난이도별 테스트(중)

정답과 해설

Ⅱ. 삼각함수

1 제1사분면 또는 제3사분면       2 ③

3 ②    4 [eqn: sin`theta] 5 [eqn: a= {1} over {2}], [eqn: sin ^{3} theta +cos ^{3} theta = {sqrt {2}} over {2}]

6 ④     7 ②    8 [eqn: {89} over {2}]   9 [eqn: a=3], [eqn: b=2]

10 ②   11 [eqn: {5} over {2}]   12 ②   13 [eqn: 9]

14 [eqn: {pi } over {6} <x< {5} over {6} pi]  15 [eqn: 2 sqrt {10}]       16 ④

17 [eqn: {3 sqrt {10}} over {10}]       18 [eqn: {sqrt {3}} over {2}]       19 [eqn: {3+ sqrt {3}} over {4}]

20 [eqn: 4]

1  [eqn: theta]가 제[eqn: 1]사분면의 각이므로

[eqn: 360 DEG TIMES n <theta < 360 DEG times n + 90 DEG `]([eqn: n]은 정수)

[eqn: therefore] [eqn: 180 DEG times n < theta over2 < 180DEG times n + 45 DEG]

(ⅰ) [eqn: n=0]일 때,

[eqn: 0 DEG < {theta } over {2} <45 DEG]

따라서 [eqn: {theta } over {2}]는 제[eqn: 1]사분면의 각이다.

(ⅱ) [eqn: n=1]일 때,

[eqn: 180 DEG < {theta } over {2} <225 DEG]

따라서 [eqn: {theta } over {2}]는 제[eqn: 3]사분면의 각이다.

[eqn: n=2,~3,~4,~ CDOTS]에 대해서도 동경의 위치가 제[eqn: 1]사분면, 제[eqn: 3]사분면으로 반복되므로 각 [eqn: {theta } over {2}]를 나타내는 동경이 존재할 수 있는 사분면은 제[eqn: 1]사분면, 제[eqn: 3]사분면이다.

[다른 풀이]

[eqn: theta]가 제[eqn: 1]사분면의 각이므로

[eqn: 360 DEG TIMES n <theta < 360 DEG times n + 90 DEG `]([eqn: n]은 정수)

[eqn: therefore] [eqn: 180 DEG times n < theta over2 < 180DEG times n + 45 DEG]

(ⅰ) [eqn: n=2k`]([eqn: k]는 정수)일 때

[eqn: 180 DEG TIMES 2k< {theta } over {2} <180 DEG TIMES 2k+45 DEG]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 360 DEG TIMES k< {theta } over {2} <360 DEG TIMES k+45 DEG]

따라서 [eqn: theta]는 제[eqn: 1]사분면의 각이다.

(ⅱ) [eqn: n=2k+1`]([eqn: k]는 정수)일 때

[eqn: 180 DEG TIMES (2k+1) < {theta } over {2} <180 DEG TIMES (2k+1) +45 DEG]

[eqn: 360 DEG TIMES k+180 DEG < {theta } over {2} <360 DEG TIMES k+225 DEG]

따라서 [eqn: theta]는 제[eqn: 3]사분면의 각이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: theta]는 제[eqn: 1]사분면 또는 제[eqn: 3]사분면의 각이다.

2  각 [eqn: theta]를 나타내는 동경과 각 [eqn: 7 theta]를 나타내는 동경이 일치하므로

[eqn: 7 theta - theta =2n pi `]([eqn: n]은 정수)

[eqn: 6 theta = 2n pi]

[eqn: therefore] [eqn: theta = {2n pi} over6]	[eqn: cdots cdots]㉠

[eqn: 0< theta < pi]에서 [eqn: 0< {2n pi } over {6} < pi]이므로

[eqn: 0<n<3]

[eqn: therefore] [eqn: n =1] 또는 [eqn: n =2]

이를 ㉠에 대입하면

[eqn: theta = {pi } over {3}] 또는 [eqn: theta ={2} over {3} pi]

Ⅱ. 삼각함수

3  반지름의 길이를 [eqn: r]라 하면 호의 길이는 [eqn: 10-2r]이므로 부채꼴의 넓이 [eqn: S]는

[eqn: S = {1} over {2} r(10-2r)][eqn: =-r ^{2} +5r]

[eqn: =- LEFT ( r ^{2} -5r+ {25} over {4} - {25} over {4} RIGHT )]

[eqn: =- LEFT ( r- {5} over {2} RIGHT ) ^{2} + {25} over {4}]

[eqn: therefore] [eqn: r= {5} over {2} rm `(cm)]

4  [eqn: theta]가 제[eqn: 2]사분면의 각이므로

[eqn: tan theta <0], [eqn: cos theta <0], [eqn: sin theta >0], [eqn: tan theta +cos theta <0]

[eqn: therefore] [eqn: sqrt {tan ^{2} theta } + sqrt {cos ^{2} theta } + LEFT | sin theta RIGHT | - root {4} of {(tan theta +cos theta ) ^{4}}]

[eqn: =-tan theta -cos theta +sin theta +tan theta +cos theta]

[eqn: = sin theta`]

5  이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: sin theta +cos theta = sqrt {2}]	[eqn: cdots cdots]㉠

[eqn: sin theta cos theta =a]	[eqn: cdots cdots]㉡

㉠의 양변을 제곱하면

[eqn: (sin theta + cos theta )^2 = 1+ 2sin theta cos theta]

[eqn: ( sqrt {2} ) ^{2} =1+2a] ([eqn: BECAUSE] ㉡)

[eqn: THEREFORE] [eqn: a= {1} over {2}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: sin ^{3} theta +cos ^{3} theta]

[eqn: = (sin theta + cos theta )(sin^2 theta -sin theta cos theta +cos^2 theta)]

[eqn: = sqrt {2} (1-a)]

[eqn: = sqrt {2} TIMES {1} over {2} = {sqrt {2}} over {2}]

6  함수 [eqn: y = cos x]의 그래프는 [eqn: x=n pi `]([eqn: n]은 정수)에 대하여 대칭이므로

[eqn: {a+4b} over {2} = pi]	[eqn: cdots cdots]㉠

[eqn: {4b+6b} over {2} =2 pi]	[eqn: cdots cdots]㉡

㉡에서 [eqn: 10b = 4pi]   [eqn: therefore] [eqn: b = 2over 5 pi]

이를 ㉠에 대입하면

[eqn: a+4b = 2pi]   [eqn: therefore] [eqn: a = 2over 5 pi]

따라서 [eqn: a+b= {4} over {5} pi]

7  ① 최댓값은 [eqn: 2+ 4 = 6]이다.

② 최솟값은 [eqn: -2 + 4 = 2]이다.

③ 주기는 [eqn: {2} over {3} pi]이다.

④, ⑤ 그래프는 [eqn: y = 2 sin 3x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: pi over 3], [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 4]만큼 평행이동한 것과 같다. 따라서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 함수 [eqn: y=2sin3x]의 그래프 또는 함수 [eqn: y = 2 cos 3x]의 그래프와 겹쳐진다.

8  [eqn: cos89 DEG =cos(90 DEG -1 DEG )=sin1 DEG],

[eqn: cos 88DEG =cos (90DEG -2DEG) = sin 2DEG],

[eqn: cos 87DEG =cos (90DEG -3DEG) = sin 3DEG],

[eqn: vdots]

[eqn: cos46 DEG =cos(90 DEG -44 DEG )=sin44 DEG]

난이도별 테스트(중)

[eqn: therefore] [eqn: cos ^{2} 1 DEG +cos ^{2} 2 DEG + CDOTS +cos ^{2} 90 DEG]

[eqn: = ( cos ^2 1 DEG + cos ^2 89 DEG ) +(cos^2 2DEG + cos ^2 88DEG)]

[eqn: + CDOTS +(cos ^{2} 44 DEG +cos ^{2} 46 DEG )+cos ^{2} 45 DEG +cos ^{2} 90 DEG]

[eqn: =(cos ^{2} 1 DEG +sin ^{2} 1 DEG )+(cos ^{2} 2+sin ^{2} 2 DEG )]

[eqn: + CDOTS +(cos ^{2} 44 DEG +sin ^{2} 44 DEG )+cos ^{2} 45 DEG +cos ^{2} 90 DEG]

[eqn: =1 TIMES 44+cos ^{2} 45 DEG +cos ^{2} 90 DEG]

[eqn: =44+ {1} over {2} +0= {89} over {2}]

9  [eqn: f (x) = a sin x over 2 +b]에서 [eqn: f LEFT ( {pi } over {3} RIGHT ) = {7} over {2}]이므로

[eqn: a sin {pi } over {6} +b= {7} over {2}]

[eqn: 1 over2 a + b = 7 over 2]

[eqn: therefore] [eqn: a+2b = 7]	[eqn: cdots cdots]㉠

또한 조건에서 [eqn: a>0]이므로

최댓값은 [eqn: a+b = 5]	[eqn: cdots cdots]㉡

㉠, ㉡을 연립하면

[eqn: a = 3], [eqn: b = 2]

10 [eqn: cosx = t]라 하면 [eqn: -1 LEQ t LEQ 1]에서

[eqn: y=2- left |cosx-3 right |]    ∴ [eqn: y=2- left |t-3 right |]

따라서 [eqn: t = -1]일 때 최솟값은 [eqn: -2],

[eqn: t = 1]일 때 최댓값은 [eqn: 0]이므로

[eqn: M+m = 0+(-2) = -2]

11  [eqn: y=sin ^{2} theta +2a`cos theta -1]

[eqn: =1-cos ^{2} theta +2a`cos theta -1]

[eqn: =-cos ^{2} theta +2a`cos theta]

[eqn: cos theta = t]로 놓으면 [eqn: 0 LEQ theta < 2 pi]에서 [eqn: -1 {leq} t {leq} 1]이고 [eqn: y = -t^2 + 2at = -(t-a)^2 + a^2]

[eqn: a>2]이므로 [eqn: t = 1]일 때, 최댓값 [eqn: 4]를 가지므로

[eqn: -1+2a=4]

[eqn: therefore] [eqn: a= {5} over {2}]

12  [eqn: sin^2 x + cos^2 = 1]이므로

[eqn: 2 cos^2 x - 5 sin x +1][eqn: =2(1-sin ^{2} x)-5sinx+1]

[eqn: =-2sin ^{2} x-5sinx+3]

[eqn: =-(2sinx-1)(sinx+3)=0]

[eqn: sinx+3>0]이므로

[eqn: 2sinx-1=0]

[eqn: sin x = 1over 2]에서 [eqn: x= {pi } over {6}] 또는 [eqn: x={5} over {6} pi]

[eqn: THEREFORE] [eqn: alpha = {5} over {6} pi], [eqn: beta = {pi } over {6}] ([eqn: BECAUSE ~ alpha> beta])

[eqn: THEREFORE] [eqn: cos alpha +tan beta =cos {5} over {6} pi +tan {pi } over {6}]

[eqn: =- {sqrt {3}} over {2} + {sqrt {3}} over {3}]

[eqn: =- {sqrt {3}} over {6}]

13  방정식 [eqn: cos {pi } over {2} x = {1} over {9} x]의 실근의 개수는 함수 [eqn: y = cos {pi } over {2} x]의 그래프와 직선 [eqn: y = {1} over {9} x]의 교점의 개수와 같다.

함수 [eqn: y=cos {pi } over {2} x]의 주기는 [eqn: {2 pi } over {{pi } over {2}} =4]이므로 함수

Ⅱ. 삼각함수

[eqn: y=cos {pi } over {2} x]의 그래프와 직선 [eqn: y= {1} over {9} x]는 다음 그림과 같다.

따라서 함수 [eqn: y=cos {pi } over {2} x]의 그래프와 직선 [eqn: y= {1} over {9} x]의 교점이 [eqn: 9]개이므로 방정식 [eqn: cos {pi } over {2} x = {1} over {9} x]의 실근은 [eqn: 9]개다.

14  [eqn: 2 cos ^{2} x-3 sin x<0]에서

[eqn: 2(1-sin ^{2} x )-3 sin x <0], [eqn: 2 sin ^{2} x+3 sin x-2 >0]

[eqn: (2sinx-1)(sinx+2)>0]

이때 [eqn: sin x+2>0]이므로 [eqn: 2 sin x-1>0]

[eqn: sin x> {1} over {2}]    [eqn: THEREFORE] [eqn: {pi } over {6} <x< {5} over {6} pi]

15  [eqn: rm {bar{BC}} =2 {bar{BD}}]이고, [eqn: {bar{rmBC}} = {bar{rmAB}} =8]이므로

[eqn: rm {bar{BD}} =8 TIMES {1} over {2} =4]

[eqn: TRIANGLE rmABD]는 [eqn: ANGLE rmB=90 DEG]인 직각삼각형이므로

[eqn: rm {bar{AD}} ^{2} = {bar{rmAB}} ^{2} + {bar{rmBD}} ^{2} =8 ^{2} +4 ^{2} =80]

∴ [eqn: rm {bar{AD}} =4 sqrt {5}] (∵ [eqn: rm {bar{AD}} >0])

이때 [eqn: {bar{rm AB it}} = {bar{rmBC it}} =8]이므로 [eqn: TRIANGLE rm ABC]는 [eqn: ANGLE rmB=90 DEG]인 직각이등변삼각형이다.

∴ [eqn: rm ANGLE A= ANGLE C][eqn: =45 DEG]

따라서 [eqn: TRIANGLE rm ADC]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: 2R= {{bar{rm AD it}}} over {sin`C} = {4 sqrt {5}} over {sin`45 DEG }]

∴ [eqn: R=2 sqrt {10}]

16  [eqn: sin`A`:`sin`B`:`sin`C=a`:`b`:`c]이므로

[eqn: a:b:c=3:4:5]

이때 [eqn: a=3k], [eqn: b=4k], [eqn: c=5k] ([eqn: k!=0])라 하면

∴ [eqn: a ^{2} +b ^{2} =c ^{2}]

따라서 [eqn: TRIANGLE rm ABC]는 [eqn: ANGLE rmC=90 DEG]인 직각삼각형이다.

17  주어진 조건을 그림으로 나타내면 다음과 같다.

이때 [eqn: TRIANGLE rm ABC]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: LEFT ( sqrt {5} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) ^{2} +a ^{2} -2 sqrt {2} a`cos`45 DEG][eqn: 5=2+a ^{2} -2 sqrt {2} a TIMES {1} over {sqrt {2}}]

[eqn: a ^{2} -2a-3=0], [eqn: (a+1)(a-3)=0]

∴ [eqn: a=3] (∵ [eqn: a>0])

따라서 [eqn: TRIANGLE rm ABC]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: {3} over {sinA} = {sqrt {5}} over {sin45 DEG }]

∴ [eqn: sin`A= {3} over {sqrt {5}} TIMES 2 sqrt {2} = {3 sqrt {10}} over {10}]

18  [eqn: (b+c) : (c+a) : (a+b) =4:5:6]이므로

양수 [eqn: k]에 대하여

[eqn: b+c=4k]	[eqn: cdots cdots]㉠

[eqn: c+a=5k]	[eqn: cdots cdots]㉡

[eqn: a+b=6k]	[eqn: cdots cdots]㉢

㉠[eqn: +]㉡[eqn: +]㉢을 하면 [eqn: 2(a+b+c)=15k]

∴ [eqn: a+b+c= {15} over {2} k]	[eqn: cdots cdots]㉣

난이도별 테스트(중)

㉠을 ㉣에 대입하여 풀면 [eqn: a= {7} over {2} k]

㉡을 ㉣에 대입하여 풀면 [eqn: b= {5} over {2} k]

㉢을 ㉣에 대입하여 풀면 [eqn: c= {3} over {2} k]

따라서 코사인법칙에 의하여

[eqn: cos`A= {LEFT ( {5} over {2} k RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {3} over {2} k RIGHT ) ^{2} - LEFT ( {7} over {2} k RIGHT ) ^{2}} over {2 TIMES {5} over {2} k TIMES {3} over {2} k}][eqn: =- {1} over {2}]

[eqn: sin ^{2} A=1-cos ^{2} A=1- LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ^{2} = {3} over {4}]

이때 [eqn: 0 DEG <A<180 DEG]에서 [eqn: sin`A>0]이므로

[eqn: sin`A= {sqrt {3}} over {2}]

19 원의 중심을 [eqn: rmO]라 하면

[eqn: rm {arch{`AB`}} `:` rm {arch{`BC`}} `: rm {arch{`CA`}} `][eqn: rm = ANGLE AOB: ANGLE BOC: ANGLE COA]

[eqn: =3:4:5]

이므로

[eqn: ANGLE rmAOB=360 DEG TIMES {3} over {12} =90 DEG]

[eqn: ANGLE rm BOC=360 DEG TIMES {4} over {12} =120 DEG]

[eqn: ANGLE rm COA=360 DEG TIMES {5} over {12} =150 DEG]

∴ [eqn: rm TRIANGLE ABC]

[eqn: = TRIANGLE rmAOB+ TRIANGLE BOC+ TRIANGLE COA]

[eqn: = {1} over {2} TIMES 1 TIMES 1 TIMES sin`90 DEG + {1} over {2} TIMES 1 TIMES 1 TIMES sin`120 DEG]

[eqn: + {1} over {2} TIMES 1 TIMES 1 TIMES sin`150 DEG]

[eqn: = {1} over {2} + {sqrt {3}} over {4} + {1} over {4}][eqn: = {3+ sqrt {3}} over {4}]

20  [eqn: {bar{rm AC}} =itx]라 하면 등변사다리꼴의 두 대각선의 길이가 같으므로 [eqn: {bar{rm BD it}} =x]

두 대각선이 이루는 각의 크기가 [eqn: 120 DEG]이고, 등변사다리꼴 [eqn: rmABCD]의 넓이가 [eqn: 4 sqrt {3}]이므로

[eqn: {1} over {2} TIMES x TIMES x TIMES sin`120 DEG =4 sqrt {3}]

[eqn: {1} over {2} x ^{2} TIMES {sqrt {3}} over {2} =4 sqrt {3}], [eqn: x ^{2} =16]

∴ [eqn: x=4] (∵ [eqn: x>0])

따라서 등변사다리꼴 [eqn: rmABCD]의 한 대각선의 길이는 [eqn: 4]이다.