난이도별 테스트(상)

정답과 해설

I. 지수함수와 로그함수

1 [eqn: -15]   2 [eqn: 120]   3 ③    4 [eqn: 4]     5 ②

6 ⑤     7 [eqn: 2log _{2} `3-4]     8 [eqn: {2} over {3}]    9 ③

10 ⑤   11 ③   12 ③   13 [eqn: 2]

14 [eqn: -8 < a <1]   15 ③   16 [eqn: 27]

1 [eqn: LEFT ( {1} over {256} RIGHT ) ^{{1} over {n}} =(2 ^{-8} ) ^{{1} over {n}} =2 ^{- {8} over {n}}]

[eqn: 2 ^{- {8} over {n}}]이 자연수가 되려면 [eqn: - { 8 }over{ n }]이 음이 아닌 정수이어야 하므로 [eqn: - n]이 [eqn: 8]의 약수이어야 한다.

[eqn: therefore] [eqn: n = - 1], [eqn: - 2], [eqn: - 4], [eqn: - 8]

따라서 모든 정수 [eqn: n]의 값의 합은 [eqn: - 15]이다.

2 [eqn: ( abc ) ^{ n } = ( 3 ^{ { 1 }over{ 6 } } 5 ^{ { 1 }over{ 5 } } 7 ^{ { 1 }over{ 3 } } ) ^{ n }]에서 [eqn: ( abc ) ^{ n }]이 자연수가 되려면 [eqn: { 1 }over{ 6 } n], [eqn: { 1 }over{ 5 } n], [eqn: { 1 }over{ 3 } n]이 모두 자연수이어야 하므로 [eqn: n]은 [eqn: 6], [eqn: 5], [eqn: 3]의 공배수이다.

이때 [eqn: 6], [eqn: 5], [eqn: 3]의 공배수는 [eqn: 30], [eqn: 60], [eqn: 90], [eqn: 120], [eqn: 150], [eqn: 180], [eqn: cdots]이므로 세 자리의 자연수 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 120]이다.

3  [eqn: { a + a ^{ 2 } + a ^{ 3 } + cdots + a ^{ 199 } }over{ a ^{ - 2 } + a ^{ - 3 } + a ^{ - 4 } + cdots + a ^{ - 200 } }]

[eqn: = { a ^{ 201 } ( a + a ^{ 2 } + a ^{ 3 } + cdots + a ^{ 199 } ) }over{ a ^{ 201 } ( a ^{ - 2 } + a ^{ - 3 } + a ^{ - 4 } + cdots + a ^{ - 200 } ) }]

[eqn: = { a ^{ 201 } ( a + a ^{ 2 } + a ^{ 3 } + cdots + a ^{ 199 } ) }over{ a ^{ 199 } + a ^{ 198 } + a ^{ 197 } + cdots + a }][eqn: = a ^{ 201 }]

4 정육면체의 한 모서리의 길이를 [eqn: a]라 하면 정육면체의 부피가 [eqn: 2 ^{ 5 }]이므로

[eqn: a ^{ 3 } = 2 ^{ 5 }]   [eqn: therefore] [eqn: a = 2 ^{ { 5 }over{ 3 } }]  [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

대각선 [eqn: { rm AC }]의 길이는 [eqn: sqrt { 2 } a]이므로

삼각형 [eqn: { rm AFC }]는 한 변의 길이가 [eqn: sqrt {2} a]인 정삼각형이다. 이때 높이를 [eqn: h]라 하면

[eqn: h= sqrt {LEFT ( sqrt {2} a RIGHT ) ^{2} - LEFT ( {sqrt {2} a} over {2} RIGHT ) ^{2}} = {sqrt {6}} over {2} a]이므로

삼각형 [eqn: { rm AFC }]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES sqrt {2} a TIMES {sqrt {6}} over {2} a= {sqrt {3}} over {2} a ^{2}]

㉠을 대입하면

[eqn: {sqrt {3}} over {2} TIMES (2 ^{{5} over {3}} ) ^{2} = sqrt {3} TIMES 2 ^{{7} over {3}}]

따라서 [eqn: p = 7], [eqn: q = 3]이므로

[eqn: p - q = 7 - 3 = 4]

5 [eqn: a ^{ x } = 16 = 2 ^{ 4 }]에서 [eqn: a = 2 ^{ { 4 }over{ x } }]	[eqn: cdotscdots]㉠

[eqn: b ^{ y } = 16 = 2 ^{ 4 }]에서 [eqn: b = 2 ^{ { 4 }over{ y } }]	[eqn: cdotscdots]㉡

[eqn: c ^{ z } = 16 = 2 ^{ 4 }]에서 [eqn: c = 2 ^{ { 4 }over{ z } }]	[eqn: cdotscdots]㉢

㉠, ㉡, ㉢을 [eqn: abc = 32]에 대입하면

[eqn: 2 ^{ { 4 }over{ x } } times 2 ^{ { 4 }over{ y } } times 2 ^{ { 4 }over{ z } } = 2 ^{ { 4 }over{ x } + { 4 }over{ y } + { 4 }over{ z } }][eqn: = 2 ^{ 4 LEFT ( { 1 }over{ x } + { 1 }over{ y } + { 1 }over{ z } right ) } = 32]

즉, [eqn: 4 LEFT ( { 1 }over{ x } + { 1 }over{ y } + { 1 }over{ z } right ) = 5]이므로

[eqn: { 1 }over{ x } + { 1 }over{ y } + { 1 }over{ z } = { 5 }over{ 4 }]

I. 지수함수와 로그함수

6  [eqn: a = b ^{ 2 } = c ^{ 3 }]에서 [eqn: b = a ^{ { 1 }over{ 2 } }], [eqn: c = b ^{ { 2 }over{ 3 } }], [eqn: a = c ^{ 3 }]이므로

[eqn: { log }_{ a } ` b = { 1 }over{ 2 }], [eqn: { log }_{ b } ` c = { 2 }over{ 3 }], [eqn: { log }_{ c }` a = 3]

[eqn: therefore] [eqn: log _{a} `b+6log _{b} `c+4log _{c} `a]

[eqn: = { 1 }over{ 2 } + 6 times { 2 }over{ 3 } + 4 times 3 = { 33 }over{ 2 }]

7  (주어진 식)

[eqn: = rm log it rm _{2} ` LEFT { LEFT ( 1- {1} over {2 ^{2}} RIGHT ) LEFT ( 1- {1} over {3 ^{2}} RIGHT ) LEFT ( 1- {1} over {4 ^{2}} RIGHT ) TIMES CDOTS TIMES LEFT ( 1- {1} over {8 ^{2}} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: = { rm log }_{ 2 } ` LEFT lbrace LEFT ( 1 - { 1 }over{ 2 } right ) LEFT ( 1 + { 1 }over{ 2 } right ) LEFT ( 1 - { 1 }over{ 3 } right ) LEFT ( 1 + { 1 }over{ 3 } right ) right .]

[eqn: TIMES][eqn: LEFT . LEFT ( 1 - { 1 }over{ 4 } right ) LEFT ( 1 + { 1 }over{ 4 } right ) times cdots times LEFT ( 1 - { 1 }over{ 8 } right ) LEFT ( 1 + { 1 }over{ 8 } right ) right rbrace]

[eqn: = log _{2} ` LEFT ( {1} over {2} TIMES {3} over {2} TIMES {2} over {3} TIMES {4} over {3} TIMES {3} over {4} TIMES {5} over {4} TIMES LEFT . cdots times { 7 }over{ 8 } times { 9 }over{ 8 } right )]

[eqn: = { rm log }_{ 2 } ` LEFT ( { 1 }over{ 2 } times { 9 }over{ 8 } right ) = { rm log }_{ 2 } ` { 9 }over{ 16 }]

[eqn: = { rm log }_{ 2 } `9 - { rm log }_{ 2 } ` 16]

[eqn: = 2 { rm log }_{ 2 } ` 3 - 4]

8  [eqn: 2 LEQ log`x<3], [eqn: log`x+log` sqrt {x} = {3} over {2} `log`x`]에서 [eqn: {3} over {2} `log`x]가 정수이다.

[eqn: 3 LEQ {3} over {2}` log`x< {9} over {2}]

[eqn: therefore] [eqn: log`x=2] 또는 [eqn: log`x= {8} over {3}]

(ⅰ) [eqn: log`x=2]일 때

[eqn: log` sqrt {x} =1]에서 모순이다.

(ⅱ) [eqn: log`x= 2 + { 2 }over{ 3 }]일 때

[eqn: log` sqrt {x} =1+ {1} over {3}]에서 만족한다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: log`x]의 소수 부분은 [eqn: { 2 }over{ 3 }]이다.

9  ㄱ. (참) [eqn: 2^x-1 > 0], [eqn: 2^-x-1 > 0]이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여

[eqn: g(x)=2 ^{x-1} +2 ^{-x-1} GEQ 2 sqrt {2 ^{x-1} TIMES 2 ^{-x-1}}]

[eqn: =1]

(단, 등호는 [eqn: 2 ^{x} =2 ^{-x}]일 때 성립)

ㄴ. (참) [eqn: g(-x) = 2^-x-1 + 2^x-1 = g(x)]

ㄷ. (참) [eqn: f(-x) = 2^-x-1 - 2^x-1 = -f(x)]

ㄹ. (거짓) [eqn: LEFT { f(x)RIGHT } ^2 - LEFT { g(x)RIGHT } ^2]

[eqn: = LEFT { f(x)+g(x)RIGHT } times LEFT { f(x)-g(x)RIGHT }]

[eqn: = 2^x times ( -2^-x ) = -1]

따라서 보기에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

10  [eqn: f(x)=9 times x^{-4 +log_3 `x^2}]의 양변에 밑이 [eqn: 3]인 로그를 취하면

[eqn: log _{3} `f(x)=log _{3} `(9 TIMES x ^{-4+log _{3} `x ^{2}} )]

[eqn: =log _{3} `9+log _{3} `x ^{-4+log _{3} `x ^{2}}]

[eqn: =2+(-4+log _{3} `x ^{2} )log _{3} `x]

[eqn: =2-4log _{3} `x-2log _{3} `x TIMES log _{3} `x]

[eqn: =2-4log _{3} `x+2(log _{3} `x) ^{2}]

[eqn: log_3` x = t]로 놓으면

[eqn: 1LEQx LEQ4]에서 [eqn: 0LEQ t LEQ log_3`4]

[eqn: log_3` f(x)=2t^2 -4t+2 = 2(t-1)^2]

따라서 [eqn: log_3`f(x)]는 [eqn: t=0]에서 최댓값 [eqn: 2],

[eqn: t=1]에서 최솟값 [eqn: 0]을 갖는다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: M=3 ^{2} =9], [eqn: m=3 ^{0} =1]

[eqn: THEREFORE] [eqn: M-m=8]

난이도별 테스트(상)

11

[eqn: rm A(0,~itk)]이고 두 점 [eqn: rm B], [eqn: rmC]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm B prime it (2m,~0)], [eqn: rm C prime it (3 m,~0)]이라 하면

[eqn: rmbarAB : barBC = 2:1]이므로

[eqn: 2 ^{2m} =a ^{3m} =k]

[eqn: 2 ^{2} =a ^{3}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a=2 ^{{2} over {3}} = root {3} of {4}]

12  [eqn: 2^x +2^-x = t]로 놓으면 [eqn: 2^x > 0], [eqn: 2^-x > 0]이므로

산술평균과 기하평균의 관계에 의하여

[eqn: t = 2^x +2^-x GEQ 2sqrt{2^x times 2^-x} = 2]

(단, 등호는 [eqn: 2^x = 2^-x]일 때 성립)

[eqn: THEREFORE] [eqn: t GEQ 2]

[eqn: 4^x + 4^-x - k (2^x + 2^-x ) +11=0]

[eqn: (2^x +2^-x )^2 -2 - k (2^x + 2^-x ) +11=0]

[eqn: t^2 -2-kt+11 = 0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: t^2 -kt+9 = 0`(t GEQ2)]

이때 [eqn: f(t) = t^2 - kt + 9`(t GEQ2)]라 하면 방정식

[eqn: f(t) = 0]이 실근을 갖지 않도록 하는 실수 [eqn: k]의 값의 범위를 구하면 된다.

[eqn: f(t) = t^2 - kt + 9]

[eqn: = LEFT ( t- {k} over {2} RIGHT ) ^{2} +9- {k ^{2}} over {4}]

(ⅰ) [eqn: {k} over {2} <2], 즉 [eqn: k<4]일 때

[eqn: f(2) = 4-2k+9 > 0]

[eqn: k< {13} over {2}]   [eqn: THEREFORE] [eqn: k<4]

(ⅱ) [eqn: {k} over {2} GEQ 2], 즉 [eqn: k GEQ 4]일 때

[eqn: f LEFT ( {k} over {2} RIGHT ) =9- {k ^{2}} over {4} >0]

[eqn: -6<k<6]   [eqn: THEREFORE] [eqn: 4LEQ k<6]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: k < 6]

I. 지수함수와 로그함수

13  [eqn: 2 ^{x+1} -2 ^{{x+4} over {2}} +a GEQ 0]

[eqn: 2 times 2^x - 4 times 2^{x over2} +a ge 0]

이때 [eqn: 2^{x over2} = t]([eqn: t>0)]로 놓으면 임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 주어진 부등식은

[eqn: 2t^2 -4t +a ge 0], [eqn: 2(t-1)^2 +a-2 ge 0]

[eqn: t>0]에서 부등식이 항상 성립하려면

[eqn: a-2 ge 0]   [eqn: THEREFORE] [eqn: a ge 2]

따라서 상수 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: 2]이다.

14  [eqn: 4x ^{2} -9x+2=0]에서

[eqn: (4x-1)(x-2)=0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: x= 1over4] 또는 [eqn: x=2]

방정식 [eqn: (log _{2} `x) ^{2} -log _{2} `x ^{2} +a=0]의 한 근을 [eqn: k]라 하면

[eqn: {1} over {4} <k<2], 즉 [eqn: -2<log _{2} `k<1]

이때 [eqn: log _{2} `x=t]로 놓고 [eqn: f(t)=t ^{2} -2t+a]라 하면

[eqn: f(t)=t ^{2} -2t+a=0]의 한 근이 [eqn: -2]와 [eqn: 1] 사이에 존재하므로

[eqn: f(-2)f(1)<0]

[eqn: (4+4+a)(-1+a)<0]

[eqn: (a+8)(a-1)<0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: -8<a<1]

15  처음의 양을 [eqn: a]라 하면 [eqn: n]년 후 남아 있는 양은 [eqn: a LEFT ( 1- {1} over {2} RIGHT ) ^{{n} over {5730}}]

[eqn: a LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{{n} over {5730}} =0.4a]

[eqn: therefore] [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{{n} over {5730}} =0.4]

양변에 상용로그를 취하면

[eqn: {n} over {5730} rm log` {1} over {2} =log`0.4]

[eqn: n`log` {1} over {2} =5730 TIMES log`0.4][eqn: -n`log`2=5730(log`4-log`10)]

[eqn: n=5730 TIMES {1-2log`2} over {log`2} =7640]

[eqn: THEREFORE] [eqn: n=7640]

16 [eqn: log _{2} `x ^{2} +log _{2} `y ^{2} =log _{sqrt {2}} `(x+y+3)]에서

[eqn: 2log _{2} `x ^{2} y ^{2} =2log _{2} `(x+y+3) ^{2}]

[eqn: x ^{2} y ^{2} =(x+y+3) ^{2}]

[eqn: xy=x+y+3] ([eqn: BECAUSE] [eqn: x], [eqn: y]는 양의 정수)

[eqn: (x-1)(y-1)=4]

[eqn: {cases{`x=2#`y=5}}] 또는 [eqn: cases{ `x=5 #`y=2}] 또는 [eqn: cases{` x=3#`y=3}]

따라서 [eqn: x^2 +2y^2]의 최솟값은 [eqn: 27]이다.