난이도별 테스트(하)

정답과 해설

Ⅰ. 도형의 방정식

1 ②      2 ④      3 ②     4 ④     5 ④

6 ②      7 ②      8 ⑤     9 ⑤     10 ②

11 ④    12 ③     13 ①    14 ②     15 ⑤

16 ④    17 ③     18 ④    19 ①     20 ③

21 ④    22 ③     23 ⑤    24 ②

1  [eqn: { rm { bar { OA }} = { bar { OB }} }]이므로 [eqn: rm { bar { OA } }^{ 2 } = { bar { OB } }^{ 2 }]

[eqn: (-3)^2 + 4^2 = a ^{ 2 } + ( a + 1 ) ^{ 2 }]

[eqn: a ^{ 2 } + a - 12 = 0], [eqn: ( a + 4 ) ( a - 3 ) = 0]

[eqn: therefore] [eqn: a = 3] [eqn: ( because] [eqn: a > 0 )]

2  [eqn: rm P][eqn: (x)]라 하면

[eqn: rm {bar{AP}} ^{2} + {bar{BP}} ^{2} + {bar{CP}} ^{2}]

[eqn: = ( x - 1 ) ^{ 2 } + ( x - 7 ) ^{ 2 } + ( x - 10 ) ^{ 2 }]

[eqn: = 3x^2 -36x +150]

[eqn: = 3 ( x - 6 ) ^{ 2 } + 42]

따라서 [eqn: x = 6]일 때 최소이므로 [eqn: rm P(6)]이다.

3  두 점 [eqn: { rm A ( - 2 ) }], [eqn: rm B(4)]에 대하여 선분 [eqn: { rm AB }]를 [eqn: 1:2]로 내분하는 점 [eqn: { rm P }]의 좌표는

[eqn: {1 TIMES 4+2 TIMES (-2)} over {1+2} =0]    [eqn: THEREFORE ```` rm P(0)]

선분 [eqn: { rm AB }]를 [eqn: 2 : 1]로 내분하는 점 [eqn: rm Q]의 좌표는

[eqn: { 2 times 4 + 1 times ( - 2 ) }over{ 2 + 1 } = 2]    [eqn: THEREFORE ```` rm Q(2)]

∴ [eqn: rm {bar{PQ}} =2]

4  평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분하므로 두 대각선 [eqn: { rm AC }]와 [eqn: { rm BD }]의 중점은 일치한다.

따라서 [eqn: {1+a} over {2}][eqn: = {-2+4} over {2}], [eqn: {4+(-1)} over {2}][eqn: = {-2+b} over {2}]이므로

[eqn: a + 1 = 2], [eqn: b - 2 = 3]

[eqn: therefore] [eqn: a = 1], [eqn: b = 5]

[eqn: therefore] [eqn: a^2 + b^2][eqn: = 1+ 25 = 26]

5  [eqn: { rm G LEFT ( { - 1 + 2 + 5 }over{ 3 } , ~ { 3 - 2 + 2 }over{ 3 } right ) }]

∴ [eqn: {rm G} (2 ,~ 1 )]

6  [eqn: ( k + 2 ) x - ( 2 k - 1 ) y - ( 3 k + 1 ) = 0]을 [eqn: k]에 대하여 정리하면

[eqn: ( 2 x + y - 1 ) + k ( x - 2 y - 3 ) = 0]

이 식이 [eqn: k]에 대한 항등식이므로

[eqn: 2 x + y - 1 = 0], [eqn: x - 2 y - 3 = 0]

위의 두 식을 연립하여 풀면

[eqn: x = 1], [eqn: y = - 1]

따라서 [eqn: rmP ( 1 ,~-1)]이므로

[eqn: { rm { bar { OP }} = sqrt { 1 ^{ 2 } + ( - 1 ) ^{ 2 } } = sqrt { 2 } }]

Ⅰ. 도형의 방정식

7  기울이가 [eqn: 2]이고 점 [eqn: LEFT ( 1,~2 RIGHT )]를 지나는 직선의 방정식은

[eqn: y-2=2 LEFT ( x-1 RIGHT )]    [eqn: THEREFORE `y=2x]

이 직선이 점 [eqn: LEFT ( 4,~a RIGHT )]를 지나므로

[eqn: a=2 TIMES 4=8]

8  [eqn: {a} over {4} = {1} over {b} != {1} over {-1}]이므로

[eqn: ab=4]

9  두 점 [eqn: (-3,~5)], [eqn: LEFT ( -5,~-3 RIGHT )]을 이은 선분의 중점의 좌표는 [eqn: LEFT ( -4,~1 RIGHT )]

직선 [eqn: y = 2 x + 1]에 수직인 직선의 기울기는 [eqn: - 1over2]이므로 구하는 직선의 방정식은

[eqn: y - 1 = - 1over2 ( x + 4 )]

[eqn: therefore] [eqn: y = - 1over 2 x -1]

따라서 [eqn: a = - 1over2], [eqn: b = -1]이므로

[eqn: b over a = (-1) div left( - 1 over2 right) = 2]

10  점 [eqn: ( 3 ,~-1)]을 지나고 기울기가 [eqn: { 1 }over{ 2 }]인 직선의 방정식은

[eqn: y + 1 = { 1 }over{ 2 } ( x - 3 )]    ∴ [eqn: x - 2 y - 5 = 0]

따라서 원점에서 직선 [eqn: x - 2 y - 5 = 0]까지의 거리는

[eqn: {LEFT | -5 RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} +(-2) ^{2}}} = {5} over {sqrt {5}} = sqrt {5}]

11  직선 [eqn: 3 x - y + 6 = 0] 위의 점 [eqn: LEFT ( 0, ~6 right )]에서 직선 [eqn: 3 x - y - 4 = 0]까지의 거리는

[eqn: {LEFT | 3 TIMES 0-6-4 RIGHT |} over {sqrt {3 ^{2} +(-1) ^{2}}} = {10} over {sqrt {10}} = sqrt {10}]

12  [eqn: x ^{ 2 } + y ^{ 2 } - 10 x - 2 y + 1 = 0]에서

[eqn: ( x - 5 ) ^{ 2 } + ( y - 1 ) ^{ 2 } = 5 ^{ 2 }]

따라서 [eqn: a = 5], [eqn: b = 1], [eqn: r = 5]이므로

[eqn: a + b + r = 11]

13  [eqn: x]축에 접하는 원의 반지름의 길이는 중심의 [eqn: y]좌표의 절댓값과 같으므로 구하는 원의 방정식은

[eqn: ( x - 2 ) ^{ 2 } + ( y + 3 ) ^{ 2 } = 3 ^{ 2 }]

[eqn: x ^{ 2 } + y ^{ 2 } - 4 x + 6 y + 4 = 0]

[eqn: therefore] [eqn: A = - 4], [eqn: B = 6], [eqn: C = 4]

[eqn: therefore] [eqn: A - B - C][eqn: = -4-6-4=-14]

14  원의 중심이 제[eqn: 1]사분면 위에 있으므로 원의 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하면 원의 방정식은

[eqn: ( x - r ) ^{ 2 } + ( y - r ) ^{ 2 } = r ^{ 2 }]

이 원이 점 [eqn: ( 3 ,~3)]을 지나므로

[eqn: ( 3 - r ) ^{ 2 } + ( 3 - r ) ^{ 2 } = r ^{ 2 }]

[eqn: 18 - 12 r + 2 r ^{ 2 } = r ^{ 2 }]

[eqn: r ^{ 2 } - 12 r + 18 = 0]

[eqn: therefore] [eqn: r=6±3 sqrt {2}]

따라서 구하는 작은 원의 반지름의 길이는

[eqn: 6 - 3 sqrt { 2 }]이다.

난이도별 테스트(하)

15  원의 중심에서 직선 [eqn: 3 x + 4 y + k = 0]까지의 거리는

[eqn: {LEFT | k RIGHT |} over {sqrt {3 ^{2} +4 ^{2}}} = {LEFT | k RIGHT |} over {5}]

원과 직선이 만나려면

[eqn: { LEFT | k right | }over{ 5 } leq 2], [eqn: LEFT | k right | leq 10]

[eqn: therefore] [eqn: - 10 leq k leq 10]

16  선분 [eqn: rmAB]의 중점이 [eqn: ( 3 ,~2)]이므로 원의 중심의 좌표는 [eqn: ( 3 ,~2)]이고, 원의 반지름의 길이는

[eqn: sqrt { ( 3 - 1 ) ^{ 2 } + ( 2 - 1 ) ^{ 2 } } = sqrt { 5 }]

따라서 원의 방정식은

[eqn: ( x - 3 ) ^{ 2 } + ( y - 2 ) ^{ 2 } = ( sqrt { 5 } ) ^{ 2 }]

원의 중심 [eqn: (3,~2)]에서 직선 [eqn: y=2x+k], 즉

[eqn: 2 x - y + k = 0]에 이르는 거리는

[eqn: {LEFT | 2 TIMES 3-2+k RIGHT |} over {sqrt {2 ^{2} +(-1) ^{2}}} = {LEFT | k+4 RIGHT |} over {sqrt {5}}]

원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만나야 하므로

[eqn: {LEFT | k+4 RIGHT |} over {sqrt {5}} < sqrt {5}]

[eqn: LEFT | k + 4 right | < 5], [eqn: - 5 < k + 4 < 5]

[eqn: therefore] [eqn: - 9 < k < 1]

17  [eqn: x ^{ 2 } + y ^{ 2 } + 6 x + 4 y + 12 = 0]에서

[eqn: ( x + 3 ) ^{ 2 } + ( y + 2 ) ^{ 2 } = 1]

이므로 원의 중심의 좌표는 [eqn: ( - 3 ,~ - 2 )]이고, 반지름의 길이는 [eqn: 1]이다.

따라서 원의 중심에서 직선 [eqn: 3x+4y-8=0]까지의 거리는

[eqn: {LEFT | 3 TIMES (-3)+4 TIMES (-2)-8 RIGHT |} over {sqrt {3 ^{2} +4 ^{2}}} =5]

따라서 구하는 거리의 최댓값은 [eqn: 5+1=6]

18  직선이 원의 넓이를 이등분하려면 직선이 원의 중심을 지나야 한다.

[eqn: x ^{ 2 } + y ^{ 2 } - 2 x - 4 y + 1 = 0]에서

[eqn: ( x - 1 ) ^{ 2 } + ( y - 2 ) ^{ 2 } = 4]

따라서 원의 중심 [eqn: ( 1 ,~2)]가 직선 위에 있으므로

[eqn: ( a - 1 ) times 1 - ( a - 2 ) times 2 - 1 = 0]

[eqn: therefore] [eqn: a = 2]

19  점 [eqn: ( a ,~-3)]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동하면 점 [eqn: ( 3 ,~b )]가 되므로

[eqn: a-1 = 3], [eqn: -3 +2 = b]

∴ [eqn: a =4], [eqn: b = -1]

∴ [eqn: ab = -4]

20  직선 [eqn: y = ax +b]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 직선의 방정식은

[eqn: y-1 = a(x+1)+b]

[eqn: THEREFORE ````y=ax+a+b+1]

이 직선이 직선 [eqn: y = 2x -1]과 일치하므로

[eqn: a =2], [eqn: a+b +1 =-1]

따라서 [eqn: a= 2], [eqn: b = -4]이므로

[eqn: a+b = -2]

21  점 [eqn: ( - 2 ,~ 3 )]을 원점에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 [eqn: (2,~-3)]

점 [eqn: (2,~-3)]을 직선 [eqn: y = - x]에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 [eqn: (3,~-2)]

Ⅰ. 도형의 방정식

22  주어진 원의 방정식에 [eqn: x] 대신 [eqn: -x]를 대입하면

[eqn: ( - x + 1 ) ^{ 2 } + ( y + 2 ) ^{ 2 } = 2]

[eqn: therefore] [eqn: ( x - 1 ) ^{ 2 } + ( y + 2 ) ^{ 2 } = 2]

23  직선 [eqn: 3 x + 5 y + 2 = 0]을 원점에 대하여 대칭이동하면

[eqn: 3 times ( - x ) + 5 times ( - y ) + 2 = 0]

[eqn: therefore] [eqn: - 3 x - 5 y + 2 = 0]

이 직선을 직선 [eqn: y = x]에 대하여 대칭이동하면

[eqn: - 3 y - 5 x + 2 = 0]

[eqn: therefore] [eqn: 5 x + 3 y - 2 = 0]

따라서 [eqn: a = 5], [eqn: b = 3]이므로

[eqn: a-b=5-3=2]

24  직선 [eqn: y = 2 x + 1] 위의 점 [eqn: ( 0 ,~ 1 )]을 직선 [eqn: y = 3]에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 [eqn: ( 0 ,~5)]

직선 [eqn: y = 2 x + 1] 위의 점 [eqn: ( 1 ,~ 3 )]을 직선 [eqn: y = 3]에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 [eqn: ( 1 ,~ 3 )]

따라서 두 점 [eqn: ( 0 ,~5)], [eqn: ( 1 ,~ 3 )]을 지나는 직선의 방정식은

[eqn: y - 5 = { 5 - 3 }over{ 0 - 1 } ( x - 0 )]

[eqn: therefore] [eqn: y = - 2 x + 5]