Ⅲ. 수열

난이도별 테스트(상)	학년 반	맞은 개수
	이름	/16개

1 공차가 [eqn: 5]인 등차수열 [eqn: lbrace a _{ n } rbrace]에서 [eqn: a _{ 15 } = 13]일 때, [eqn: LEFT | a _{ n } right |]의 값이 최소가 되는 자연수 [eqn: n]의 값은?

①	[eqn: 12]	②	[eqn: 13]	③	[eqn: 14]
④	[eqn: 15]	⑤	[eqn: 16]

2 이차방정식 [eqn: x ^{ 2 } - 4 x - 12 = 0]의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta]일 때, [eqn: p]는 [eqn: { 1 }over{ alpha }], [eqn: { 1 }over{ beta }]의 등차중항이고, [eqn: q]는 [eqn: alpha], [eqn: beta]의 등차중항이다. 이때 두 수 [eqn: p], [eqn: q]의 등차중항은?

①	[eqn: - { 1 }over{ 4 }]	②	[eqn: { 1 }over{ 2 }]	③	[eqn: { 5 }over{ 8 }]
④	[eqn: { 3 }over{ 4 }]	⑤	[eqn: { 11 }over{ 12 }]

3 고대 이집트의 수학 문헌인 아메스 파피루스(기원전 [eqn: 1650]년경)에는 다음과 같은 문제가 기록되어 있다.

다섯 사람에게 [eqn: 120]개의 빵을 나누어 주는데, 각자의 배당 몫이 등차수열을 이루고, 가장 적게 배당 받은 사람의 몫과 그 다음으로 적게 배당받은 사람의 몫의 합이 나머지 세 사람의 몫의 합의 [eqn: {1} over {7}]이 되도록 하라.

위와 같이 빵을 나누어 줄 때, 가장 많이 배당받은 사람의 몫은?

①	[eqn: 44]개	②	[eqn: 46]개	③	[eqn: 48]개
④	[eqn: 50]개	⑤	[eqn: 52]개

4 좌표평면 위의 점 [eqn: rm A _{it n rm} it (a _{n} ,~b _{n} )]이 [eqn: rm A _{1} it (1,~0)], [eqn: rm A _{2} it (3,~3)], [eqn: { rm A _{ 3 } } ( 5 , ~6 )], [eqn: { rm A _{ 4 } } ( 7 ,~9)], [eqn: { rm A _{ 5 } } ( 9 ,~12)], [eqn: rm A _{6} it (11,~15)], [eqn: cdots]일 때, 다음 중 점 [eqn: { rm A _{ 30 } }]을 지나는 직선은?

①	[eqn: y = { 51 }over{ 35 } x]	②	[eqn: y = { 19 }over{ 13 } x]	③	[eqn: y = { 14 }over{ 13 } x]
④	[eqn: y = { 30 }over{ 7 } x]	⑤	[eqn: y = { 87 }over{ 59 } x]

Ⅲ. 수열

5 [eqn: 1]부터 [eqn: 100]까지의 자연수를 작은 수부터 차례로 나열한 후 홀수 번째의 수를 모두 지우고, 다시 남은 수들의 홀수 번째 수를 모두 지웠을 때, 남아 있는 수들의 합을 [eqn: S]라 한다. 이때 [eqn: {S} over {10}]의 값은?

①	[eqn: 130]	②	[eqn: 140]	③	[eqn: 150]
④	[eqn: 160]	⑤	[eqn: 170]

6 두 자리의 자연수 중에서 [eqn: 6] 또는 [eqn: 9]로 나누어떨어지는 수의 총합은?

①	[eqn: 1022]	②	[eqn: 1025]	③	[eqn: 1120]
④	[eqn: 1125]	⑤	[eqn: 1134]

7 세 수 [eqn: a,~b,~c] ([eqn: a>b>c])가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: a+b+c]의 값을 구하시오.

(가) [eqn: a,~b,~c]는 이 순서대로 등차수열을 이룬다.

(나) [eqn: c,~a,~b]는 이 순서대로 등비수열을 이룬다.

(다) [eqn: abc=81]

8 다음 그림과 같이 점 [eqn: { rm P _{ 0 } } ( 12 ,~ 0 )]을 지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선이 직선 [eqn: y = - { 1 }over{ 2 } x]와 만나는 점을 [eqn: { rm P _{ 1 } }], 점 [eqn: { rm P _{ 1 } }]을 지나고 [eqn: y]축에 수직인 직선이 직선 [eqn: y = x]와 만나는 점을 [eqn: { rm Q _{ 1 } }], 점 [eqn: { rm Q _{ 1 } }]을 지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선이 직선 [eqn: y = - { 1 }over{ 2 } x]와 만나는 점을 [eqn: { rm P _{ 2 } }], 점 [eqn: { rm P _{ 2 } }]를 지나고 [eqn: y]축에 수직인 직선이 직선 [eqn: y = x]와 만나는 점을 [eqn: { rm Q _{ 2 } }]라 하자. 이와 같은 시행을 반복하여 생기는 점 [eqn: { rm P _{ 8 } }]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: a], 점 [eqn: { rm Q _{ 10 } }]의 [eqn: y]좌표를 [eqn: b]라 할 때, [eqn: { a }over{ b }]의 값을 구하시오.

난이도별 테스트(상)

9  한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정삼각형 [eqn: { rm C _{ 1 } }]이 있다. [eqn: { rm C _{ 1 } }]의 세 변을 각각 삼등분하고, 가운데 선분 위에 다시 한 변의 길이가 [eqn: { 1 }over{ 3 }]인 작은 정삼각형들을 덧붙인 도형을 [eqn: { rm C _{ 2 } }]라 한다. 이와 같은 방법으로 도형 [eqn: { rm C _{ it n } }]의 각 변을 삼등분하고 가운데 선분 위에 다시 정삼각형을 덧붙인 도형을 [eqn: rm C _{it n+1}]이라 할 하자. 도형 [eqn: { rm C _{it n } }]의 둘레의 길이 [eqn: l _{ n }]이라 할 때,  [eqn: l _{ 1 } + l _{ 2 } + cdots + l _{ 20 }]의 값을 구하시오.

10 어떤 가정에서 연이율 [eqn: 6%], [eqn: 1]년마다의 복리로 저금하여 [eqn: 5]년 말의 원리합계가 [eqn: 530]만 원이 되게 하려면 올해 초부터 매년 초에 얼마씩 적립하여야 하는가?

(단, [eqn: 1.06 ^{5} =1.3]으로 계산한다.)

①	[eqn: 800000]원	②	[eqn: 850000]원	③	[eqn: 900000]원
④	[eqn: 950000]원	⑤	[eqn: 1000000]원

11 [eqn: sum _{k=n} ^{2n} (2k+5)]의 값이 [eqn: 13]의 배수가 되도록 자연수 [eqn: n]의 값을 정할 때, [eqn: n]의 값을 작은 것부터 차례대로 나열하면 [eqn: n _{ 1 }], [eqn: n _{ 2 }], [eqn: n _{ 3 }], [eqn: cdots]이다. 이때 [eqn: n _{ 2 } - n _{ 1 }]의 값은?

①	[eqn: 5]	②	[eqn: 7]	③	[eqn: 12]
④	[eqn: 19]	⑤	[eqn: 26]

12 다음 그림과 같이 함수 [eqn: y = sqrt { x }]의 그래프와 [eqn: x]축이 두 직선 [eqn: x = k], [eqn: x = k + 1]과 만나는 네 점을 꼭짓점으로 하는 사각형의 넓이를 [eqn: S _{ k }]라 할 때, [eqn: sum _{ k = 1 } ^{ 120 } { 1 }over{ S _{ k } }]의 값은? (단, [eqn: k]는 자연수이다.)

①	[eqn: 10]	②	[eqn: 20]	③	[eqn: 30]
④	[eqn: 40]	⑤	[eqn: 50]

Ⅲ. 수열

13 [eqn: a _{ 1 } = 0], [eqn: a _{ n + 1 } = 4 a _{ n } + 2 ^{ n + 1 }]으로 정의된 수열 [eqn: lbrace a _{ n } rbrace]에 대하여 수열 [eqn: lbrace b _{ n } rbrace]이 [eqn: b _{ n } = a _{ n } + 2 ^{ n }]일 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

(단, [eqn: n = 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots]이다.)

	<보기>
ㄱ. [eqn: sum _{k=1} ^{n} (b _{k} -a _{k} )= {1} over {2} (2 ^{n-1} -1)] ㄴ. 수열 [eqn: □b _{n} □]은 등비수열이다. ㄷ. 수열 [eqn: □b _{n+1} -b _{n} □]은 등비수열이다.

①	ㄱ	②	ㄱ, ㄴ	③	ㄱ, ㄷ
④	ㄴ, ㄷ	⑤	ㄱ, ㄴ, ㄷ

14 수열 [eqn: lbrace a _{ n } rbrace]에서 [eqn: a _{ 1 } = 1], [eqn: a _{ 2 } = 3]이고 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{ n }]에 대하여

[eqn: (S _{n+1} -S _{n-1} ) ^{2} =4a _{n} a _{n+1} +4`(n=2,~3,~4,~ CDOTS )]가 성립한다. 이때 [eqn: a _{ 35 }]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: a _{ 1 } < a _{ 2 } < a _{ 3 } < cdots < a _{ n }]이다.)

15 다음은 [eqn: n geq 2]인 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식 [eqn: { 1 }over{ sqrt { 2 } } + { 1 }over{ sqrt { 3 } } + cdots + { 1 }over{ sqrt { n } } < 2 sqrt { n } - 2]가 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

(ⅰ) [eqn: n=2]일 때

[eqn: (2 sqrt {2} -2)- {1} over {sqrt {2}} = {3-2 sqrt {2}} over {sqrt {2}} >0]이므로 [eqn: {1} over {sqrt {2}} <2 sqrt {2} -2]

(ⅱ) [eqn: n=k`(k GEQ 2)]일 때

[eqn: {1} over {sqrt {2}} + {1} over {sqrt {3}} + CDOTS + {1} over {sqrt {k}} <2 sqrt {k} -2]

가 성립한다고 가정하면

[eqn: {1} over {sqrt {2}} + {1} over {sqrt {3}} + CDOTS + {1} over {sqrt {k}} +] (가)

[eqn: <2 sqrt {k} -2+] (가)

가 성립한다. 그런데

[eqn: 2 sqrt {k+1} -2-(2 sqrt {k} -2+] (가) [eqn: )][eqn: = {2k+1-2 sqrt {k ^{2} +k}} over {sqrt {k+1}}]

이므로 [eqn: 2 sqrt {k} -2+] (가) [eqn: <2 sqrt {k+1} -2]

따라서 [eqn: {1} over {sqrt {2}} + {1} over {sqrt {3}} + CDOTS + {1} over {sqrt {k+1}} <] (나)

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: n GEQ 2]인 자연수 [eqn: n]에 대하여 주어진 부등식이 성립한다.

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 것은?

	(가)	(나)
①	[eqn: { sqrt { k } }over{ sqrt { k + 1 } }]	[eqn: 2 sqrt { k + 1 } - 3]
②	[eqn: { sqrt { k } }over{ sqrt { k + 1 } }]	[eqn: 2 sqrt { k + 1 } - 2]
③	[eqn: { 1 }over{ sqrt { k + 1 } }]	[eqn: 2 sqrt { k + 1 } - 3]
④	[eqn: { 1 }over{ sqrt { k + 1 } }]	[eqn: 2 sqrt { k + 1 } - 2]
⑤	[eqn: { 1 }over{ sqrt { k + 1 } }]	[eqn: 2 sqrt { k + 1 } - 1]

난이도별 테스트(상)

16  다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 3 ^{ 2 n } - 1]이 [eqn: 8]로 나누어떨어짐을 수학적 귀납법으로 증명하는 과정이다.

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때

[eqn: 3 ^{2} -1=8]이므로 [eqn: 8]로 나누어떨어진다.

(ⅱ) [eqn: n=k]일 때

[eqn: 3 ^{2k} -1]이 [eqn: 8]의 배수라고 가정하면

[eqn: 3 ^{2k} -1=8m`]([eqn: m]은 자연수)

[eqn: n=k+1]일 때

[eqn: 3 ^{2(k+1)} -1=] (가) [eqn: TIMES 3 ^{2k} -1]

[eqn: =8(3 ^{2k} +] (나) [eqn: )]

따라서 [eqn: n = k + 1]일 때도 [eqn: 3 ^{ 2 n } - 1]은 [eqn: 8]로 나누어떨어진다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 3 ^{2n} -1]은 [eqn: 8]로 나누어떨어진다.

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 것을 구하시오.