   [eqn: therefore] [eqn: a = - { 2 }over{ 3 }]

(ⅲ) 직선 ㉢이 두 직선 ㉠, ㉡의 교점 [eqn: ( 1 ,~2)]를 지날 때

[eqn: a + 2 = 0]   [eqn: therefore] [eqn: a = - 2]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 모든 실수 [eqn: a]의 값의 합은

[eqn: {1} over {2} - {2} over {3} -2=- {13} over {6}]

10  [eqn: { rm { bar { B C }} = sqrt { ( 4 - 3 ) ^{ 2 } + ( 0 - 3 ) ^{ 2 } } = sqrt { 10 } }]

직선 [eqn: { rm BC }]의 방정식은

[eqn: y= {0-3} over {4-3} (x-4)]

[eqn: THEREFORE ````3x+y-12=0]

점 [eqn: { rm A } ( 1 ,~-1)]에서 직선 [eqn: { rm BC }]에 내린 수선의 발을 [eqn: { rm H }]라 하면

[eqn: rm {bar{AH}} = {LEFT | 3-1-12 RIGHT |} over {sqrt {3 ^{2} +1 ^{2}}} = {10} over {sqrt {10}} it = sqrt {10}]

∴ [eqn: triangle rm ABC][eqn: = {1} over {2} TIMES rm {bar{BC}} it TIMES rm {bar{AH}} =5]

[다른 풀이] [eqn: rm {bar{AB}} = sqrt {(3-1) ^{2} +(3+1) ^{2}} =2 sqrt {5}],

[eqn: rm {bar{BC}} = sqrt {(4-3) ^{2} +(0-3) ^{2}} = sqrt {10}],

[eqn: rm {bar{CA}} = sqrt {(1-4) ^{2} +(-1-0) ^{2}} = sqrt {10}]

[eqn: {bar{rm BC}} ^{2} + {bar{rm CA}} ^{2} = {bar{rm AB}} ^{2}]이므로 [eqn: △`rmABC]는 [eqn: ANGLE rmC=90 DEG]인 직각이등변삼각형이다.

[eqn: THEREFORE `△`rmABC= {1} over {2} TIMES bar{rmBC} TIMES bar{rmCA}=5]

난이도별 테스트(중)

11  [eqn: x ^{ 2 } + y ^{ 2 } + 12 x - 4 ay + 36 = 0]에서

[eqn: ( x + 6 ) ^{ 2 } + ( y - 2 a ) ^{ 2 } = 4 a ^{ 2 }]

이 원이 직선 [eqn: y = - x]에 대하여 대칭이므로 직선 [eqn: y = - x]가 주어진 원의 중심 [eqn: ( - 6 ,~2a)]를 지난다.

[eqn: 2 a = 6]   [eqn: therefore] [eqn: a = 3]

12  [eqn: x ^{ 2 } + y ^{ 2 } - 8 x - 6 y + 21 = 0]에서

[eqn: ( x - 4 ) ^{ 2 } + ( y - 3 ) ^{ 2 } = 2 ^{ 2 }]

[eqn: { rm { bar { OP }} }]의 최댓값은 원점과 원의 중심 사이의 거리에서 원의 반지름의 길이를 더한 것이므로

[eqn: sqrt { 4 ^{ 2 } + 3 ^{ 2 } } + 2 = 5+2=7]

13  다음 그림과 같이 원과 직선이 만나는 두 점을 [eqn: { rm A }], [eqn: { rm B }], 원점에서 직선 [eqn: y=x-1], 즉 [eqn: x - y - 1 = 0]에 내린 수선의 발을 [eqn: { rm M }]이라 하면

[eqn: { rm { bar { OA }} = 3 }], [eqn: { rm { bar { O M }} = } { LEFT | - 1 right | }over{ sqrt { 1 ^{ 2 } + ( - 1 ) ^{ 2 } } } = { 1 }over{ sqrt { 2 } }]

[eqn: { rm triangle OAM }]에서

[eqn: rm {bar{AM}} = sqrt{{bar{OA}} ^{2} - {bar{OM}} ^{2}}]

[eqn: =sqrt{3 ^{2} - LEFT ( {1} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{2} }]

[eqn: rm = {sqrt {17}} over {sqrt {2}} = {sqrt {34}} over {2}]

[eqn: therefore] [eqn: { rm { bar { AB }} = 2 { bar { AM }} = sqrt { 34 } }]

14  직선 [eqn: ax + by + 2 = 0]이 직사각형과 원의 넓이를 동시에 이등분하려면 직사각형의 두 대각선의 교점 [eqn: ( - 2 ,~-1)]과 원의 중심 [eqn: ( 2 ,~2)]를 지나야 하므로

[eqn: - 2 a - b + 2 = 0], [eqn: 2 a + 2 b + 2 = 0]

두 식을 연립하여 풀면

[eqn: a = 3], [eqn: b = - 4]

[eqn: therefore] [eqn: ab=-12]

15  접선 [eqn: l]의 방정식을 [eqn: y=mx`(m>0)]라 하자.

원의 중심 [eqn: ( 3 ,~1)]에서 직선[eqn: y=mx], 즉 [eqn: mx - y = 0]까지의 거리가 원의 반지름의 길이와 같으므로

[eqn: { LEFT | 3 m - 1 right | }over{ sqrt { m ^{ 2 } + ( - 1 ) ^{ 2 } } } = 1]

[eqn: LEFT | 3 m - 1 right | = sqrt { m ^{ 2 } + 1 }]

[eqn: ( 3 m - 1 ) ^{ 2 } = m ^{ 2 } + 1]

[eqn: 9 m ^{ 2 } - 6 m + 1 = m ^{ 2 } + 1]

[eqn: 4m ^{2} -3m=0]

[eqn: m ( 4 m - 3 ) = 0]

그런데 [eqn: m > 0]이므로

[eqn: m = { 3 }over{ 4 } `]

16  포물선 [eqn: y = - x ^{ 2 } + ax + b]의 꼭짓점의 좌표를

[eqn: ( m ,~ n )]이라 하면

[eqn: m + 1 = 3], [eqn: n - 2 = 2]

[eqn: therefore] [eqn: m = 2], [eqn: n = 4]

따라서 포물선 [eqn: y = - x ^{ 2 } + ax + b]의 꼭짓점의 좌표는 [eqn: ( 2 ,~4)]이므로 포물선의 방정식은

[eqn: y = - ( x - 2 ) ^{ 2 } + 4][eqn: =-x ^{2} +4x]

[eqn: therefore] [eqn: a = 4], [eqn: b = 0]

[eqn: therefore] [eqn: a + b = 4]

Ⅰ. 도형의 방정식

17  직선 [eqn: y = 2 x - 3]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: k]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: - 3]만큼 평행이동하면

[eqn: y + 3 = 2 ( x - k ) - 3]

[eqn: therefore] [eqn: 2x-y-2k-6=0]

이 직선이 원 [eqn: ( x - 3 ) ^{ 2 } + ( y + 2 ) ^{ 2 } = 20]에 접하므로 원의 중심 [eqn: ( 3 ,~ - 2 )]에서 직선 [eqn: 2 x - y - 2 k - 6 = 0]까지의 거리는 반지름의 길이인 [eqn: 2 sqrt { 5 }]와 같다.

[eqn: {LEFT | 6+2-2k-6 RIGHT |} over {sqrt {2 ^{2} +(-1) ^{2}}} =2 sqrt {5}]

[eqn: {LEFT | 2-2k RIGHT |} over {sqrt {5}} =2 sqrt {5}]

[eqn: LEFT | 1 - k right | = 5], [eqn: 1 - k= +- 5]

[eqn: therefore] [eqn: k = 6] 또는 [eqn: k = - 4]

그런데 [eqn: k > 0]이므로 [eqn: k = 6]

18  [eqn: { rm { bar { PQ }} }]의 중점 [eqn: LEFT ( { a - 1 }over{ 2 } , ~ { b + 1 }over{ 2 } right )]이 직선

[eqn: y = - x + 1] 위에 있으므로

[eqn: { b + 1 }over{ 2 } = - { a - 1 }over{ 2 } + 1]    [eqn: therefore] [eqn: a + b = 2]       [eqn: cdots cdots]㉠

선분 [eqn: { rm PQ }]와 직선 [eqn: y = - x + 1]은 수직이므로

[eqn: { b - 1 }over{ a + 1 } times ( - 1 ) = - 1]    [eqn: therefore] [eqn: a - b = - 2]     [eqn: cdots cdots]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: a = 0], [eqn: b = 2]

[eqn: therefore] [eqn: 2 b - a = 4]

19  오른쪽 그림과 같이 점 [eqn: { rm B } ( 2 ,~ 3 )]을 직선

[eqn: x + y + 1 = 0]에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rm B prime][eqn: (a,````b)]라 하면 선분 [eqn: { rm BB} prime]의 중점

[eqn: LEFT ( {a+2} over {2} ,~ {b+3} over {2} RIGHT )]은 직선

[eqn: x + y + 1 = 0] 위의 점이므로

[eqn: { a + 2 }over{ 2 } + { b + 3 }over{ 2 } + 1 = 0]

[eqn: therefore] [eqn: a+b=-7]      [eqn: cdots cdots]㉠

선분 [eqn: { rm BB} prime]은 직선 [eqn: x + y + 1 = 0]과 수직이므로

[eqn: {b-3} over {a-2} TIMES (-1)=-1]

[eqn: THEREFORE ````a-b=-1]      [eqn: cdots cdots]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: a = - 4], [eqn: b = - 3]

[eqn: therefore] [eqn: rm B prime (-4,~ - 3 )]

[eqn: therefore] [eqn: rm {bar{AP}} + {bar{BP}} = {bar{AP}} + {bar{B prime P}}]

[eqn: rm GEQ {bar{AB prime }}]

[eqn: = sqrt {(1+4) ^{2} +(9+3) ^{2}}][eqn: =13]

따라서 구하는 최솟값은 [eqn: 13]이다.

20  방정식 [eqn: f(-x,```y)=0], [eqn: f(-x,````-y)=0],

[eqn: f(y,````x)=0]이 나타내는 도형은 방정식 [eqn: f(x,````y)=0]이 나타내는 도형을 각각 [eqn: y]축, 원점, 직선 [eqn: y = x]에 대하여 대칭이동한 것이므로 다음 그림과 같다.

[eqn: f(-x,```y)=0]

[eqn: f(y,````x)=0]

[eqn: f(-x,````-y)=0]

따라서 구하는 도형의 넓이는

[eqn: 4 + { 1 }over{ 2 } times 1 times 2 = 5]