난이도별 테스트(상)

정답과 해설

Ⅲ. 수열

1 ①     2 ⑤    3 ②     4 ⑤    5 ①

6 ④     7 [eqn: -6]   8 [eqn: -8]    9 [eqn: 9 LEFT □ LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{20} -1 RIGHT □]

10 ⑤   11 ①   12 ②   13 ④    14 [eqn: 69]

15 ④   16 (가): [eqn: 9], (나): [eqn: m]

1  첫째항이 [eqn: a], 공차가 [eqn: 5]인 등차수열의 일반항 [eqn: a _{ n }]은

[eqn: a _{ n } = a + ( n - 1 ) times 5 = 5 n + a - 5]	[eqn: cdotscdots]㉠

주어진 조건에서 [eqn: a _{ 15 } = 13]이므로

[eqn: a _{ 15 } = 75 + a - 5 = 13]   [eqn: therefore] [eqn: a = - 57]

이것을 ㉠에 대입하면

[eqn: a _{ n } = 5 n - 62]

이때 제[eqn: n]항에서 처음으로 양수가 된다고 하면

[eqn: a _{n} =5n-62>0]

[eqn: therefore] [eqn: n> {62} over {5} =12.4]

그런데 [eqn: n]는 자연수이므로 수열 [eqn: lbrace a _{ n } rbrace]은 제[eqn: 12]항까지 음수이고 제[eqn: 13]항부터 양수이다.

[eqn: therefore] [eqn: LEFT | a _{ 1 } right | > LEFT | a _{ 2 } right | > LEFT | a _{ 3 } right | > cdots > LEFT | a _{ 12 } right |]

[eqn: LEFT | a _{ 13 } right | < LEFT | a _{ 14 } right | < LEFT | a _{ 15 } right | < cdots]

이때 [eqn: a _{ 12 } = 5 times 12 - 62 = - 2], [eqn: a _{ 13 } = 5 times 13 - 62 = 3]이므로 [eqn: LEFT | a _{ 12 } right | < LEFT | a _{ 13 } right |]

따라서 [eqn: LEFT | a _{ n } right |]의 값이 최소가 되는 자연수 [eqn: n]의 값은 [eqn: 12]이다.

2  이차방정식 [eqn: x ^{ 2 } - 4 x - 12 = 0]의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta]이므로 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha + beta = 4], [eqn: alpha beta = - 12]

[eqn: p]는 [eqn: { 1 }over{ alpha }], [eqn: { 1 }over{ beta }]의 등차중항이므로

[eqn: p = { { 1 }over{ alpha } + { 1 }over{ beta } }over{ 2 } = { alpha + beta }over{ 2 alpha beta } = { 4 }over{ - 24 } = - { 1 }over{ 6 }]

[eqn: q]는 [eqn: alpha], [eqn: beta]의 등차중항이므로

[eqn: q = { alpha + beta }over{ 2 } = { 4 }over{ 2 } = 2]

따라서 두 수 [eqn: p], [eqn: q]의 등차중항을 구하면

[eqn: { p + q }over{ 2 } = { - { 1 }over{ 6 } + 2 }over{ 2 } = { 11 }over{ 12 }]

3  다섯 사람에게 나누어 준 빵의 개수가 등차수열을 이루므로 차례로

[eqn: a - 2 d], [eqn: a - d], [eqn: a], [eqn: a + d], [eqn: a+2d` ( d > 0 )]

라 하면 빵의 총 개수가 [eqn: 120]개이므로

[eqn: ( a - 2 d ) + ( a - d ) + a + ( a + d ) + ( a + 2 d ) = 120]

[eqn: 5 a = 120]

[eqn: therefore] [eqn: a = 24]	[eqn: cdotscdots]㉠

또 가장 적게 배당받은 사람의 몫과 그 다음으로 적게 배당받은 사람의 몫의 합이 나머지 세 사람의 몫의 합의 [eqn: {1} over {7}]이므로

[eqn: (a-2d)+(a-d)= {1} over {7} □a+(a+d)+(a+2d)□]

[eqn: 14a-21d=3a+3d]

[eqn: therefore] [eqn: 24 d = 11 a]

위의 식에 ㉠을 대입하면

[eqn: d = 11]

따라서 가장 많이 배당받는 사람의 몫은 [eqn: a + 2 d]이므로

[eqn: a + 2 d = 24 + 2 times 11 = 46](개)

Ⅲ. 수열

4  [eqn: □a _{n} □:`1], [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 7], [eqn: 9], [eqn: 11], [eqn: cdots] 이므로

일반항 [eqn: a _{ n }]은

[eqn: a _{ n } = 1 + ( n - 1 ) times 2 = 2 n - 1]

또 [eqn: □b _{n} □:`0], [eqn: 3], [eqn: 6], [eqn: 9], [eqn: 12], [eqn: 15], [eqn: cdots] 이므로

일반항 [eqn: b _{n}]은

[eqn: b _{ n } = 0 + ( n - 1 ) times 3 = 3 n - 3]

[eqn: therefore] [eqn: rm A _{30} (ita _{30} ,~b _{30} )= rm A _{30} (59,~87)]

따라서 보기의 직선의 방정식 중 점 [eqn: { rm A _{ 30 } } ( 59 ,~ 87 )]의 [eqn: x], [eqn: y]좌표를 대입하였을 때, 등식이 성립하는 것은 [eqn: y = { 87 }over{ 59 } x]이므로 점 [eqn: { rm A _{ 30 } }]을 지나는 직선은

⑤이다.

5  첫 번째 시행 후 남은 수들을 구하면

[eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 6], [eqn: 8], [eqn: cdots], [eqn: 98], [eqn: 100], 즉 [eqn: 2]의 배수,

두 번째 시행 후 남은 수들을 구하면

[eqn: 4], [eqn: 8], [eqn: 12], [eqn: 16], [eqn: cdots], [eqn: 96], [eqn: 100], 즉 [eqn: 4]의 배수

이 수열은 첫째항이 [eqn: 4], 공차가 [eqn: 4]인 등차수열이므로

[eqn: 100]을 제[eqn: n]항이라 하면

[eqn: 100 = 4 + ( n - 1 ) times 4]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: n = 25]

따라서 첫째항이 [eqn: 4], 제[eqn: 25]항이 [eqn: 100]인 등차수열의 첫째항부터 제[eqn: 25]항까지의 합 [eqn: S]는

[eqn: S = { 25 ( 4 + 100 ) }over{ 2 } = 1300]

[eqn: therefore] [eqn: { S }over{ 10 } = 130]

6  두 자리의 자연수 중에서 [eqn: 6]으로 나누어떨어지는 수, 즉 [eqn: 6]의 배수를 차례로 나열하면

[eqn: 12], [eqn: 18], [eqn: 24], [eqn: cdots], [eqn: 96]

이는 첫째항이 [eqn: 12], 공차가 [eqn: 6]인 등차수열이고

[eqn: 96]을 수열의 제[eqn: n]항이라 하면

[eqn: 96 = 12 + ( n - 1 ) times 6]   [eqn: therefore] [eqn: n = 15]

따라서 첫째항이 [eqn: 12], 제[eqn: 15]항이 [eqn: 96]인 등차수열의 첫째항부터 제[eqn: 15]항까지의 합은

[eqn: { 15 ( 12 + 96 ) }over{ 2 } = 810]	[eqn: cdotscdots]㉠

두 자리의 자연수 중에서 [eqn: 9]로 나누어떨어지는 수, 즉 [eqn: 9]의 배수를 차례로 나열하면

[eqn: 18], [eqn: 27], [eqn: 36], [eqn: cdots], [eqn: 99]

이는 첫째항이 [eqn: 18], 공차가 [eqn: 9]인 등차수열이고 [eqn: 99]를 이 수열의 제[eqn: n]항이라 하면

[eqn: 99 = 18 + ( n - 1 ) times 9]   [eqn: therefore] [eqn: n = 10]

따라서 첫째항이 [eqn: 18], 제[eqn: 10]항이 [eqn: 99]인 등차수열의 첫째항부터 제[eqn: 10]항까지의 합은

[eqn: { 10 ( 18 + 99 ) }over{ 2 } = 585]	[eqn: cdotscdots]㉡

한편 [eqn: 6]과 [eqn: 9]로 동시에 나누어떨어지는 수는 [eqn: 6]과 [eqn: 9]의 최소공배수인 [eqn: 18]의 배수이므로 두 자리의 자연수 중에서 [eqn: 18]의 배수는

[eqn: 18], [eqn: 36], [eqn: 54], [eqn: cdots], [eqn: 90]

이는 첫째항이 [eqn: 18], 공차가 [eqn: 18]인 등차수열이고 [eqn: 90]을 이 수열의 제[eqn: n]항이라 하면

[eqn: 90 = 18 + ( n - 1 ) times 18]   [eqn: therefore] [eqn: n = 5]

따라서 첫째항이 [eqn: 18], 제[eqn: 5]항이 [eqn: 90]인 등차수열의 첫째항부터 제[eqn: 5]항까지의 합은

[eqn: { 5 ( 18 + 90 ) }over{ 2 } = 270]	[eqn: cdotscdots]㉢

따라서 두 자리의 자연수 중에서 [eqn: 6] 또는 [eqn: 9]로 나누어떨어지는 수의 총합은

㉠[eqn: +]㉡[eqn: -]㉢[eqn: = 810 + 585 - 270 = 1125]

난이도별 테스트(상)

7  (가)에서 [eqn: b]는 [eqn: a]와 [eqn: c]의 등차중항이므로

[eqn: b= {a+c} over {2}]  [eqn: THEREFORE ~2b=a+c]                   ⋯⋯㉠

(나)에서 [eqn: a]는 [eqn: c]와 [eqn: b]의 등비중항이므로

[eqn: a ^{2} =bc]                                    ⋯⋯㉡

(다)에서 [eqn: abc=27]이므로 이 식에 ㉡을 대입하면

[eqn: a ^{3} =81]  [eqn: THEREFORE ~a=4]

이를 ㉠, ㉡에 각각 대입하면

[eqn: 2b=4+c,~16=bc]

두 식을 연립하여 풀면

[eqn: b=-2,~c=-8~( BECAUSE ~a>b>c)]

[eqn: THEREFORE ~a+b+c=4+ LEFT ( -2 RIGHT ) +(-8)][eqn: =-6]

8  [eqn: rm P _{1} it (12,~ - 6 )], [eqn: rm P _{2} it (-6,~ 3 )], [eqn: rm P _{3} it LEFT ( 3,~- {3} over {2} RIGHT )],

[eqn: rm P _{4} it LEFT ( - {3} over {2} ,~ {3} over {4} RIGHT )], [eqn: cdots]

[eqn: { rm Q _{ 1 } } ( - 6 ,~ - 6 )], [eqn: rm Q _{2} (3 ,~ 3 )], [eqn: rm Q _{3} it LEFT ( - {3} over {2} ,~- {3} over {2} RIGHT )],

[eqn: rm Q _{4} it LEFT ( {3} over {4} ,~ {3} over {4} RIGHT )], [eqn: cdots]

점 [eqn: { rm P _{it n } }]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 12 times LEFT ( - { 1 }over{ 2 } right ) ^{ n - 1 }]이고,

점 [eqn: { rm Q _{ itn } }]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: ( - 6 ) times LEFT ( - { 1 }over{ 2 } right ) ^{ n - 1 }]이므로

[eqn: a = 12 times LEFT ( - { 1 }over{ 2 } right ) ^{ 7 } = - { 3 }over{ 32 }]

[eqn: b = ( - 6 ) times LEFT ( - { 1 }over{ 2 } right ) ^{ 9 } = { 3 }over{ 256 }]

[eqn: therefore] [eqn: { a }over{ b } = - 8]

9  [eqn: l _{1} =3]

주어진 조건의 시행을 한 번 했을 때, 도형 [eqn: { rm C _{ 1 } }]의 한 변은 길이가 [eqn: { 1 }over{ 3 }]로 줄어든 [eqn: 4]개의 변으로 변한다.

이를 이용하여 도형 [eqn: { rm C _{ 2 } }], [eqn: { rm C _{ 3 } }], [eqn: cdots]의 둘레의 길이를 구하면

[eqn: l _{ 2 } = 3 times { 4 }over{ 3 }], [eqn: l _{ 3 } = 3 times LEFT ( { 4 }over{ 3 } right ) ^{ 2 }], [eqn: cdots]

따라서 수열 [eqn: lbrace l _{ n } rbrace]은 첫째항이 [eqn: 3]이고, 공비가 [eqn: { 4 }over{ 3 }]인 등비수열이므로 [eqn: l _{ 1 } + l _{ 2 } + cdots + l _{ 20 }]의 값은

[eqn: { 3 LEFT lbrace LEFT ( { 4 }over{ 3 } right ) ^{ 20 } - 1 right rbrace }over{ { 4 }over{ 3 } - 1 } = 9 LEFT lbrace LEFT ( { 4 }over{ 3 } right ) ^{ 20 } - 1 right rbrace]

10  원리합계를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S][eqn: = a ( 1 + 0.06 ) + a ( 1 + 0.06 ) ^{ 2 } +][eqn: cdots + a ( 1 + 0.06 ) ^{ 5 }]

[eqn: = { a ( 1 + 0.06 ) lbrace ( 1 + 0.06 ) ^{ 5 } - 1 rbrace }over{ ( 1 + 0.06 ) - 1 }]

[eqn: = {a TIMES 1.06 TIMES 0.3} over {0.06}](원)

이때 [eqn: S=5300000](원)이어야 하므로

[eqn: {a TIMES 1.06 TIMES 0.3} over {0.06} =5300000]

[eqn: therefore] [eqn: a= {5300000 TIMES 0.06} over {1.06 TIMES 0.3} =1000000](원)

Ⅲ. 수열

11  [eqn: sum _{ k = n } ^{ 2 n } ( 2 k + 5 )][eqn: =2 LEFT ( sum _{k=1} ^{2n} k- sum _{k=1} ^{n-1} k RIGHT ) + sum _{k=1} ^{2n} 5- sum _{k=1} ^{n-1} 5]

[eqn: =(n+1)(3n+5)]

[eqn: n + 1]은 [eqn: 13], [eqn: 26], [eqn: 39]일 때이므로 [eqn: n = 12], [eqn: 25], [eqn: 38]

[eqn: 3 n + 5]는 [eqn: 13], [eqn: 26], [eqn: 39]일 때이므로 [eqn: n = { 8 }over{ 3 }], [eqn: 7], [eqn: { 34 }over{ 3 }]

[eqn: therefore] [eqn: n _{ 1 } = 7], [eqn: n _{ 2 } = 12]

[eqn: therefore] [eqn: n _{ 2 } - n _{ 1 } = 12 - 7 = 5]

12  다음 그림과 같이 네 점 [eqn: ( k ,~ 0 )], [eqn: (k+1,~ 0 )],

[eqn: (k,~sqrt {k} )], [eqn: (k+1,~sqrt {k+1} )]을 꼭짓점으로 하는 사각형은 윗변의 길이가 [eqn: sqrt { k }], 아랫변의 길이가 [eqn: sqrt { k + 1 }], 높이가 [eqn: 1]인 사다리꼴이므로

[eqn: S _{ k } = { 1 }over{ 2 } times ( sqrt { k } + sqrt { k + 1 } ) times 1 = { sqrt { k } + sqrt { k + 1 } }over{ 2 }]

[eqn: therefore][eqn: sum _{ k = 1 } ^{ 120 } { 1 }over{ S _{ k } } = sum _{ k = 1 } ^{ 120 } { 2 }over{ sqrt { k } + sqrt { k + 1 } }]

[eqn: = - 2 sum _{ k = 1 } ^{ 120 } ( sqrt { k } - sqrt { k + 1 } )]

[eqn: = - 2 lbrace ( 1 - sqrt { 2 } ) + ( sqrt { 2 } - sqrt { 3 } ) +]

[eqn: cdots + ( sqrt { 120 } - sqrt { 121 } ) rbrace]

[eqn: = - 2 ( 1 - 11 ) = 20]

13  ㄱ. (거짓) [eqn: sum _{ k = 1 } ^{ n } ( b _{ k } - a _{ k } )][eqn: = sum _{k=1} ^{n} □(a _{k} +2 ^{k} )-a _{k} □]

[eqn: = sum _{k=1} ^{n} 2 ^{k} =2(2 ^{n} -1)]

ㄴ. (참) [eqn: b _{ n + 1 } = a _{ n + 1 } + 2 ^{ n + 1 }][eqn: =(4a _{n} +2 ^{n+1} )+2 ^{n+1}]

[eqn: =4(a _{n} +2 ^{n} )=4b _{n}]

[eqn: therefore] [eqn: b_n+1 = 4b_n]

그러므로 공비가 [eqn: 4]인 등비수열이다.

ㄷ. (참) [eqn: b _{ 1 } = a _{ 1 } + 2 ^{ 1 } = 2]이므로 [eqn: b _{ n } = 2 times 4 ^{ n - 1 }]

[eqn: b _{ n + 1 } - b _{ n } = 2 times 4 ^{ n } - 2 times 4 ^{ n - 1 } = 6 times 4 ^{ n - 1 }]

그러므로 수열 [eqn: lbrace b _{ n + 1 } - b _{ n } rbrace]은 첫째항이 [eqn: 6]이고, 공비가 [eqn: 4]인 등비수열이다.

따라서 보기에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

14  [eqn: S _{ n + 1 } - S _{ n - 1 }]

[eqn: = S _{ n + 1 } - S _{ n } + S _{ n } - S _{ n - 1 } = a _{ n + 1 } + a _{ n }]

이므로

[eqn: (a _{n+1} +a _{n} ) ^{2} =4a _{n} a _{n+1} +4]

[eqn: therefore] [eqn: a _{ n + 1 } - a _{ n } = 2] [eqn: ( BECAUSE] [eqn: a _{n+1} >a _{n} )`(n GEQ 2)]

따라서 수열 [eqn: lbrace a _{ n } rbrace]은 첫째항 [eqn: a _{ 1 } = 1]이고, 공차가 [eqn: 2]인 등차수열이므로 일반항 [eqn: a _{ n }]은

[eqn: a _{ n } = 1 + ( n - 1 ) times 2 = 2 n - 1]

[eqn: therefore] [eqn: a _{ 35 } = 2 times 35 - 1 = 69]

난이도별 테스트(상)

15  (ⅰ) [eqn: n = 2]일 때

[eqn: ( 2 sqrt { 2 } - 2 ) - { 1 }over{ sqrt { 2 } } = { 3 - 2 sqrt { 2 } }over{ sqrt { 2 } } > 0]이므로

[eqn: { 1 }over{ sqrt { 2 } } < 2 sqrt { 2 } - 2]

(ⅱ) [eqn: n=k`(k GEQ 2)]일 때

[eqn: { 1 }over{ sqrt { 2 } } + { 1 }over{ sqrt { 3 } } + cdots + { 1 }over{ sqrt { k } } < 2 sqrt { k } - 2]

가 성립한다고 가정하면

[eqn: {1} over {sqrt {2}} + {1} over {sqrt {3}} + CDOTS + {1} over {sqrt {k}} +] [eqn: {1} over {sqrt {k+1}}]

[eqn: <2 sqrt {k} -2+ {1} over {sqrt {k+1}}]

이 성립한다. 그런데

[eqn: 2 sqrt {k+1} -2- LEFT ( 2 sqrt {k} -2+ {1} over {sqrt {k+1}} RIGHT )]

[eqn: = 2 sqrt { k + 1 } - 2 sqrt { k } - { 1 }over{ sqrt { k + 1 } }][eqn: = { 2 k + 1 - 2 sqrt { k ^{ 2 } + k } }over{ sqrt { k + 1 } }]

이때 [eqn: ( 2 k + 1 ) ^{ 2 } - ( 2 sqrt { k ^{ 2 } + k } ) ^{ 2 } = 1 > 0]이므로

[eqn: 2 sqrt {k} -2+ {1} over {sqrt {k+1}} <2 sqrt {k+1} -2]

따라서

[eqn: { 1 }over{ sqrt { 2 } } + { 1 }over{ sqrt { 3 } } + cdots + { 1 }over{ sqrt { k + 1 } }][eqn: <] [eqn: { 2 sqrt { k + 1 } - 2 }]

16  (ⅰ) [eqn: n = 1]일 때

[eqn: 3 ^{ 2 } - 1 = 8]이므로 [eqn: 8]로 나누어떨어진다.

(ⅱ) [eqn: n = k]일 때

[eqn: 3 ^{ 2 k } - 1]이 [eqn: 8]의 배수라고 가정하면

[eqn: 3 ^{2k} -1=8m`]([eqn: m]은 자연수)

[eqn: n = k + 1]일 때

[eqn: 3 ^{ 2 ( k + 1 ) } - 1 =] [eqn: 9] [eqn: times 3 ^{ 2 k } - 1]

[eqn: =(8+1)3 ^{2k} -1]

[eqn: =8 TIMES 3 ^{2k} +3 ^{2k} -1]

[eqn: =8 TIMES 3 ^{2k} +8m=8(3 ^{2k} +] [eqn: m] [eqn: )]

따라서 [eqn: n = k + 1]일 때도 [eqn: 3 ^{ 2 n } - 1]은 [eqn: 8]로 나누어떨어진다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 3 ^{ 2 n } - 1]은 [eqn: 8]로 나누어떨어진다.