난이도별 테스트(하)

정답과 해설

Ⅲ. 함수와 그래프

1 ②     2 [eqn: 2]      3 ⑤    4 ⑤     5 ④

6 ②     7 [eqn: 5]      8 ④    9 ③     10 ⑤

11 ⑤    12 ④    13 ⑤   14 ②    15 ③

16 ③    17 ④    18 ②   19 ③    20 ②

21 ①    22 ③    23 ④   24 ③

1  ① [eqn: f ( 1 ) = -1], [eqn: f ( 2 ) = - 5], [eqn: f ( 3 ) = - 9]

② [eqn: f ( 1 ) = 2], [eqn: f ( 2 ) = - 1], [eqn: f ( 3 ) = - 4]

③ [eqn: f ( 1 ) = 2], [eqn: f ( 2 ) = 5], [eqn: f ( 3 ) =8]

④ [eqn: f ( 1 ) = -1], [eqn: f ( 2 ) = -4], [eqn: f ( 3 ) = -9]

⑤ [eqn: f ( 1 ) = 2], [eqn: f ( 2 ) = 9], [eqn: f ( 3 ) = 28]

따라서 함수 [eqn: f]가 될 수 있는 것은 ②이다.

2  [eqn: f(-2)=4-1=3,````f(-1)=1-1=0,]

[eqn: f(0)=-1,````f(1)=1-1=0,````f(2)=4-1=3]

따라서 치역은 [eqn: LEFT { -1,```0,````3 RIGHT }]이므로

[eqn: -1+0+3=2]

3  [eqn: f=g]이려면 정의역의 모든 원소 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f(x)=g(x)]이어야 한다.

ㄱ. [eqn: f(-1)=-1,```f(0)=0,````f(1)=1]

[eqn: g(-1)=1,````g(0)=0,````g(1)=1]

ㄴ. [eqn: f(-1)=-3,```f(0)=-1,````f(1)=1]

[eqn: g(-1)=-1,````g(0)=1,````g(1)=3]

ㄷ. [eqn: f(-1)=0,```f(0)=1,````f(1)=2]

[eqn: g(-1)=0,````g(0)=1,````g(1)=2]

ㄹ. [eqn: f(-1)=2,```f(0)=1,````f(1)=2]

[eqn: g(-1)=2,````g(0)=1,````g(1)=2]

따라서 [eqn: f=g]인 것은 ㄷ, ㄹ이다.

4  일대일대응이면 (공역)[eqn: =](치역)이므로 주어진 함수의 치역을 각각 구하면

① [eqn: left{ 0,~1right}]      ② [eqn: left{ 0,~1right}]      ③ [eqn: left{ 0,~1,~2 right}]

④ [eqn: left{ 0,~1right}]      ⑤ [eqn: left{ -1,~0,~1 right}]

따라서 일대일대응인 것은 ⑤이다.

5  함수의 개수는 [eqn: p = 4^{ 3 } = 64](개)

일대일함수의 개수는 [eqn: q = 4 times 3 times 2 times 1 = 24](개)

[eqn: therefore] [eqn: p +q = 64+24=88]

6  [eqn: f ( sqrt 3 } ) = (sqrt3 )^4 = 9]이므로

[eqn: ( f circ f ) ( sqrt { 3 } ) = f ( `` f ( sqrt { 3 } ) )]

[eqn: = f ( 9 ) = sqrt {9 } = 3]

7  [eqn: ( f circ f ) ( k ) = f(f(k))= 2]에서

[eqn: f(k) =1]    ∴ [eqn: k=5]

8  [eqn: (g CIRC f)(x)= g(f(x))= 2x-3]에서

[eqn: { f ( x ) -2 }over{ 3} = 2 x -3]

[eqn: therefore] [eqn: f ( x ) = 6 x - 7]

9  [eqn: g left( - 1over2 right) = - 3 over2]이므로

[eqn: (f CIRC g) left( - 1over2 right)= f left( - 3 over2 right) = 1]

[eqn: f left( - 1over2 right) = 1over4]이므로

[eqn: (g CIRC f) left( - 1over2 right) = g left( 1over4 right) = - 3over4]

∴ [eqn: (f CIRC g) left( - 1over2 right) + (g CIRC f) left( - 1over2 right) = 1- 3over4 = 1over4]

Ⅲ. 함수와 그래프

10  [eqn: f ( 1 ) = 5]에서 [eqn: a + b = 5]     [eqn: CDOTSCDOTS]㉠

[eqn: f ^{ - 1 } ( 1 ) = - 1]에서 [eqn: f ( -1 ) = 1]이므로

[eqn: - a + b = 1]                    [eqn: CDOTSCDOTS]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: a = 2], [eqn: b = 3]

따라서 [eqn: f ( x ) = 2 x + 3]이므로

[eqn: f ( 2 ) =7]

11  함수 [eqn: f]의 역함수가 존재하므로 [eqn: f]는 일대일대응이다.

따라서 [eqn: f ^{ - 1 } ( 1 ) + f ^{ - 1 } ( 3 ) + f ^{ - 1 } ( 5 ) + f ^{ - 1 } ( 7)]의 값은 정의역의 원소의 합과 같으므로

[eqn: f ^{ - 1 } ( 1 ) + f ^{ - 1 } ( 3 ) + f ^{ - 1 } ( 5 ) + f ^{ - 1 } ( 7)][eqn: = 1 + 3+ 5 + 7 = 16]

12  [eqn: y = 1over2 x -1]이라 하면

[eqn: x =2 y +2]

[eqn: x]와 [eqn: y]를 서로 바꾸면

[eqn: y = 2x+2]

따라서 [eqn: g ( x ) = 2x+2]이므로

[eqn: ( g circ g circ g ) ( 1 )][eqn: =g(g(g(1)))=g(g(4))]

[eqn: = g ( 10 ) =22]

13   [eqn: { a ^{ 2 } - b ^{ 2 } }over{ a ^{ 2 } + b ^{ 2 } + 2 ab }][eqn: = { ( a + b ) ( a - b ) }over{ ( a +b ) ^{ 2 } } = { a - b }over{ a +b }]

14  [eqn: { x + 2 }over{ x } - { x + 3 }over{ x + 1 } - { x - 5 }over{ x - 3 } + { x - 6 }over{ x - 4 }]

[eqn: = LEFT ( 1 + { 2 }over{ x } right ) - LEFT ( 1 + { 2 }over{ x + 1 } right ) - LEFT ( 1 - { 2 }over{ x - 3 } right )][eqn: + LEFT ( 1 - { 2 }over{ x - 4 } right )]

[eqn: = { 2 }over{ x } - { 2 }over{ x + 1 } + { 2 }over{ x - 3 } - { 2 }over{ x - 4 }]

[eqn: = { 2 }over{ x ( x + 1 ) } + { - 2 }over{ ( x - 3 ) ( x - 4 ) }]

[eqn: = { 2 ( x - 3 ) ( x - 4 ) - 2 x ( x + 1 ) }over{ x ( x + 1 ) ( x - 3 ) ( x - 4 ) }]

[eqn: = { - 16 x + 24 }over{ x ( x + 1 ) ( x - 3 ) ( x - 4 ) }]

[eqn: therefore] [eqn: a = - 16], [eqn: b = 24]

15  [eqn: f(x) = { 2 ( x - 3 ) + 1 }over{ x - 3 } = { 1 }over{ x - 3 } +2]

이때 함수 [eqn: f(x)]의 치역이 [eqn: lbrace y `|` y leq 0] 또는 [eqn: y geq 3 rbrace]이므로 [eqn: y= f(x)]의 그래프는 다음 그림과 같다.

[eqn: y=0]일 때, [eqn: { 2 x - 5 }over{ x - 3 } = 0]에서 [eqn: x = { 5 }over{ 2 }]

[eqn: y = 3]일 때, [eqn: { 2 x - 5 }over{ x - 3 } = 3]에서 [eqn: x = 4]

따라서 정의역은 [eqn: LEFT lbrace x ` LEFT |` { 5 }over{ 2 } leq x < 3 ```또는~`3 < x leq 4 right rbrace right .]이므로 원소인 것은 [eqn: 4]이다.

난이도별 테스트(하)

16  [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 3]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동하면

[eqn: y - 2 = { 2 ( x - 3 ) }over{ 2 ( x - 3 ) + 1 }]

[eqn: therefore] [eqn: y = - { 1 }over{ 2 x - 5 } +3]

따라서 [eqn: a= -1], [eqn: b = -5], [eqn: c= 3]이므로

[eqn: a+b+c][eqn: = -3]

17  유리함수 [eqn: y = { ax + 1 }over{ x + b }]의 그래프의 점근선의 방정식이 [eqn: x = - 1], [eqn: y = 2]이므로

[eqn: a=2], [eqn: -b = -1]

따라서 [eqn: a=2], [eqn: b = 1]이므로

[eqn: ab =2]

18  [eqn: g ( 2 ) = a]라 하면 [eqn: f ( a ) = 2]

[eqn: f ( a ) = { 3 a - 1 }over{ 2 a - 1 } = 2], [eqn: 3 a - 1 = 4a-2]

[eqn: therefore] [eqn: a = 1]

[eqn: therefore] [eqn: g ( 2) =1]

19  [eqn: sqrt x+3]이 실수가 되려면 [eqn: x ge -3]

[eqn: 1 over sqrt{2-x}]이 실수가 되려면 [eqn: x<2]

∴ [eqn: - 3 le x < 2]

따라서 정수 [eqn: x]는 [eqn: -3], [eqn: -2], [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: 1]의 [eqn: 5]개이다.

20  [eqn: { 2 }over{ 1 - { 1 }over{ sqrt { 3 } } } = { 2 }over{ { sqrt { 3 } - 1 }over{ sqrt { 3 } } } = { 2 sqrt { 3 } }over{ sqrt { 3 } - 1 }]

[eqn: = { 2 sqrt { 3 } ( sqrt { 3 } + 1 ) }over{ 2 } = 3 + sqrt { 3 }]

[eqn: { 1 }over{ 1 - { 1 }over{ 1 - { 1 }over{ sqrt { 3 } } } } = { 1 }over{ 1 - { 1 }over{ { sqrt { 3 } - 1 }over{ sqrt { 3 } } } } = { 1 }over{ 1 - { sqrt { 3 } }over{ sqrt { 3 } - 1 } }]

[eqn: = { 1 }over{ { sqrt { 3 } - 1 - sqrt { 3 } }over{ sqrt { 3 } - 1 } } = 1 - sqrt { 3 }]

[eqn: therefore] [eqn: { 2 }over{ 1 - { 1 }over{ sqrt { 3 } } } + { 1 }over{ 1 - { 1 }over{ 1 - { 1 }over{ sqrt { 3 } } } }]

[eqn: = 3 + sqrt { 3 } + ( 1 - sqrt { 3 } ) = 4]

21  [eqn: y= -sqrt {a(x-2)} + 1]의 그래프가 점 [eqn: ( 0 ,~-1)]을 지나므로

[eqn: -1=- sqrt {-2a} +1]

[eqn: sqrt {-2a} =2]

[eqn: therefore] [eqn: a = - 2]

[eqn: therefore] [eqn: y = - sqrt { - 2 x + 4 } + 1]

따라서 [eqn: a= -2], [eqn: b = 4], [eqn: c=1]이므로

[eqn: bc over a = 4 over -2 = -2]

22  [eqn: {4 }over{ x - { x - 1 }over{ x + 1 } } = { 4}over{ { ( x ^{ 2 } + x ) - ( x - 1 ) }over{ x + 1 } }]

[eqn: = { 4 }over{ { x ^{ 2 } + 1 }over{ x + 1 } } = { 4( x + 1 ) }over{ x ^{ 2 } + 1 }]

∴ [eqn: { 4}over{ x - { x - 1 }over{ x + 1 } }][eqn: = {4 ( sqrt {3 } + 1 ) }over{3 + 1 } = sqrt {3 } + 1]

Ⅲ. 함수와 그래프

23  ㄹ. [eqn: y = sqrt { x } - 1]의 그래프를 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동하면 [eqn: y = -sqrt { x } + 1]
[eqn: y = -sqrt { x } + 1]의 그래프를 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동하면 [eqn: y = -sqrt { -x } + 1]
즉, 두 무리함수 [eqn: y = sqrt { x } - 1], [eqn: y = 1 - sqrt { - x }]의  그래프는 대칭이동만으로 포갤 수 있다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

24  함수 [eqn: y = sqrt { x + 2 }]와 그 역함수의 그래프의 교점은 [eqn: y = sqrt { x + 2 }]의 그래프와 직선 [eqn: y = x]의 교점과 같다.

[eqn: sqrt { x + 2 } = x]에서

[eqn: x ^{ 2 } - x - 2 = 0], [eqn: (x+1)(x-2) =0]

[eqn: THEREFORE ``x=2] [eqn: ( because] [eqn: x geq 0 )]

따라서 점 [eqn: rm P (2,~2)]에서 원점까지의 거리는

[eqn: sqrt { 2^2 + 2^2 } = 2sqrt2]