난이도별 테스트(하)

정답과 해설

Ⅱ. 집합과 명제

1 ①     2 ④     3 ④     4 ④     5 ②

6 ②     7 ③     8 ③     9 ⑤    10 ②

11 ④    12 ⑤    13 ③   14 ①    15 ⑤

16 ④    17 ②    18 ④   19 ⑤    20 ②

21 ④    22 ④    23 ③   24 ⑤

1  ① ‘키가 작은’은 기준이 분명하지 않다.

2  [eqn: A = lbrace 2, ~ 4, ~ 6, ~ 8, ~ 10, ~ 12, ~ 14, ~ 16, ~ 18 rbrace]이므로

[eqn: 20 notin A]이다.

3  ① [eqn: □1,`2,`5,`10,`25,`50□]: 유한집합

② [eqn: lbrace a,~ e,~i,~o,~u rbrace]: 유한집합

③ [eqn: lbrace 10, ~ 15, ~ 20, ~ 25, ~ cdots , ~ 95 rbrace]: 유한집합

④ [eqn: lbrace 110, ~ 120, ~ 130, ~ cdots rbrace]: 무한집합

⑤ [eqn: emptyset]: 유한집합

4  ① [eqn: n ( A ) = 3]

② [eqn: n ( B ) = 0]

③ [eqn: n ( C ) = 1]

⑤ [eqn: E = lbrace 4 , ~ 8, ~12,~16 rbrace]이므로 [eqn: n ( E ) = 4]

5  [eqn: A = lbrace 1, ~ 2, ~ 3, ~4, ~ 6,~12 rbrace],

[eqn: B = lbrace 1, ~ 2, ~ 3, ~ 4, ~ 6, ~9, ~ 12, ~18,~36 rbrace]

이므로 [eqn: A subset B]

6  ② [eqn: lbrace 1 rbrace subset A]

7  [eqn: A = lbrace 9, ~ 18, ~ 27 rbrace]이므로 진부분집합은

[eqn: emptyset], [eqn: lbrace 9 rbrace], [eqn: □18□], [eqn: □27□],

[eqn: □9,`18□], [eqn: □9,`27□], [eqn: □18,`27□]

의 [eqn: 7]개다.

8  [eqn: A subset B]이고 [eqn: B subset A]이면 [eqn: A = B]이다.

[eqn: a + 2 = 11], [eqn: b + 1 = 3]이므로 [eqn: a = 9], [eqn: b = 2]

[eqn: therefore] [eqn: a + b = 9 + 2 = 11]

9  ① [eqn: emptyset]은 모든 집합의 부분집합이므로 [eqn: A]의 부분집합이다.

② [eqn: A]의 부분집합의 개수는 [eqn: 2 ^{ 3 } = 8]이다.

③ 원소가 [eqn: 1]개인 [eqn: A]의 부분집합은 [eqn: lbrace a rbrace], [eqn: lbrace b rbrace], [eqn: lbrace c rbrace]의 [eqn: 3]개이다.

④ 원소가 [eqn: 2]개인 [eqn: A]의 부분집합은 [eqn: lbrace a,~b rbrace], [eqn: lbrace a,~c rbrace],
[eqn: lbrace b, ~ c rbrace]의 [eqn: 3]개이다.

⑤ [eqn: b]를 포함하는 [eqn: A]의 부분집합의 개수는
[eqn: 2 ^{ 3 - 1 } = 2 ^{ 2 } = 4]이다.

따라서 옳은 것은 ⑤이다.

10  집합 [eqn: A]는 [eqn: □1,`2,`3,`4□]의 부분집합 중 원소 [eqn: 1], [eqn: 2]를 반드시 포함하는 집합이므로

[eqn: 2 ^{4-2} =2 ^{2} =4](개)

Ⅱ. 집합과 명제

11  [eqn: A ^{ C } smallunion B ^{ C } = ( A smallinter B ) ^{ C } = lbrace 1, ~ 2, ~ 3, ~ 6, ~ 7, ~ 8 rbrace]

[eqn: A^C smallinter B ^{ C } = (A cup B)^C = lbrace 2,~ 3 rbrace]

[eqn: therefore] [eqn: ( A ^{ C } smallunion B ^{ C }` ) -( A^C smallinter B ^{ C } `)][eqn: = left{1,~6,~7,~8 right}]

12  ⑤ [eqn: A subset B]이면 [eqn: A smallinter B = A]

13  [eqn: A smallinter B = lbrace 3, ~ 4 rbrace]이므로

[eqn: a + 2 = 4]   [eqn: therefore] [eqn: a = 2]

[eqn: therefore][eqn: B = lbrace 0, ~ 1, ~ 2, ~ 3, ~ 4 rbrace]

따라서 [eqn: A CUP B=□0,`1,`2,`3,`4,`5□]이므로 모든 원소의 합은

[eqn: 0+1+2+3+4+5=15]

14  주어진 벤 다이어그램의 색칠한 부분이 나타내는 집합은 [eqn: (A cup B)^C]이다.

[eqn: A cup B =left{ b,~c,~e,~f,~g right}]이므로

[eqn: (A cup B)^C][eqn: = U-(A cup B)][eqn: = left{ a,~d right}]

15  [eqn: n(A cup B) = n(A ) + n(B) - n (A cap B)]이므로

[eqn: n(A cap B) = n(A ) + n(B) - n (A cup B)]

[eqn: = 17+12-26 = 3]

∴ [eqn: n (A ^C `cup B^C ``)][eqn: = n ( (A cap B ) ^C``)]

[eqn: = n(U) - n(A cap B)]

[eqn: = 35-3=32]

16  ㄴ, ㅁ. 참, 거짓을 판별할 수 없으므로 명제가 아니다.

ㄱ, ㄹ. 참인 명제이다.

ㄷ. 거짓인 명제이다.

따라서 명제인 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다.

17  [eqn: x+1=2x]    ∴ [eqn: x=1]

따라서 조건 [eqn: p]의 진리집합은 [eqn: lbrace 1 rbrace]이다.

18  주어진 명제가 거짓임을 보이기 위한 반례는 [eqn: x] 또는 [eqn: y]가 무리수이지만 [eqn: xy]는 유리수인 경우이다.

따라서 [eqn: x = sqrt3], [eqn: y = sqrt { 3 }]일 때, [eqn: x], [eqn: y]는 무리수이지만 [eqn: xy=3]은 유리수이므로 반례로 알맞은 것은 ④이다.

19  ‘어떤’의 부정은 ‘모든’이고, ‘또는(이거나)’의 부정은 ‘그리고(이고)’이므로 주어진 명제의 부정은

‘모든 [eqn: x]에 대하여 [eqn: -1 < x leq 3]이다.’

20  ① 명제: 참, 역: 거짓

② 명제: 참, 역: 참

③ 명제: 거짓, 역: 거짓

④ 명제: 참, 역: 거짓

⑤ 명제: 참, 역: 거짓

난이도별 테스트(하)

21  조건 [eqn: LEFT | x right | = 1]을 만족하는 진리집합은

[eqn: lbrace - 1 , ~ 1 rbrace]이므로

ㄱ. [eqn: lbrace x `|` x leq 1 rbrace superset lbrace - 1 , ~ 1 rbrace]

필요조건이지만 충분조건은 아니다.

ㄴ. [eqn: lbrace x ` | ` x geq - 1 rbrace superset lbrace - 1 , ~ 1 rbrace]

필요조건이지만 충분조건은 아니다.

ㄷ. [eqn: lbrace x `|` x ^{ 2 } = 1 rbrace = lbrace - 1 , ~ 1 rbrace]

필요충분조건이다.

따라서 [eqn: LEFT | x right | = 1]이기 위한 필요조건이지만 충분조건이 아닌 것은 ㄱ, ㄴ이다.

22  ㈎ [eqn: p]: [eqn: xy <0], [eqn: q]: [eqn: x> 0]이고 [eqn: y<0]

이라 하면

[eqn: p]: [eqn: x> 0], [eqn: y<0] 또는 [eqn: x<0], [eqn: y>0]

즉, [eqn: q`` RARROW ``p]이므로 [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 필요조건이다.

㈏ [eqn: p`:`xy =0], [eqn: q `:`x=0]이고 [eqn: y=0]

이라 하면

[eqn: p]:  [eqn: x=0] 또는 [eqn: y =0]

즉, [eqn: q`` RARROW ``p]이므로 [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 필요조건이다.

23  조건 [eqn: sim q]의 진리집합은 [eqn: Q^C]이므로 [eqn: P subset Q ^{ C }]

따라서 두 집합 [eqn: P], [eqn: Q]의 포함 관계는 다음 벤 다이어그램과 같으므로 항상 옳은 것은 ③이다.

24  [eqn: a > 0]이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여

[eqn: 6 a + {12}over{ a } geq 2 sqrt { 6a times {12 }over{ a } } = 12 sqrt { 2 }]

(단, 등호는 [eqn: 6 a = { 12 }over{ a }], 즉 [eqn: a = sqrt { 2 }]일 때 성립)

따라서 [eqn: 6 a + { 12 }over{ a }]의 최솟값은 [eqn: 12 sqrt { 2 }]이다.