난이도별 테스트(중)

정답과 해설

I. 지수함수와 로그함수

1 ②    2 [eqn: {7} over {32}]    3 [eqn: {54} over {197}]   4 ④     5 ⑤

6 [eqn: -1]   7 ①     8 ⑤      9 [eqn: {11} over {7}]    10 ①

11 ㄴ, ㄷ        12 [eqn: C<A<B]      13 [eqn: -2]

14 [eqn: -36] 15 ③    16 [eqn: x=0]  17 [eqn: 49]   18  [eqn: {1} over {12}]

19 [eqn: {1} over {10}]  20 ①

1  ① [eqn: sqrt { root { 3 } of { 5 times 6 } } = root { 6 } of { 5 times 6 }]

② [eqn: sqrt { 6 root { 3 } of { 5 } } = root { 6 } of { 6 ^{ 3 } times 5 }]

③ [eqn: sqrt { 5 root { 3 } of { 6 } } = root { 6 } of { 5 ^{ 3 } times 6 }]

④ [eqn: root { 3 } of { 5 sqrt { 6 } } = root { 6 } of { 5 ^{ 2 } times 6 }]

⑤ [eqn: root { 3 } of { 6 sqrt { 5 } } = root { 6 } of { 6 ^{ 2 } times 5 }]

[eqn: 5 times 6], [eqn: 6 ^{ 3 } times 5], [eqn: 5 ^{ 3 } times 6], [eqn: 5 ^{ 2 } times 6], [eqn: 6 ^{ 2 } times 5] 중 가장 큰 수는 [eqn: 6 ^{ 3 } times 5]이므로 구하는 가장 큰 수는 ②이다.

2  [eqn: LEFT lbrace LEFT ( - { 1 }over{ 2 } right ) ^{ 4 } right rbrace ^{ 0.75 } times LEFT lbrace LEFT ( { 16 }over{ 49 } right ) ^{ { 5 }over{ 4 } } right rbrace ^{ - { 2 }over{ 5 } }]

[eqn: = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{4 TIMES 0.75} TIMES LEFT ( {4} over {7} RIGHT ) ^{2 TIMES {5} over {4} TIMES LEFT ( - {2} over {5} RIGHT )}]

[eqn: = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3} TIMES LEFT ( {4} over {7} RIGHT ) ^{-1}]

[eqn: = {1} over {8} TIMES {7} over {4} = {7} over {32}]

3  [eqn: x ^{ { 3 }over{ 2 } } + x ^{ - { 3 }over{ 2 } }][eqn: =(x ^{{1} over {2}} +x ^{- {1} over {2}} ) ^{3} -3(x ^{{1} over {2}} +x ^{- {1} over {2}} )]

[eqn: =4 ^{3} -3 TIMES 4=52]

[eqn: x + x ^{ - 1 } = ( x ^{ { 1 }over{ 2 } } + x ^{ - { 1 }over{ 2 } } ) ^{ 2 } - 2 = 14]

[eqn: x ^{ 2 } + x ^{ - 2 } = ( x + x ^{ - 1 } ) ^{ 2 } - 2 = 14 ^{ 2 } - 2 = 194]

[eqn: therefore] [eqn: { x ^{ { 3 }over{ 2 } } + x ^{ - { 3 }over{ 2 } } + 2 }over{ x ^{ 2 } + x ^{ - 2 } + 3 } = { 52 + 2 }over{ 194 + 3 } = { 54 }over{ 197 }]

4  (ⅰ) 밑의 조건에 의하여

[eqn: a > 0], [eqn: a != 1]

(ⅱ) 진수의 조건에 의하여

[eqn: a ^{ 2 } - a - 6 > 0], [eqn: ( a + 2 ) ( a - 3 ) > 0]

[eqn: therefore] [eqn: a < - 2] 또는 [eqn: a > 3]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: a > 3]

따라서 구하는 정수 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: 4]이다.

5 [eqn: 96 ^{x} =2]에서 [eqn: x=log _{96} 2]

[eqn: 3 ^{x} =2]에서 [eqn: x=log _{3} 2]

[eqn: THEREFORE ~ {y-x} over {xy}][eqn: = {1} over {x} - {1} over {y}]

[eqn: = {1} over {log _{96} 2} - {1} over {log _{3} 2}]

[eqn: =log _{6} 96-log _{6} 3]

[eqn: =log _{2} {96} over {3} =log _{2} 32=5]

I. 지수함수와 로그함수

6 [eqn: LEFT ( log _{2} sqrt {3} + {3} over {4} `log _{sqrt {2}} `3 RIGHT ) TIMES log _{{1} over {27}} 2 sqrt {2}]

[eqn: =][eqn: LEFT ( {1} over {2} `log _{2} 3+ {3} over {4} ` TIMES 2log _{2} `3 RIGHT ) TIMES LEFT ( - {1} over {3} TIMES {3} over {2} RIGHT ) log _{3} 2]

[eqn: =][eqn: 2log _{2} 3TIMES LEFT ( - {1} over {2} `log _{3} 2 RIGHT )]

[eqn: =2log _{2} 3 TIMES LEFT ( - {1} over {2log _{2} 3} RIGHT )][eqn: =-1]

7  [eqn: log _{2} `3=a], [eqn: log _{2} `5= {1} over {log _{5} 2} = {1} over {b}]이므로

[eqn: log _{15} `1000= {3log _{2} `10} over {log _{2} `15} = {3(1+log _{2} `5)} over {log _{2} `3+log _{2} `5}]

[eqn: = { 3 LEFT ( 1 + { 1 }over{ b } right ) }over{ a + { 1 }over{ b } } = { 3 ( b + 1 ) }over{ ab + 1 }]

8  [eqn: x ^{ 2 } = y ^{ 3 } = z ^{ 5 } = a]에서

[eqn: { log }_{ a }` x = { 1 }over{ 2 }], [eqn: { log }_{ a } ` y = { 1 }over{ 3 }], [eqn: { log }_{ a } ` z = { 1 }over{ 5 }]

[eqn: therefore] [eqn: log _{xyz}` a= {1} over {log _{a}` x+log _{a}` y+log _{a}` z}]

[eqn: = { 1 }over{ { 1 }over{ 2 } + { 1 }over{ 3 } + { 1 }over{ 5 } } = { 30 }over{ 31 }]

9  이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: { rm log }_{ 5 }` alpha + { rm log }_{ 5 }` beta = 5], [eqn: { rm log }_{ 5 }` alpha times { rm log }_{ 5 } ` beta = 7]

[eqn: therefore] [eqn: rm log it _{alpha } ` beta + rm log it _{beta } ` alpha]

[eqn: = {rm log it _{5} ` beta } over {rm log it _{5} ` alpha } + {rm log it _{5} ` alpha } over {rm log it _{5} ` beta }]

[eqn: = { ( { rm log }_{ 5 } ` beta ) ^{ 2 } + ( { rm log }_{ 5 } ` alpha ) ^{ 2 } }over{ { rm log }_{ 5 } ` alpha times { rm log }_{ 5 } `beta }]

[eqn: = { ( { rm log }_{ 5 } ` alpha + { rm log }_{ 5 } ` beta ) ^{ 2 } - 2 { rm log }_{ 5 }` alpha times { rm log }_{ 5 } ` beta }over{ { rm log }_{ 5 } ` alpha times { rm log }_{ 5 } `beta }]

[eqn: = { 5 ^{ 2 } - 2 times 7 }over{ 7 } = { 11 }over{ 7 }]

10  [eqn: log`A=n+ alpha `](단, [eqn: n]은 정수, [eqn: 0 leq alpha < 1])라 하면

[eqn: n + alpha = - { 13 }over{ 3 } = - 5 + { 2 }over{ 3 }]

[eqn: therefore] [eqn: n = - 5], [eqn: alpha = { 2 }over{ 3 }]

이때 [eqn: n alpha =(-5) TIMES {2} over {3} =- {10} over {3} = {k} over {3}]

[eqn: therefore] [eqn: k = - 10]

11  ㄱ. (거짓) [eqn: f(m+n) =a ^{m+n}]

[eqn: =a ^{m} TIMES a ^{n}=f(m)f(n)]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f(m+n) != f(m)+f(n)]

ㄴ. (참) [eqn: f(nx)=a ^{nx} =(a ^{x} ) ^{n} = LEFT { f(x) RIGHT } ^{n}]

ㄷ. (참) [eqn: f(m)f(-m) =a ^{m} times a ^{-m}]

[eqn: =a ^{0} =1]

ㄹ. (거짓) [eqn: f LEFT ( {1} over {p} RIGHT ) =a ^{{1} over {p}}], [eqn: {1} over {f(p)} = {1} over {a ^{p}} =a ^{-p}]이므로

[eqn: f LEFT ( {1} over {p} RIGHT ) != {1} over {f(p)}]

따라서 보기에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

12 [eqn: 1<x<a]이므로

[eqn: log _{a} `1<log _{a} `x<log _{a} `a]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 0<log _{a} `x<1]

[eqn: A-B=(log _{a} `x) ^{2} -log _{a} `x ^{2}]

[eqn: =(log _{a} `x) ^{2} -2log _{a} `x]

[eqn: =log _{a} `x(log _{a} `x-2)<0]

[eqn: A-C=(log _{a} `x) ^{2} -log _{{1} over {a}} `x]

[eqn: =(log _{a} `x) ^{2} +log _{a} `x]

[eqn: =log _{a} `x(log _{a} `x+1)>0]

따라서 [eqn: A<B], [eqn: A>C`]이므로

[eqn: C<A<B]

난이도별 테스트(중)

13  진수의 조건에 의하여

[eqn: log _{{1} over {2}} `(1-x)]에서

[eqn: 1-x>0]   [eqn: THEREFORE] [eqn: x<1]

[eqn: log _{{1} over {2}} `(x+3)]에서

[eqn: x+3>0]   [eqn: THEREFORE] [eqn: x>-3]

이므로 [eqn: -3<x<1]

[eqn: log _{{1} over {2}} `(1-x)+log _{{1} over {2}} `(x+3)][eqn: =log _{{1} over {2}} `(1-x)(x+3)]

[eqn: =log _{{1} over {2}} `(-x ^{2} -2x+3)]

[eqn: f(x)=-x^2 -2x+3][eqn: =-(x+1) ^{2} +4]라 하면

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-1]에서 최댓값 [eqn: 4]를 갖는다.

이때 [eqn: y=log _{{1} over {2}} `f(x)]에서 밑이 [eqn: 1]보다 작으므로 최솟

값은 [eqn: log _{{1} over {2}} `4=-2]이다.

14 [eqn: 3^{log`x} = x^{log`3}]이므로

[eqn: y = 3^{log`x} times 3^{log`x} -6(3^{log`x} +3^{log`x} )]

[eqn: = (3^{log`x} )^2 - 12 times 3^{log`x}]

[eqn: = (3^{log`x} -6)^2 -36]

[eqn: 3^{log`x} = t]라 하면

[eqn: x>1]에서 [eqn: t>1]

이때 주어진 함수는

[eqn: y=(t-6)^2 -36]

따라서 함수 [eqn: y]는 [eqn: t=6]에서 최솟값 [eqn: -36]을 갖는다.

15 점 [eqn: rmA]는 곡선 [eqn: y=log_2`x] 위의 점이므로

[eqn: log_2`x = 3]에서 [eqn: x=2^3 =8]이므로

점 [eqn: rmA]의 좌표는 [eqn: (8,~3)]

조건에서 [eqn: rmbarCD =3]이므로 점 [eqn: rmC(5,~0)]

따라서 점 [eqn: rmE]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 5]이므로

[eqn: y]좌표는 [eqn: y=log_2`5]

[eqn: THEREFORE] [eqn: rmE(5 ,~ log_2`5)]

[eqn: THEREFORE] [eqn: rmbarCE = log_2`5]

16  [eqn: 3-2sqrt2 = 1over{3+2sqrt2}]이므로

[eqn: (3+ 2sqrt2 )^x -4 (3 -2sqrt2 )^x =-3]에서

[eqn: (3+ 2sqrt2 )^x - 4 OVER { (3 +2sqrt2 )^x}+3 =0]

[eqn: (3+2sqrt2 )^x =t`(t>0)]로 놓으면 주어진 방정식은

[eqn: t- 4over t +3 =0]

[eqn: t^2 +3t-4=0]

[eqn: (t-1)(t+4)=0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: t=1`(t>0)]

따라서 [eqn: t=(3+2sqrt2 )^x =1]이므로 [eqn: x=0]

17  [eqn: log sub 2` (log sub 3` x)+3log sub 8` (log sub 7` 9) = 2]

[eqn: log sub 2` (log sub 3` x)+3 times {log sub 2` (log sub 7` 9)} over {log sub 2` 8} =2]

[eqn: log sub 2` (log sub 3` x)+log sub 2` (log sub 7` 9) =2]

[eqn: log sub 2` (log sub 3` x times 2 log sub 7` 3)=2]

[eqn: log sub 3` x times 2log sub 7` 3=4]

[eqn: log sub 3` x=2log sub 3`7 =log sub 3` 49]

[eqn: THEREFORE] [eqn: x=49]

I. 지수함수와 로그함수

18  [eqn: log_2 ` 4x times log_2 `x + log_2 ` 3 times log_ 2 ` x - 6 = 0]

[eqn: ( log _2 ` 4 + log_2 ` x) log_ 2 ` x + log _2 ` 3 times log_2 ` x - 6 = 0]

[eqn: (log_2 `x )^2 + ( log_2 ` 4 + log_2` 3) log_2 ` x - 6 = 0]

[eqn: (log_2 ` x ) ^2 + log _ 2 ` 12 times log_ 2 ` x - 6 = 0]

[eqn: log_2`x = t]로 놓으면 주어진 방정식은

[eqn: t^2 + t log_2`12 - 6=0]	[eqn: cdots cdots]㉠

이때 주어진 방정식의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하면 방정식 ㉠의 두 근은 [eqn: log_ 2 ` alpha], [eqn: log_ 2 ` beta]이므로

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: log_2`alpha + log_2 `beta = log_2 ` alpha beta = - log _ 2 ` 12]

[eqn: log_ 2 `alpha beta = log_2 ` 1over 12]

[eqn: THEREFORE] [eqn: alpha beta = 1over 12]

19  주어진 이차방정식의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D over 4 = (1+log` a) sup 2 -1+(log` a) sup 2 =0]

[eqn: 2(log`a) ^{2} +2log`a=0]

[eqn: 2log` a(log` a+1)=0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: log` a=0] 또는 [eqn: log` a=-1]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a=1] 또는 [eqn: a= 1 over 10]

따라서 모든 양수 [eqn: a]의 값의 곱은 [eqn: 1over10]

20  [eqn: log_x `sqrta GEQ log_a `x^2]에서

[eqn: {1} over {2} `log _{x} `a GEQ 2log _{a} `x]

[eqn: x>1]이므로 [eqn: log_a `x>0]이고 [eqn: log_a` x = t]로 놓으면

[eqn: 1over2t GEQ 2t]

[eqn: (2t)^2 - 1 LEQ 0] [eqn: (BECAUSE] [eqn: t>0)]

[eqn: (2t + 1)(2t-1) LEQ 0]

이때 [eqn: 2t + 1>0]이므로 [eqn: t LEQ 1over2]

따라서 [eqn: 0<t LEQ 1over2]이므로

[eqn: 0<log _{a} `x LEQ {1} over {2}]

[eqn: log_a`1 < log_a`x LEQ log_a` sqrta]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 1<x LEQ sqrta]

[eqn: THEREFORE] [eqn: p= 1], [eqn: q = sqrta]

따라서 [eqn: log _{a} `p+log _{a} `q][eqn: =][eqn: log_a `1 + log_a `sqrta = 1over2]