난이도별 테스트(중)

정답과 해설

Ⅲ. 함수와 그래프

1 ③     2 ③     3 ⑤    4 ⑤     5 ①

6 ③     7 ②     8 ④    9 ④     10 ④

11 ③    12 ①    13 ③   14 ②    15 ②

16 ④    17 ④    18 ②   19 ④    20 ⑤

1  이차함수 [eqn: y = x ^{ 2 } + ax + b = LEFT ( x + { a }over{ 2 } right ) ^{ 2 } - { a ^{ 2 } }over{ 4 } + b]의

그래프의 꼭짓점의 [eqn: x]좌표는

[eqn: x = - { a }over{ 2 } le 0] [eqn: ( because] [eqn: a ge 0])

[eqn: x = 1]일 때, [eqn: 1+a+b= -1], [eqn: a+b = -2]    [eqn: cdots cdots]㉠

[eqn: x = 2]일 때, [eqn: 4 +2 a + b = 3], [eqn: 2a + b = -1]   [eqn: cdots cdots]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: a= 1], [eqn: b = -3]

∴ [eqn: a^2 + b^2 = 1+9=10]

2  [eqn: f ( 2 ) = 1]이므로 [eqn: x = 2], [eqn: y = 2]일 때,

[eqn: f ( 4 ) = f ( 2 times 2 ) = f ( 2 ) + f ( 2 ) = 1 + 1 = 2]

[eqn: x = 4], [eqn: y = 2]일 때,

[eqn: f ( 8 ) = f ( 4 times 2 ) = f ( 4 ) + f ( 2 ) = 2 + 1 = 3]

[eqn: x = 8], [eqn: y = 2]일 때,

[eqn: f ( 16 ) = f ( 8 times 2 ) = f ( 8 ) + f ( 2 ) = 3 + 1 = 4]

3  [eqn: f = g]이므로

[eqn: f ( - 1 ) = g ( - 1 )], [eqn: f ( 0 ) = g ( 0 )], [eqn: f ( 1 ) = g ( 1 )]

[eqn: f ( - 1 ) = g ( - 1 )]에서 [eqn: 1 = -a+b]

[eqn: f ( 0 ) = g ( 0 )]에서 [eqn: 2=b]

[eqn: f ( 1 ) = g ( 1 )]에서 [eqn: 3 = a+b]

∴ [eqn: a = 1], [eqn: b = 2]

∴ [eqn: b overa][eqn: = 2over 1 =2]

4  [eqn: f ( x ) = m ( x + 2 ) + 1]이므로 함수 [eqn: y = f ( x )]의 그래프는 상수 [eqn: m]의 값에 관계없이 점 [eqn: ( - 2 ,~1)]을 지나는 직선이다.

따라서 직선 [eqn: y = f ( x )]는 다음 그림과 같이 선분 [eqn: { rm AB }] 사이를 지나야 한다.

점 [eqn: (4,~0)]을 지날 때,

[eqn: 0= 6m+1], [eqn: m = - 1over 6]

점 [eqn: (4,~4)]를 지날 때,

[eqn: 4= 6m+1], [eqn: m = 1over2]

[eqn: therefore] [eqn: - { 1 }over{ 6 } leq m leq { 1 }over{ 2 }]

5  (ⅰ) [eqn: f ( b ) = a]일 때

[eqn: f ( c ) = c]이므로

[eqn: g ( c ) = ( f circ f ) ( c ) = f ( c ) = c]

조건 [eqn: g ( c ) = b]를 만족시키지 않으므로

[eqn: f ( b ) != a]

(ⅱ) [eqn: f ( b ) = c]일 때

[eqn: f ( c ) = a]이므로

[eqn: g ( c ) = ( f circ f ) ( c ) = f ( a ) = b]

(ⅰ), (ⅱ)에서

[eqn: f ( c ) = a], [eqn: g ( b ) = ( f circ f ) ( b ) = f ( c ) = a]

∴ [eqn: f ( c ) + g(b)][eqn: = a+ a = 2a]

Ⅲ. 함수와 그래프

6  [eqn: ( f circ f ) ( x ) = f ( f ( x ) ) = 2]에서 [eqn: f ( x )]의 양의 약수의 개수가 [eqn: 2]개이므로 [eqn: f ( x )]는 소수이다.

[eqn: therefore] [eqn: f ( x ) =2] 또는 [eqn: f(x) =3] [eqn: ( because] [eqn: f ( x ) in B )]

(ⅰ) [eqn: f ( x ) = 2]일 때

[eqn: x=2] 또는 [eqn: x =3] 또는 [eqn: x =5] 또는 [eqn: x =7]

[eqn: ( because] [eqn: x in A )]

(ⅱ) [eqn: f ( x ) = 3]일 때

[eqn: x=4] 또는 [eqn: x = 9]

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 합은

[eqn: 2+ 3 +4 + 5 + 7 + 9 = 30]

7  [eqn: ( g circ f ) ( x ^{ 2 } ) = 2]에서

[eqn: lbrace f ( x ^{ 2 } ) rbrace ^{ 2 } - 3 f ( x ^{ 2 } ) -2 =2]

[eqn: lbrace f ( x ^{ 2 } ) rbrace ^{ 2 } - 3 f ( x ^{ 2 } ) -4 =0]

[eqn: left{ f(x^2 ) +1 right} left{ f(x^2 ) -4 right} =0]

[eqn: therefore] [eqn: f(x ^{2} )=-1] 또는 [eqn: f(x ^{2} )=4]

(ⅰ) [eqn: f(x ^{2} )=-1]일 때

[eqn: x^2 + 1 =-1], [eqn: x^2 = -2]

[eqn: x]는 실수이므로 성립하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: f(x ^{2} )=4]일 때

[eqn: x^2 +1 =4], [eqn: x^2 =3]

[eqn: therefore] [eqn: x= - sqrt3] 또는 [eqn: x= sqrt3]

따라서 모든 [eqn: x]의 값의 곱은 [eqn: -3]이다.

8  [eqn: f LEFT ( { 1 }over{ 2 } right ) = { 3}over{4 }], [eqn: f ^{ 2 } LEFT ( { 1 }over{2 } right ) = f LEFT ( { 3 }over{ 4 } right ) = { 1 }over{ 4 }],

[eqn: f ^{ 3 } LEFT ( { 1 }over{ 2 } right ) = f LEFT ( { 1 }over{ 4 } right ) = { 1 }over{ 2 }]이므로 자연수 [eqn: k]에 대하여 다음이 성립한다.

[eqn: f ^{ 3 k - 2 } LEFT ( { 1 }over{ 2 } right ) = { 3 }over{4 }], [eqn: f ^{ 3 k - 1 } LEFT ( { 1 }over{ 2 } right ) = {1 }over{ 4 }], [eqn: f ^{3k} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) = {1} over {2}]

[eqn: therefore] [eqn: f LEFT ( { 1 }over{2 } right ) + f ^{ 2 } LEFT ( { 1 }over{ 2 } right ) + f ^{ 3 } LEFT ( { 1 }over{ 2 } right ) + cdots + f ^{ 101 } LEFT ( { 1 }over{ 2 } right )]

[eqn: =33 TIMES LEFT ( {3} over {4} + {1} over {4} + {1} over {2} RIGHT ) + {3} over {4} + {1} over {4}]

[eqn: = {99} over {2} +1= {101} over {2}]

9  [eqn: f ^{ - 1 } (-3) = b]라 하면

[eqn: f ( b ) = -3]에서 [eqn: - 2 b + 1 = -3]

[eqn: therefore] [eqn: b = 2]

[eqn: f ^{ - 1 } ( -3 ) + f ^{ - 1 } ( a ) = 0]에서

[eqn: 2 + f ^{ - 1 } ( a ) = 0], [eqn: f ^{ - 1 } ( a ) = - 2]

따라서 [eqn: f ( - 2 ) = a]이므로

[eqn: a = (-2)^2 +1 =5]

10  [eqn: ( f circ g^{ - 1 } ) ( -2 ) = f(g^-1 (-2))]에서
[eqn: g^-1 (-2) = a]라 하면

[eqn: g(a) = -2]   ∴ [eqn: a= 0]

∴ [eqn: ( f circ g^{ - 1 } ) ( -2 ) = f(g^-1 (-2))]

[eqn: = f(0) = 3]

11  [eqn: {1} over {x(x+k)} + {1} over {(x+k)(x+2k)}]
[eqn: + CDOTS + {1} over {□x+(n-1)k□(x+nk)}]

[eqn: = { 1 }over{ k } LEFT lbrace LEFT ( { 1 }over{ x } - { 1 }over{ x + k } right ) + LEFT ( { 1 }over{ x + k } - { 1 }over{ x + 2k } right ) right .]

[eqn: + cdots + LEFT ( { 1 }over{ x + ( n - 2 ) k } - { 1 }over{ x + ( n - 1 ) k } right )]

[eqn: + LEFT ( LEFT . { 1 }over{ x + ( n - 1 ) k } - { 1 }over{ x + nk } right ) right rbrace]

[eqn: = { 1 }over{ k } LEFT ( { 1 }over{ x } - { 1 }over{ x + nk } right )]

[eqn: = { n }over{ x ( x + nk ) }]

[eqn: = n over{ x^2 + nk x} = { 8 }over{ x ^{ 2 } + 24 x }]

따라서 [eqn: n= 8], [eqn: k= 3]이므로

[eqn: n+ k = 11]

난이도별 테스트(중)

12  [eqn: {x+y} over {3} = {y+z} over {4} = {z+x} over {5} =k`(k != 0)]라 하면

[eqn: x + y = 3 k], [eqn: y + z = 4 k], [eqn: z + x = 5 k]

세 식의 양변을 각각 더하여 정리하면

[eqn: x + y + z = 6 k ` `]

[eqn: therefore] [eqn: x = 2 k], [eqn: y = k], [eqn: z = 3 k]

[eqn: therefore] [eqn: { x ^{ 2 } + y ^{ 2 } +z^2 }over{ xy - yz - zx } = { 4k^2 + k^2 + 9k^2 } over {2k^2 -3k^2 - 6k^2}]

[eqn: = {14k^2 } over {-7k^2} = -2]

13  [eqn: y= {2x+6} over {x-1} = {8} over {x-1} +2]에서 [eqn: x], [eqn: y]가 모두 정수이려면 분모 [eqn: x-1]이 분자 [eqn: 8]의 약수이어야 한다.

따라서 [eqn: x-1]의 값이 될 수 있는 수는 [eqn: -8], [eqn: -4], [eqn: -2], [eqn: -1], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 8]이므로 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점의 개수는 [eqn: 8]개다.

14  [eqn: ( f circ g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) = f LEFT ( { x + 2 }over{ x } right )]

[eqn: = {{x+2} over {x}} over {{x+2} over {x} -1} = {{x+2} over {x}} over {{2} over {x}}]

[eqn: = {x+2} over {2}]

[eqn: ( f circ g ) ( x ) = { 4 }over{ x }]에서 [eqn: x+2 over2 = { 4 }over{ x }]

[eqn: x ^{ 2 } + 2 x - 8 = 0], [eqn: ( x + 4 ) ( x - 2 ) = 0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: x = - 4] 또는 [eqn: x = 2]

15  [eqn: 3 leq x leq 5]에서 함수 [eqn: y = { x + 1 }over{ x - 2 } = { 3 }over{ x - 2 } + 1]의 그래프는 다음 그림과 같으므로 직선 [eqn: y= ax]는 점 [eqn: ( 5 ,~2)]를 지나는 직선과 점 [eqn: ( 3 ,~4)]를 지나는 직선 사이에 있어야 한다.

[eqn: - {1} over {2}]

∴ [eqn: 2 over5 le a le 4 over3]

16  [eqn: sqrt { ax + 3} geq 0]이므로 [eqn: y = sqrt { ax + 3 } - b]의 치역은

[eqn: lbrace y ` | ` y geq -b rbrace]   [eqn: therefore] [eqn: b = - 2]

그래프가 점 [eqn: ( -3 ,~5)]를 지나므로

[eqn: 5 = sqrt { - 3 a + 3} + 2]

[eqn: sqrt { - 3 a + 3 } = 3]

[eqn: therefore] [eqn: a = - 2]

주어진 무리함수의 식은

[eqn: y = sqrt { - 2 x + 3 } + 2]

따라서 [eqn: - 2 x + 3 geq 0]이므로 정의역은

[eqn: left{ x` left|` x leq 3over2 right}]

Ⅲ. 함수와 그래프

17  ㄱ. [eqn: y = - 2 sqrt { x + 1 }]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼 평행이동하면 [eqn: y=-2 sqrt {x}]

[eqn: y=-2 sqrt {x}]를 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동하면

[eqn: y=2 sqrt {x}]

ㄴ. [eqn: y = - sqrt { - 4 x } = -2 sqrt -x]이므로 원점에 대하여 대칭이동하면 [eqn: y = 2 sqrt { x }]

ㄷ. [eqn: y= {1} over {4} x ^{2}` ( x geq 0 )]를 직선 [eqn: y =x]에 대하여 대칭이동하면 [eqn: y^2 = 4x]

[eqn: y ge 0]이므로 [eqn: y = 2sqrt x]

ㄹ. [eqn: y = sqrt { 4 - x ^{ 2 } }]에서 [eqn: y geq 0]이므로

[eqn: y^2 = 4- x^2], [eqn: x^2 + y^2 = 2^2]

중심이 원점이고 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 반원이므로 평행이동 또는 대칭이동하여 [eqn: y = 2 sqrt { x }]의 그래프와 겹쳐질 수 없다.

따라서 평행이동 또는 대칭이동하여 [eqn: y = 2 sqrt { x }]의 그래프와 겹쳐질 수 있는 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

18

[eqn: f ( x )]가 [eqn: x = 3]에서 최댓값 [eqn: 5]를 가지므로

[eqn: f ( x ) = - sqrt { a ( x - 3 ) } + 5]

[eqn: f ( 2 ) = 4]이므로

[eqn: - sqrt { - a } + 5 = 4]에서 [eqn: a = - 1]

[eqn: therefore] [eqn: f ( x ) = - sqrt { - x + 3 } + 5]

[eqn: f ^{ - 1 } ( 3 ) = t]라 하면 [eqn: f ( t ) = 3]

[eqn: - sqrt { - t + 3 } + 5 = 3]에서 [eqn: t = - 1]

[eqn: therefore] [eqn: f ^{ - 1 } ( 3 ) = - 1]

19  [eqn: f(x)= {LEFT | x RIGHT | +x} over {2} = {cases{`x~&(x GEQ 0)#`0&(x<0)}}]이므로

[eqn: y= sqrt {f(x)} = {cases{` sqrt {x} ````~&(x GEQ 0)#0&(x<0)}}]

따라서 함수 [eqn: y = sqrt { f ( x ) }]의 그래프의 개형은 오른쪽 그림과 같다.

20

위의 그림에서 [eqn: {bar{rm P _{itk} rm Q _{itk}}} = sqrt {itk+1} - sqrt {k-1}]이므로

[eqn: { rm { bar { P _{ 1 } Q _{ 1 } }} + { bar { P _{ 2 } Q _{ 2 } }} + cdots + { bar { P _{ 99 } Q _{ 99 } }} }]

[eqn: =( sqrt {2} -0)+( sqrt {3} -1)+( sqrt {4} - sqrt {2} )]

[eqn: + CDOTS +( sqrt {99} - sqrt {97} )+( sqrt {100} - sqrt {98} )]

[eqn: = - 1 + sqrt { 99 } + sqrt { 100 }]

[eqn: = 9 + 3 sqrt { 11 }]