난이도별 테스트(상)

정답과 해설

Ⅱ. 삼각함수

1 ④     2 ⑤    3 ④    4 ④    5 ①

6 ③     7 ⑤     8 [eqn: 5]    9 ②

10 [eqn: -2+ sqrt {3}]    11 [eqn: -16+7 sqrt {5}]   12 ④

13 [eqn: 4]    14 [eqn: 120 DEG]        15 ③   16 [eqn: sqrt {5}]

1 [eqn: theta]가 제[eqn: 1]사분면의 각이므로

[eqn: 360 DEG TIMES n <theta < 360 DEG times n + 90 DEG `]([eqn: n]은 정수)

[eqn: therefore] [eqn: 120 DEG TIMES n< {theta } over {3} <120 DEG TIMES n+30 DEG]

(ⅰ) [eqn: n=0]일 때, [eqn: 0 DEG < {theta } over {3} <30 DEG]

따라서 [eqn: {theta } over {3}]는 제[eqn: 1]사분면의 각이다.

(ⅱ) [eqn: n=1]일 때, [eqn: 120 DEG < {theta } over {3} <150 DEG]

따라서 [eqn: {theta } over {3}]는 제[eqn: 2]사분면의 각이다.

(ⅲ) [eqn: n=2]일 때,[eqn: 240 DEG < {theta } over {3} <270 DEG]

따라서 [eqn: {theta } over {3}]는 제[eqn: 3]사분면의 각이다 .

[eqn: n=3,~4,~5, CDOTS]에 대해서도 동경의 위치가 제[eqn: 1]사분면, 제[eqn: 2]사분면, 제[eqn: 3]사분면으로 반복되므로 각 [eqn: {theta } over {3}]를 나타내는 동경이 존재할 수 있는 사분면은 제[eqn: 1]사분면, 제[eqn: 2]사분면, 제[eqn: 3]사분면이다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 ④이다.

[다른 풀이]

[eqn: theta]가 제[eqn: 1]사분면의 각이므로

[eqn: 360 DEG TIMES n< theta <360 DEG TIMES n+90 DEG `]([eqn: n]은 정수)

[eqn: therefore][eqn: 120 DEG TIMES n< {theta } over {3} < 120 DEG TIMES n+30 DEG]

(ⅰ) [eqn: n =3 k`]([eqn: k]는 정수)일 때

[eqn: 120 DEG TIMES 3k< {theta } over {3} <120 DEG TIMES 3k+30 DEG]

[eqn: therefore] [eqn: 360 DEG times k < theta over3 < 360 DEG times k +30 DEG]

(ⅱ) [eqn: n =3 k+1`]([eqn: k]는 정수)일 때

[eqn: 120 DEG times (3k+1) < theta over 3 < 120 DEG times (3k+1) +30 DEG]

[eqn: therefore] [eqn: 360 DEG TIMES k+120 DEG < {theta } over {3} <360 DEG TIMES k+150 DEG]

(ⅲ) [eqn: n =3 k+2`]([eqn: k]는 정수)일 때

[eqn: 120 DEG TIMES (3k+2)< {theta } over {3} <120 DEG TIMES (3k+2)+30 DEG]

[eqn: therefore] [eqn: 360 DEG times k +240 DEG < theta over 3 < 360 DEG times k +270 DEG]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 ④이다.

2  ① [eqn: -1300 DEG = 360 DEG TIMES (-4)+140 DEG]

② [eqn: alpha = 2l pi + theta], [eqn: beta =2m pi + theta `]([eqn: l], [eqn: m]은 정수)라 하면

[eqn: alpha - beta =2(l-m) pi =2n pi]

Ⅱ. 삼각함수

③ [eqn: alpha = 2l pi +theta], [eqn: beta =2m pi +( pi + theta )`]([eqn: l], [eqn: m]은 정수)라 하면

[eqn: alpha - beta =2`(l-m) pi - pi][eqn: =2n pi + pi]

([eqn: BECAUSE] [eqn: l-m]은 정수)

④ [eqn: alpha =2l pi + theta _{1} `(0 LEQ theta _{1} <2 pi )],

[eqn: beta =2m pi + theta _{2} `(0 LEQ theta _{2} <2 pi )`]([eqn: l], [eqn: m]은 정수)라 하면

위의 그림에서 [eqn: theta_1 +theta_2 = 2pi]

[eqn: THEREFORE] [eqn: alpha +beta = 2`(l+m )][eqn: pi][eqn: +][eqn: (][eqn: theta_1 +theta_2][eqn: )]

[eqn: = 2n prime pi +2 pi `] ([eqn: n prime]은 정수)

[eqn: = 2(n prime +1) pi][eqn: =2n pi]

⑤ [eqn: alpha =2l pi +theta _{1}`(0 LEQ theta _{1} <2 pi )],

[eqn: beta =2m pi + theta _{2}`(0 LEQ theta _{2} <2 pi )]라 하면

위의 그림에서 [eqn: theta_1 +theta_2][eqn: =][eqn: pi]

[eqn: THEREFORE] [eqn: alpha + beta =2(l+m) pi +( theta _{1} + theta _{2} )][eqn: =2n pi + pi]

([eqn: because] [eqn: l+m]은 정수)

3

위의 그림에서 [eqn: S _{1} :S _{2} =1:2]이고 부채꼴 [eqn: rm OCD]와 부채꼴 [eqn: rm OEB]의 넓이가 같으므로 삼각형 [eqn: rm OAB]의 넓이는 부채꼴 [eqn: rm OCD]의 넓이의 [eqn: 3]배이다.

원의 반지름을 [eqn: r]라 하면

[eqn: {bar{rm AB it}} = {bar{rm OB}} rm tan theta =itr`tan theta]이므로

(삼각형 [eqn: RM OAB]의 넓이)[eqn: = {1} over {2} TIMES r TIMES r`tan theta]

[eqn: = {1} over {2} r ^{2} tan theta]

(부채꼴 [eqn: rm OCD]의 넓이)[eqn: = {1} over {2} r ^{2} theta]이므로

[eqn: {1} over {2} r ^{2} tan theta = {1} over {2} r ^{2} theta TIMES 3]

[eqn: THEREFORE] [eqn: tan theta =3 theta]

4  ① [eqn: f(-x)=sin(-4x)=-sin4x !=f(x)]

② [eqn: f(-x) = cos LEFT ( - {x} over {4} RIGHT ) = cos {x} over {4} = f(x)]

한편 [eqn: cos x over4 = cos LEFT ( x over4 +2 pi RIGHT ) = cos 1over4 (x+8pi )]

이므로 함수 [eqn: f(x) = cos x over4]의 주기는 [eqn: 8 pi]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f LEFT ( x+ {pi } over {2} RIGHT ) !=f(x)]

난이도별 테스트(상)

③ [eqn: f(-x)=tan(-2x)=-tan2x != f(x)]

④ [eqn: f(-x) = left | sin(-2x) right | = left |-sin2x right |]

[eqn: = LEFT | sin2x right |=f(x)]

한편 함수 [eqn: y= left |sinx right |]의 주기는 [eqn: pi]이고

[eqn: LEFT | sin2x RIGHT | = LEFT | sin(2x+ pi ) RIGHT |][eqn: = LEFT | sin2 LEFT ( x+ {pi } over {2} RIGHT ) RIGHT |]

이므로 함수 [eqn: f(x)= LEFT | sin2x RIGHT |]의 주기는 [eqn: pi over2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f LEFT ( x+ {pi } over {2} RIGHT ) =f(x)]

⑤ [eqn: f(-x) = left| tan left(- x over2 right) right|]

[eqn: = left| - tan x over2 right| = left| tan x over2 right| = f(x)]

한편 함수 [eqn: y = | tan x |]의 주기는 [eqn: pi]이고

[eqn: left| tan x over2 right| = left| tan left( x over2 +pi right) right|][eqn: = left| tan 1 over2 LEFT ( x + 2pi RIGHT ) right|]

이므로 함수 [eqn: f(x) = left| tan x over2 right|]의 주기는 [eqn: 2 pi]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f LEFT ( x+ {pi } over {2} RIGHT ) != f(x)]

5  [eqn: {180 DEG } over {10} =18 DEG = theta]라 하면

[eqn: 5 theta =90DEG]이므로

[eqn: sin(5 theta + alpha )=sin(90ﾟ+ alpha )=cos alpha]

[eqn: therefore] [eqn: rm {bar{P _{1} Q _{1}}} ^{2} + {bar{P _{2} Q _{2}}} ^{2} + CDOTS + {bar{P _{9} Q _{9}}} ^{2}]

[eqn: =sin ^{2} theta +sin ^{2} 2 theta + CDOTS +sin ^{2} 8 theta +sin ^{2} 9 theta]

[eqn: =sin ^{2} theta +sin ^{2} 2 theta + CDOTS +cos ^{2} 3 theta +cos ^{2} 4 theta]

[eqn: =(sin ^{2} theta +cos ^{2} theta )+(sin ^{2} 2 theta +cos ^{2} 2 theta )]

[eqn: +(sin ^{2} 3 theta +cos ^{2} 3 theta )+(sin ^{2} 4 theta +cos ^{2} 4 theta )+sin ^{2} 5 theta]

[eqn: =1+1+1+1+1=5]

6  [eqn: cos 12 over 12 pi = cos (pi+0) = -cos0],

[eqn: cos 13 over 12 pi = cos left ( pi+ pi over 12 right ) = -cos pi over 12],

[eqn: cos 14 over 12 pi = cos left ( pi+ 2 over 12 pi right ) = -cos 2 over 12 pi],

[eqn: vdots]

[eqn: cos {23} over {12} pi =cos LEFT ( pi + {11} over {12} pi RIGHT ) =-cos {11} over {12} pi]

[eqn: THEREFORE] [eqn: cos0+cos {pi } over {12} +cos {2 pi } over {12} + CDOTS +cos {23 pi } over {12}]

[eqn: = LEFT ( cos0+cos {pi } over {12} + CDOTS +cos {11} over {12} pi RIGHT )]

[eqn: - LEFT ( cos0+cos {pi } over {12} + CDOTS +cos {11} over {12} pi RIGHT )]

[eqn: =0]

7  최댓값이 [eqn: 4], 최솟값이 [eqn: -2]이고 [eqn: a>0]이므로

[eqn: a+d =4], [eqn: -a+ d = -2]

[eqn: therefore] [eqn: a=3], [eqn: d=1]

주기가 [eqn: pi]이고 [eqn: b>0]이므로 [eqn: 2pi over b = pi]

[eqn: therefore] [eqn: b =2]

따라서 주어진 함수의 식은

[eqn: y=3sin LEFT ( 2x+ {pi } over {c} RIGHT ) +1 =3 sin 2 LEFT ( x+{ pi } over {2c } RIGHT )+1]

[eqn: y=3sin2 LEFT ( x+ {pi } over {2c} RIGHT ) +1]의 그래프는

[eqn: y= 3sin 2x+1]의 그래프를 [eqn: x]축 방향으로 [eqn: - pi over12]만큼 평행이동한 것이므로

[eqn: y= 3 sin 2 LEFT ( x+ { pi} over { 12} RIGHT )+1]

[eqn: therefore] [eqn: c= 6]

[eqn: therefore] [eqn: abcd =36]

Ⅱ. 삼각함수

8  [eqn: y=cos ^{2} theta +a sin theta -2 =1- sin ^2 theta + a sin theta -2]에서 [eqn: sin theta = t]로 놓으면

[eqn: 0 LEQ theta LEQ {pi } over {2}]에서 [eqn: 0{leq} t{leq} 1]이고

[eqn: y=1-t ^{2} +at-2=- LEFT ( t- {a} over {2} RIGHT ) ^{2} + {a ^{2} -4} over {4}]

(ⅰ) [eqn: 0 < a{leq} 2]일 때

[eqn: t = a over 2]일 때 최댓값 [eqn: {a sup 2 -4} over 4]을 가지므로

[eqn: {a sup 2 -4} over 4 = 3], [eqn: a^2 - 4 = 12]

[eqn: a ^2 =16]  [eqn: THEREFORE] [eqn: a=4]

이는 모순이므로 성립하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: a>2]일 때

[eqn: t = 1]일 때 최댓값 [eqn: a-2]을 가지므로

[eqn: a-2 = 3]   [eqn: therefore] [eqn: a = 5]

9  [eqn: y = sin pi over 4 x]는 주기가 [eqn: {2 pi } over {{pi } over {4}} =8]이므로 다음 그림과 같이 직선 [eqn: x=2]에 대하여 대칭이다.

또한 [eqn: rm bar BC = 8 over 3]이므로 점 [eqn: rm B]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 2 over 3]이다.

[eqn: therefore] [eqn: rm {bar{AB}} =sin LEFT ( {pi } over {4} TIMES {2} over {3} RIGHT )=sin {pi } over {6} = {1} over {2}]

따라서 직사각형 [eqn: rm ABCD]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES {8} over {3} = {4} over {3}]

10  [eqn: sin ^{2} {A} over {2} +4cos {A} over {2} =2]에서

[eqn: 1-cos sup 2 A over 2 +4cos A over 2 = 2]

[eqn: cos sup 2 A over 2 -4cos A over 2 +1 = 0]

[eqn: therefore] [eqn: cos A over 2 = 2-root3]

[eqn: LEFT ( BECAUSE ~0<A< pi ,~0<cos {A} over {2} <1 RIGHT )]

이때 삼각형 [eqn: rm ABC]에서

[eqn: A+B+C = pi]이므로 [eqn: B+C = pi-A]

[eqn: therefore] [eqn: sin LEFT ( {B+C-2 pi } over {2} RIGHT )][eqn: =sin LEFT ( {pi -A-2 pi } over {2} RIGHT )]

[eqn: =sin LEFT ( {-A- pi } over {2} RIGHT )]

[eqn: =-cos {A} over {2} =-2+ sqrt {3}]

11 이차방정식 [eqn: x ^{2} -ax+2a = 0]의 두 근이 [eqn: sin theta], [eqn: cos theta]이므로 근과 계수의 관계에 의해

[eqn: sin theta +cos theta = a], [eqn: sin theta cos theta = 2a]

[eqn: (sin theta +cos theta ) ^{2} =sin ^{2} theta +2sin theta cos theta +cos ^{2} theta]

[eqn: =1+2sin theta cos theta]

이므로

[eqn: a ^{2} = 1+4a], [eqn: a ^{2} -4a-1 = 0]

그런데 [eqn: a<0]이므로 [eqn: a = 2- sqrt {5}]

[eqn: sin ^{3} theta +cos ^{3} theta]

[eqn: =(sin theta +cos theta )(sin ^{2} theta -sin theta cos theta +cos ^{2} theta )]

[eqn: =(sin theta +cos theta )(1-sin theta cos theta )]

이므로

[eqn: sin ^{3} theta +cos ^{3} theta =a(1-2a)=-2a ^{2} +a]

[eqn: =-2(4a+1)+a][eqn: =-7a-2]

[eqn: =-7(2- sqrt {5} )-2]

[eqn: =-16+7 sqrt {5}]

난이도별 테스트(상)

12 [eqn: cos theta = t]로 놓으면 [eqn: -1{leq}t{leq}1]에서 주어진 부등식이 항상 [eqn: t^2 -3t-a +9 {geq}0]이므로

[eqn: f (t) = t^2 -3t -a +9]라 하면

[eqn: f(t)= LEFT ( t- {3} over {2} RIGHT ) ^{2} -a+ {27} over {4} `(-1 LEQ t LEQ 1)]

함수 [eqn: f(t)]는 [eqn: t = 1]에서 최솟값 [eqn: f(1)=-a+7]을 갖는다.

이때 모든 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: cos^2 theta-3cos theta -a +9 {geq}0]이려면 최솟값인 [eqn: -a+7{geq} 0]이어야 한다.

[eqn: therefore] [eqn: a LEQ 7]

13  다음 그림과 같이 사각형 [eqn: rmABCD]의 두 대각선이 만나는 점을 [eqn: rmE]라 하면 두 대각선 [eqn: rmAC], [eqn: rmBD]가 서로 수직으로 만나므로 [eqn: rm ANGLE BEC=90 DEG]

[eqn: rm TRIANGLE BCE]에서 [eqn: rm ANGLE BCE=40 DEG], [eqn: rm ANGLE BEC=90 DEG]이므로

[eqn: rm ANGLE EBC=50 DEG]

따라서 [eqn: rm TRIANGLE ABC], [eqn: rm TRIANGLE BCD]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: {{bar{rmAB}}} over {sin`40 DEG } =2], [eqn: {{bar{rm CD it}}} over {sin`50 DEG } =2]

∴ [eqn: rm {bar{rmAB}} =2`sin40 DEG], [eqn: rm {bar{rm CD}} =2`sin50 DEG]

이때 [eqn: sin`50 DEG =sin(90 DEG -40 DEG )=cos`40 DEG]이므로

[eqn: rm {bar{rm CD}} =2`cos`40 DEG]

∴ [eqn: {bar{rm AB it}} ^{2} + {bar{rm CD it}} ^{2} =4`sin ^{2} 40 DEG +4`cos ^{2} 40 DEG]

[eqn: =4(sin ^{2} `40 DEG +cos ^{2} `40 DEG )]

[eqn: =4]

14  [eqn: {7} over {sin`A} = {8} over {sin`B} = {13} over {sin`C}]에서

[eqn: sin`A:`sin`B`:`sin`C=7:8:13]

[eqn: sin`A:`sin`B`:`sin`C=a:b:c]이므로

[eqn: a:b:c=sin`A:`sin`B`:`sin`C=7:8:13]

[eqn: a=7k], [eqn: b=8k], [eqn: x=13k] [eqn: (k>0)]라 하면

가장 긴 변의 대각이 세 내각 중 가장 크기가 큰 각이므로 [eqn: rm ANGLE rmC]가 크기가 가장 크다.

따라서 코사인법칙에 의하여

[eqn: cos`C= {a ^{2} +b ^{2} -c ^{2}} over {2ab}]

[eqn: = {LEFT ( 7k RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 8k RIGHT ) ^{2} - LEFT ( 13k RIGHT ) ^{2}} over {2 TIMES 7k TIMES 8k}][eqn: =- {1} over {2}]

∴ [eqn: rm ANGLE C=120 DEG](∵ [eqn: 0 DEG < ANGLE rmC<180 DEG])

15  주어진 반원의 지름의 길이가 [eqn: 4]이므로 반지름의 길이는 [eqn: 2]이다. 이때 [eqn: rm ANGLE POB=theta]라 하면 호의 길이 [eqn: l=r`theta]에서 [eqn: 2t=2theta]    ∴ [eqn: theta=t]

∴ [eqn: rm ANGLE AOP=it pi -t]

따라서 주어진 그림의 색칠한 부분의 넓이를 [eqn: S]라 하면 [eqn: S]는 [eqn: TRIANGLE rmAOP]의 넓이와 부채꼴 [eqn: rmPOB]의 넓이의 합이므로

[eqn: S= {1} over {2} TIMES {bar{rm AO it}} TIMES {bar{rm PO it}} TIMES sin( ANGLE rm AOP)+ {1} over {2} itrl]

[eqn: = {1} over {2} TIMES 2 TIMES 2 TIMES sin( pi -t)+ {1} over {2} TIMES 2 TIMES 2t]

[eqn: =2t+2`sin`t]

Ⅱ. 삼각함수

16  [eqn: rm TRIANGLE ABC]에서

[eqn: cos`B= {c ^{2} +a ^{2} -b ^{2}} over {2ca}][eqn: = {LEFT ( sqrt {10} RIGHT ) ^{2} +3 ^{2} -2 ^{2}} over {2 TIMES sqrt {10} TIMES 3}][eqn: = {sqrt {10}} over {4}]

[eqn: 0 DEG < ANGLE rm B<180 DEG]에서 [eqn: sin`B>0]이므로

[eqn: sin`B= sqrt {1-cos ^{2} B}][eqn: = sqrt {1- LEFT ( {sqrt {10}} over {4} RIGHT ) ^{2}} = {sqrt {6}} over {4}]

주어진 그림에서

[eqn: rm TRIANGLE ABC][eqn: =][eqn: rm TRIANGLE ABP][eqn: +][eqn: rm TRIANGLE ACP]	[eqn: cdotscdots]㉠

이때 [eqn: ANGLE rmAPC=60 DEG]이므로

[eqn: ANGLE rm APB=180 DEG - ANGLE rm APC][eqn: =180 DEG -60 DEG =120 DEG]

[eqn: rm {bar{CP}} =itx]라 하면 [eqn: rm {bar{BP}} =3-itx]이므로

[eqn: rm TRIANGLE ABC], [eqn: rm TRIANGLE ABP], [eqn: rm TRIANGLE ACP]의 넓이를 구하면

[eqn: rm TRIANGLE ABC][eqn: = {1} over {2} TIMES 3 TIMES sqrt {10} TIMES sin`B]

[eqn: = {3 sqrt {10}} over {2} TIMES {sqrt {6}} over {4}][eqn: = {3 sqrt {15}} over {4}]	[eqn: cdotscdots]㉡

[eqn: rm TRIANGLE ABP][eqn: = {1} over {2} TIMES (3-x) TIMES {bar{rmAP}} TIMES sin`120 DEG]

[eqn: = {sqrt {3}} over {4} (3-x) TIMES {bar{rmAP}}]	[eqn: cdotscdots]㉢

[eqn: rm TRIANGLE ACP][eqn: = {1} over {2} TIMES x TIMES {bar{rm AP it}} TIMES sin`60 DEG]

[eqn: = {sqrt {3}} over {4} x TIMES {bar{rmAP}}]	[eqn: cdotscdots]㉣

㉡, ㉢, ㉣을 ㉠에 대입하면

[eqn: {3 sqrt {15}} over {4} = {sqrt {3}} over {4} (3-x) TIMES {bar{rm AP it}} + {sqrt {3}} over {4} x TIMES {bar{rm AP it}}]

[eqn: 3 sqrt {5} =3 {bar{rmAP}}]

∴ [eqn: rm {bar{AP}} = sqrt {5}]