Ⅲ. 수열

난이도별 테스트(중)	학년 반	맞은 개수
	이름	/20개

1 등차수열 [eqn: lbrace a _{ n } rbrace]에서 제[eqn: 4]항과 제[eqn: 10]항은 절댓값이 같고 부호가 반대이며, 제[eqn: 6]항은 [eqn: - 8]일 때, [eqn: a _{ 50 }]의 값은?

①	[eqn: 320]	②	[eqn: 322]	③	[eqn: 344]
④	[eqn: 352]	⑤	[eqn: 362]

2 직각삼각형의 세 변의 길이 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: 8]이 이 순서대로 등차수열을 이루고 [eqn: a < b < 8]일 때, [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하시오.

3 등차수열을 이루는 네 수가 있다. 이 네 수의 합은 [eqn: 40]이고, 가운데 두 수의 곱은 처음 수와 마지막 수의 곱보다 [eqn: 72]가 더 크다고 할 때, 이들 네 수 중 가장 큰 수를 구하시오.

4 첫째항이 [eqn: 70], 공차가 [eqn: - 4]인 등차수열의 첫째항부터 제몇 항까지의 합이 처음으로 음수가 되는지 구하시오.

5 등비수열 [eqn: lbrace a _{ n } rbrace]에 대하여

[eqn: a _{ 3 } + a _{ 4 } = 24], [eqn: a _{ 3 } : a _{ 4 } = 2 : 1]

일 때, [eqn: a _{ 9 }]의 값은?

①	[eqn: { 1 }over{ 32 }]	②	[eqn: { 1 }over{ 16 }]	③	[eqn: { 1 }over{ 8 }]
④	[eqn: { 1 }over{ 4 }]	⑤	[eqn: { 1 }over{ 2 }]

Ⅲ. 수열

6 제[eqn: 2]항이 [eqn: 12], 제[eqn: 4]항이 [eqn: 108]이고 공비가 양수인 등비수열 [eqn: lbrace a _{ n } rbrace]에서 처음으로 [eqn: 2000]보다 커지는 항은 제몇 항인가?

①	제[eqn: 5]항	②	제[eqn: 6]항	③	제[eqn: 7]항
④	제[eqn: 8]항	⑤	제[eqn: 9]항

7 다항식 [eqn: f ( x ) = x ^{ 2 } + 3 x + a]에 대하여 [eqn: f ( x )]를 [eqn: x - 1], [eqn: x], [eqn: x + 1]로 나누었을 때의 나머지가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, [eqn: f ( x )]를 [eqn: x + 3]으로 나누었을 때의 나머지를 구하시오. (단, [eqn: a]는 상수이다.)

8 서로 다른 세 수 [eqn: 6], [eqn: a], [eqn: b]가 이 순서대로 등차수열을 이루고, 세 수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: 6]은 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하시오.

9 다음 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정삼각형 [eqn: { rm ABC }] 모양의 종이가 있다. 첫 번째 시행에서 각 변의 중점을 이어서 만든 정삼각형 [eqn: { rm A _{ 1 } B _{ 1 } C _{ 1 } }] 모양을 잘라내고, 두 번째 시행에서는 첫 번째 시행의 결과로 남은 [eqn: 3]개의 정삼각형 모양의 종이에서 같은 방법으로 각각의 한가운데 정삼각형 모양을 잘라낸다. 이와 같은 시행을 [eqn: 15]회 반복한 후 남아 있는 종이의 넓이는?

①	[eqn: LEFT ( { 3 }over{ 5 } right ) ^{ 15 } sqrt { 3 }]	②	[eqn: LEFT ( { 3 }over{ 4 } right ) ^{ 15 }]	③	[eqn: LEFT ( { 3 }over{ 4 } right ) ^{ 15 } sqrt { 3 }]
④	[eqn: LEFT ( { 3 }over{ 2 } right ) ^{ 15 }]	⑤	[eqn: LEFT ( { 3 }over{ 2 } right ) ^{ 15 } sqrt { 3 }]

10 첫째항부터 제[eqn: 10]항까지의 합이 [eqn: 3]이고, 제[eqn: 11]항부터 제[eqn: 20]항까지의 합이 [eqn: 18]인 등비수열의 제[eqn: 21]항부터 제[eqn: 30]항까지의 합은?

①	[eqn: 97]	②	[eqn: 108]	③	[eqn: 112]
④	[eqn: 123]	⑤	[eqn: 135]

난이도별 테스트(중)

11 연이율 [eqn: 5`%], [eqn: 1]년마다의 복리로 매년 말에 [eqn: 8]만 원씩 [eqn: 10]년 동안 적립할 때, [eqn: 10]년 말의 적립금의 원리합계를 구하시오.

(단, [eqn: 1.05 ^{10} =1.6]으로 계산한다.)

12 수열 [eqn: lbrace a _{ n } rbrace]에 대하여 [eqn: sum _{ k = n } ^{ 3 n } a _{ k } = n ( n + 1 )]일 때, [eqn: sum _{ k = 1 } ^{ 39 } a _{ k }]의 값을 구하시오.

13 [eqn: sum _{ k = 1 } ^{ 100 } { 1 - 3 ^{ k } }over{ 2 ^{ k } } + sum _{ k = 30 } ^{ 100 } { 3 ^{ k } - 1 }over{ 2 ^{ k } }]의 값을 구하시오.

14 [eqn: sum _{ k = 1 } ^{ 10 } LEFT ( sum _{ j = 1 } ^{ 5 } jk right ) - sum _{ k = 1 } ^{ 5 } LEFT lbrace sum _{ j = 1 } ^{ 10 } ( j + k ) right rbrace]의 값은?

①	[eqn: 100]	②	[eqn: 120]	③	[eqn: 210]
④	[eqn: 300]	⑤	[eqn: 400]

15 [eqn: { 1 }over{ 3 ^{ 2 } - 1 }], [eqn: { 1 }over{ 5 ^{ 2 } - 1 }], [eqn: { 1 }over{ 7 ^{ 2 } - 1 }], [eqn: cdots]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 구하시오.

16 [eqn: a _{ 1 } = { 1 }over{ 4 }], [eqn: {a _{n+1}} over {a _{n}} = {1} over {2}`(n=1,~2,~3,~ CDOTS )]로 정의된 수열 [eqn: lbrace a _{ n } rbrace]에서 [eqn: a _{ 24 } = { 1 }over{ 2 ^{ k } }]을 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 값은?

①	[eqn: 23]	②	[eqn: 24]	③	[eqn: 25]
④	[eqn: 26]	⑤	[eqn: 27]

Ⅲ. 수열

17 수열 [eqn: lbrace a _{ n } rbrace]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{ n }]이[eqn: S _{ n } = 2 n ^{ 3 } - 2 n + 1]이다. [eqn: sum _{ k = 1 } ^{ n } { 1 }over{ a _{ k } } = { 15 }over{ 13 }]일 때, 자연수 [eqn: n]의 값은?

①	[eqn: 10]	②	[eqn: 11]	③	[eqn: 12]
④	[eqn: 13]	⑤	[eqn: 14]

18 자연수 [eqn: n]에 대하여 명제 [eqn: p ( n )]이 다음 조건을 만족시킬 때, 다음 중 반드시 참인 명제는?

(가) [eqn: p ( 1 )]이 참이다.

(나) [eqn: p ( n )]이 참이면 [eqn: p ( 3 n )]과 [eqn: p ( 4 n )]이 참이다.

①	[eqn: p ( 288 )]	②	[eqn: p ( 216 )]	③	[eqn: p ( 180 )]
④	[eqn: p ( 144 )]	⑤	[eqn: p ( 120 )]

19 다음은 [eqn: n geq 2]인 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식 [eqn: 1 + { 1 }over{ 2 } + { 1 }over{ 3 } + cdots + { 1 }over{ n } > { 2 n }over{ n + 1 }]이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

(ⅰ) [eqn: n = 2]일 때

(좌변)[eqn: = 1 + { 1 }over{ 2 } = { 3 }over{ 2 }], (우변)[eqn: = { 4 }over{ 3 }]

이므로 주어진 부등식이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k`(k GEQ 2)]일 때

주어진 부등식이 성립한다고 가정하면

[eqn: 1 + { 1 }over{ 2 } + { 1 }over{ 3 } + cdots + { 1 }over{ k } > { 2 k }over{ k + 1 }]

위의 부등식의 양변에  (가) 을(를) 더하면

[eqn: 1 + { 1 }over{ 2 } + cdots + { 1 }over{ k } +] (가) [eqn: > { 2 k }over{ k + 1 } +] (가)

위의 부등식의 우변에서

[eqn: { 2 k }over{ k + 1 } +] (가) [eqn: >] (나)

[eqn: therefore] [eqn: 1 + { 1 }over{ 2 } + cdots + { 1 }over{ k } +] (가) [eqn: >] (나)

따라서 [eqn: n = k + 1]일 때도 주어진 부등식이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: n geq 2]인 자연수 [eqn: n]에 대하여 주어진 부등식이 성립한다.

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 것은?

	(가)	(나)
①	[eqn: k + 1]	[eqn: { 2 k + 1 }over{ k + 2 }]
②	[eqn: k + 1]	[eqn: { 2 ( k + 1 ) }over{ k + 2 }]
③	[eqn: { 1 }over{ k + 1 }]	[eqn: { 2 k + 1 }over{ k + 2 }]
④	[eqn: { 1 }over{ k + 1 }]	[eqn: { 2 ( k + 1 ) }over{ k + 2 }]
⑤	[eqn: { 1 }over{ k + 1 }]	[eqn: k + 1]

난이도별 테스트(중)

20 다음은 [eqn: n geq 2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식 [eqn: (1+h) ^{n} >1+nh`(h>0)]가 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

(ⅰ) [eqn: n =] (가) 일 때

(좌변)[eqn: =(1+h) ^{2} =1+2h+h ^{2}]

[eqn: >][eqn: 1 + 2 h =](우변)

이므로 주어진 부등식이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k`(k GEQ] (가) [eqn: )]일 때

주어진 부등식이 성립한다고 가정하면

[eqn: ( 1 + h ) ^{ k } > 1 + kh]

위의 식의 양변에 [eqn: 1 + h]를 곱하면

[eqn: 1 + h > 0]이므로

[eqn: ( 1 + h ) ^{ k } ( 1 + h ) > ( 1 + kh ) ( 1 + h )]

[eqn: >1+(] (나) [eqn: )h]

[eqn: therefore] [eqn: (1+h) ^{k+1} >1+(] (나) [eqn: )h]

따라서 [eqn: n =] (나) 일 때도 주어진 부등식이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에서  (가)  이상인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 주어진 부등식이 성립한다.

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 것을 차례로 나열한 것은?

①	[eqn: 1], [eqn: k]	②	[eqn: 1], [eqn: k + 1]	③	[eqn: 1], [eqn: k + 2]
④	[eqn: 2], [eqn: k + 1]	⑤	[eqn: 2], [eqn: k + 2]