난이도별 테스트(중)

정답과 해설

Ⅲ. 수열

1 ③    2 [eqn: a= {24} over {5}], [eqn: b= {32} over {5}]        3 [eqn: 19]

4 제[eqn: 25]항        5 ④    6 ③     7 [eqn: 4]

8 [eqn: a= {3} over {2}], [eqn: b=-3] 9 ③    10 ②

11 [eqn: 96]만 원      12 [eqn: 204] 13 [eqn: 4- {1+3 ^{30}} over {2 ^{29}}]

14 ⑤   15 [eqn: {n} over {4(n+1)}]     16 ③   17 ④

18 ④   19 ④    20 ④

1  절댓값이 같고 부호가 다르므로

[eqn: a _{ 4 } = - a _{ 10 }], 즉 [eqn: a _{ 4 } + a _{ 10 } = 0]

이때 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a _{ 4 } + a _{ 10 } = ( a + 3 d ) + ( a + 9 d ) = 0]

[eqn: therefore] [eqn: a + 6 d = 0]	[eqn: cdots cdots]㉠

[eqn: a _{ 6 } = a + 5 d = - 8]	[eqn: cdots cdots]㉡

㉠, ㉡을 연립하면 [eqn: a = - 48], [eqn: d = 8]

따라서 첫째항이 [eqn: - 48], 공차가 [eqn: 8]인 등차수열의 일반항 [eqn: a _{ n }]은

[eqn: a _{ n } = - 48 + ( n - 1 ) times 8 = 8 n - 56]

[eqn: therefore] [eqn: a _{ 50 } = 8 times 50 - 56 = 344]

2  세 변의 길이가 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: 8]인 직각삼각형에서 가장 긴 변의 길이가 [eqn: 8]이므로 피타고라스 정리에 의하여

[eqn: a ^{ 2 } + b ^{ 2 } = 64]	[eqn: cdots cdots]㉠

또, [eqn: b]는 [eqn: a]와 [eqn: 8]의 등차중항이므로

[eqn: 2 b = a + 8]	[eqn: cdots cdots]㉡

㉡에서 [eqn: a = 2 b - 8]을 ㉠에 대입하면

[eqn: ( 2 b - 8 ) ^{ 2 } + b ^{ 2 } = 64]

[eqn: 5 b ^{ 2 } - 32 b = 0], [eqn: b ( 5 b - 32 ) = 0]

[eqn: therefore] [eqn: b = { 32 }over{ 5 }] ([eqn: because] [eqn: b > 0])

이를 ㉡에 대입하면 [eqn: a = { 24 }over{ 5 }]

3  네 수를

[eqn: a - 3 d], [eqn: a - d], [eqn: a + d], [eqn: a + 3 d]	[eqn: cdots cdots]㉠

라 하면 네 수의 합이 [eqn: 40]이므로

[eqn: ( a - 3 d ) + ( a - d ) + ( a + d ) + ( a + 3 d ) = 40]

[eqn: therefore] [eqn: a = 10]

또 가운데 두 수의 곱은 처음 수와 마지막 수의 곱보다 [eqn: 72]가 더 크므로

[eqn: ( a - d ) ( a + d ) = ( a - 3 d ) ( a + 3 d ) + 72]

[eqn: therefore] [eqn: d = +- 3]

[eqn: a = 10], [eqn: d = +- 3]을 ㉠에 대입하면 네 수는

[eqn: 1], [eqn: 7], [eqn: 13], [eqn: 19]

따라서 가장 큰 수는 [eqn: 19]이다.

4  첫째항이 [eqn: 70], 공차가 [eqn: - 4]인 등차수열의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{ n }]은

[eqn: S _{ n } = { n lbrace 2 times 70 + ( n - 1 ) times LEFT ( - 4 ) rbrace right . }over{ 2 } = - 3 n ^{ 2 } + 72 n]

이때 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이 처음으로 음수가 된다고 하면

[eqn: S _{ n } = - 3 n ^{ 2 } + 72 n < 0]

[eqn: n ( n - 24 ) > 0]

[eqn: therefore] [eqn: n < 0] 또는 [eqn: n > 24]

그런데 [eqn: n]은 자연수이므로 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 25]이다.

따라서 첫째항부터 제[eqn: 25]항까지의 합이 처음으로 음수가 된다.

Ⅲ. 수열

5  등비수열 [eqn: lbrace a _{ n } rbrace]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: a _{ 3 } + a _{ 4 } = ar ^{ 2 } + ar ^{ 3 } = 24]	[eqn: cdots cdots]㉠

조건에서 [eqn: a _{ 3 } : ` a _{ 4 } = 2 : 1]

[eqn: a _{ 3 } = 2 a _{ 4 }], [eqn: ar ^{ 2 } = 2 ar ^{ 3 }]

[eqn: therefore] [eqn: r = { 1 }over{ 2 }]

이것을 ㉠에 대입하면

[eqn: { 1 }over{ 4 } a + { 1 }over{ 8 } a = 24]

[eqn: therefore] [eqn: a = 64]

따라서 첫째항이 [eqn: 64], 공비가 [eqn: { 1 }over{ 2 }]인 등비수열의 일반항은

[eqn: a _{ 1 } = 64], [eqn: a _{n} =64 TIMES LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} `(n GEQ 2)]

[eqn: therefore] [eqn: a _{ 9 } = 64 times LEFT ( { 1 }over{ 2 } right ) ^{ 8 } = { 1 }over{ 4 }]

6  등비수열 [eqn: lbrace a _{ n } rbrace]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: a _{ 2 } = ar = 12]	[eqn: cdots cdots]㉠

[eqn: a _{ 4 } = ar ^{ 3 } = 108]	[eqn: cdots cdots]㉡

㉡[eqn: ÷]㉠을 하면

[eqn: { ar ^{ 3 } }over{ ar } = { 108 }over{ 12 }], [eqn: ` r ^{ 2 } = 9]    [eqn: therefore] [eqn: r = 3] [eqn: ( because] [eqn: r > 0 )]

이를 ㉠에 대입하면

[eqn: 3 a = 12]   [eqn: therefore] [eqn: a = 4]

주어진 등비수열 [eqn: lbrace a _{ n } rbrace]의 일반항은

[eqn: a _{ 1 } = 4], [eqn: a _{n} =4 TIMES 3 ^{n-1} `(n GEQ 2)]

제[eqn: n]항에서 처음으로 [eqn: 2000]보다 커진다고 하면

[eqn: 4 times 3 ^{ n - 1 } > 2000], [eqn: 3 ^{ n - 1 } > 500]

이때 [eqn: 3 ^{ 5 } = 243], [eqn: 3 ^{ 6 } = 729]이므로

[eqn: n - 1 geq 6]    [eqn: therefore] [eqn: n geq 7]

따라서 구하는 항은 제[eqn: 7]항이다.

7  나머지정리에 의하여 다항식 [eqn: f ( x ) = x ^{ 2 } + 3 x + a]를 [eqn: x - 1], [eqn: x], [eqn: x + 1]로 나누었을 때의 나머지는 각각

[eqn: f ( 1 ) = a + 4], [eqn: f ( 0 ) = a], [eqn: f ( - 1 ) = a - 2]

이때 [eqn: f ( 1 )], [eqn: f ( 0 )], [eqn: f ( - 1 )]이 이 순서대로 등비수열을 이루므로

[eqn: lbrace f ( 0 ) rbrace ^{ 2 } = f ( 1 ) times f ( - 1 )]에서

[eqn: a ^{ 2 } = ( a + 4 ) ( a - 2 )]

[eqn: a ^{ 2 } = a ^{ 2 } + 2 a - 8]

[eqn: therefore] [eqn: a = 4]

따라서 [eqn: f ( x ) = x ^{ 2 } + 3 x + 4]를 [eqn: x + 3]으로 나누었을 때의 나머지는

[eqn: f ( - 3 ) = ( - 3 ) ^{ 2 } + 3 times ( - 3 ) + 4 = 4]

8  [eqn: a]는 [eqn: 6]과 [eqn: b]의 등차중항이므로

[eqn: 2 a = 6 + b]

[eqn: therefore] [eqn: b = 2 a - 6]	[eqn: cdots cdots]㉠

[eqn: b]는 [eqn: a]와 [eqn: 6]의 등비중항이므로

[eqn: b ^{ 2 } = 6 a]	[eqn: cdots cdots]㉡

㉠을 ㉡에 대입하면

[eqn: ( 2 a - 6 ) ^{ 2 } = 6 a]

[eqn: 2 a ^{ 2 } - 15 a + 18 = 0]

[eqn: ( 2 a - 3 ) ( a - 6 ) = 0]

[eqn: therefore] [eqn: a = { 3 }over{ 2 }] 또는 [eqn: a = 6]

이를 ㉠에 각각 대입하면

[eqn: a = { 3 }over{ 2 }], [eqn: b = - 3] 또는 [eqn: a = 6], [eqn: b = 6]

이때 [eqn: 6], [eqn: a], [eqn: b]는 서로 다른 수이므로

[eqn: a= {3} over {2}], [eqn: b = - 3]

난이도별 테스트(중)

9 정삼각형 [eqn: { rm ABC }]의 높이를 [eqn: h]라 하면 한 변의 길이가 [eqn: 2]이므로 [eqn: h= sqrt {2 ^{2} -1 ^{2}} = sqrt {3}]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: TRIANGLE rm ABC]의 넓이[eqn: = {1} over {2} TIMES 2 TIMES sqrt {3} = sqrt {3} it]

[eqn: n]번째 시행 후 남아 있는 도형의 넓이를 [eqn: a _{ n }]이라 하면

[eqn: a _{ 1 } = triangle { rm ABC - triangle }{ rm A _{ 1 } B _{ 1 } C _{ 1 } = sqrt { 3 } - { sqrt { 3 } }over{ 4 } = { 3 }over{ 4 } sqrt { 3 } }]

[eqn: a _{ 2 } = a _{ 1 } times { 3 }over{ 4 } = { 3 }over{ 4 } sqrt { 3 } times { 3 }over{ 4 } = LEFT ( { 3 }over{ 4 } right ) ^{ 2 } sqrt { 3 }]

[eqn: a _{ 3 } = a _{ 2 } times { 3 }over{ 4 } = LEFT ( { 3 }over{ 4 } right ) ^{ 2 } sqrt { 3 } times { 3 }over{ 4 } = LEFT ( { 3 }over{ 4 } right ) ^{ 3 } sqrt { 3 }]

[eqn: vdots]

[eqn: therefore] [eqn: a _{ n } = LEFT ( { 3 }over{ 4 } right ) ^{ n } sqrt { 3 }]

따라서 [eqn: 15]회 반복 시행한 후에 남아 있는 종이의 넓이는

[eqn: a _{ 15 } = LEFT ( { 3 }over{ 4 } right ) ^{ 15 } sqrt { 3 }]

10 첫째항이 [eqn: a], 공비가 [eqn: r]인 등비수열의 첫째항부터 제[eqn: 10]항까지의 합 [eqn: S _{10}]은

[eqn: S _{ 10 } = { a ( 1 - r ^{ 10 } ) }over{ 1 - r } = 3]	[eqn: cdots cdots]㉠

또 제[eqn: 11]항부터 제[eqn: 20]항까지의 합이 [eqn: 18]이므로

[eqn: S _{ 20 } - S _{ 10 } = 18]

즉 [eqn: S _{ 20 } = 18 + S _{ 10 } = 18 + 3 = 21]이므로

[eqn: S _{ 20 } = { a ( 1 - r ^{ 20 } ) }over{ 1 - r }][eqn: = { a ( 1 - r ^{ 10 } ) ( 1 + r ^{ 10 } ) }over{ 1 - r } = 21]	[eqn: cdots cdots]㉡

㉠을 ㉡에 대입하면

[eqn: 3 ( 1 + r ^{ 10 } ) = 21]   [eqn: therefore] [eqn: r ^{ 10 } = 6]

[eqn: therefore] [eqn: S _{ 30 } = { a ( 1 - r ^{ 30 } ) }over{ 1 - r }][eqn: = { a ( 1 - r ^{ 10 } ) ( 1 + r ^{ 10 } + r ^{ 20 } ) }over{ 1 - r }]

[eqn: = { a ( 1 - r ^{ 10 } ) }over{ 1 - r } ( 1 + r ^{ 10 } + r ^{ 20 } )]

[eqn: = 3 ( 1 + 6 + 6 ^{ 2 } ) = 129]

따라서 제[eqn: 21]항부터 제[eqn: 30]항까지의 합 [eqn: S _{ 30 } - S _{ 20 }]은

[eqn: S _{ 30 } - S _{ 20 } = 129 - 21 = 108]

11 원리합계를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S=8+8(1+0.05)+8(1+0.05) ^{2} +]

[eqn: CDOTS +8(1+0.05) ^{9}]

[eqn: = {8□(1+0.05) ^{10} -1□} over {(1+0.05)-1}]

[eqn: =96](만 원)

따라서 [eqn: 10]년 말의 적립금의 원리합계는 [eqn: 96]만 원이다.

12 [eqn: sum _{ k = 1 } ^{ 3 } a _{ k } = 2], [eqn: sum _{ k = 4 } ^{ 12 } a _{ k } = 20], [eqn: sum _{ k = 13 } ^{ 39 } a _{ k } = 182]이므로

[eqn: sum _{ k = 1 } ^{ 39 } a _{ k } = sum _{ k = 1 } ^{ 3 } a _{ k } + sum _{ k = 4 } ^{ 12 } a _{ k } + sum _{ k = 13 } ^{ 39 } a _{ k }]

[eqn: = 2 + 20 + 182 = 204]

13 [eqn: sum _{ k = 1 } ^{ 100 } { 1 - 3 ^{ k } }over{ 2 ^{ k } } + sum _{ k = 30 } ^{ 100 } { 3 ^{ k } - 1 }over{ 2 ^{ k } }]

[eqn: = sum _{ k = 1 } ^{ 100 } { 1 - 3 ^{ k } }over{ 2 ^{ k } } - sum _{ k = 30 } ^{ 100 } { 1 - 3 ^{ k } }over{ 2 ^{ k } }]

[eqn: = sum _{ k = 1 } ^{ 29 } { 1 - 3 ^{ k } }over{ 2 ^{ k } } = sum _{ k = 1 } ^{ 29 } LEFT ( { 1 }over{ 2 } right ) ^{ k } - sum _{ k = 1 } ^{ 29 } LEFT ( { 3 }over{ 2 } right ) ^{ k }]

[eqn: = { { 1 }over{ 2 } LEFT lbrace 1 - LEFT ( { 1 }over{ 2 } right ) ^{ 29 } right rbrace }over{ 1 - { 1 }over{ 2 } } - { { 3 }over{ 2 } LEFT lbrace LEFT ( { 3 }over{ 2 } right ) ^{ 29 } - 1 right rbrace }over{ { 3 }over{ 2 } - 1 }]

[eqn: = 4 - { 1 + 3 ^{ 30 } }over{ 2 ^{ 29 } }]

Ⅲ. 수열

14  [eqn: sum _{ k = 1 } ^{ 10 } LEFT ( sum _{ j = 1 } ^{ 5 } jk right ) - sum _{ k = 1 } ^{ 5 } LEFT lbrace sum _{ j = 1 } ^{ 10 } ( j + k ) right rbrace]

[eqn: = sum _{ k = 1 } ^{ 10 } LEFT ( k sum _{ j = 1 } ^{ 5 } j right ) - sum _{ k = 1 } ^{ 5 } LEFT ( sum _{ j = 1 } ^{ 10 } j + sum _{ j = 1 } ^{ 10 } k right )]

[eqn: = sum _{ k = 1 } ^{ 10 } LEFT ( k times { 5 times 6 }over{ 2 } right ) - sum _{ k = 1 } ^{ 5 } LEFT ( { 10 times 11 }over{ 2 } + 10 k right )]

[eqn: = 15 sum _{ k = 1 } ^{ 10 } k - sum _{ k = 1 } ^{ 5 } ( 10 k + 55 )]

[eqn: = 15 times { 10 times 11 }over{ 2 } - LEFT ( 10 times { 5 times 6 }over{ 2 } + 55 times 5 right ) = 400]

15 주어진 수열의 일반항을 [eqn: a _{ n }]이라 하면

[eqn: a _{ n } = { 1 }over{ ( 2 n + 1 ) ^{ 2 } - 1 } = { 1 }over{ 4 n ^{ 2 } + 4 n }]

[eqn: = { 1 }over{ 4 } times { 1 }over{ n ( n + 1 ) } = { 1 }over{ 4 } LEFT ( { 1 }over{ n } - { 1 }over{ n + 1 } right )]

[eqn: therefore][eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k}]

[eqn: = {1} over {4} sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {1} over {k} - {1} over {k+1} RIGHT )]

[eqn: = { 1 }over{ 4 } LEFT lbrace LEFT ( 1 - { 1 }over{ 2 } right ) + LEFT ( { 1 }over{ 2 } - { 1 }over{ 3 } right ) + right .][eqn: LEFT . cdots + LEFT ( { 1 }over{ n } - { 1 }over{ n + 1 } right ) right rbrace]

[eqn: = { n }over{ 4 ( n + 1 ) }]

16 [eqn: a _{ n } = LEFT ( { 1 }over{ 2 } right ) ^{ n + 1 }]이므로 [eqn: a _{ 24 } = LEFT ( { 1 }over{ 2 } right ) ^{ 25 } = { 1 }over{ 2 ^{ 25 } }]

[eqn: therefore] [eqn: k = 25]

17 [eqn: a _{ 1 } = 1], [eqn: a _{n} =S _{n} -S _{n-1} =6n(n-1)`(n GEQ 2)]

[eqn: therefore] [eqn: sum _{ k = 1 } ^{ n } { 1 }over{ a _{ k } } = 1 + { 1 }over{ 6 } sum _{ k = 2 } ^{ n } LEFT ( { 1 }over{ k - 1 } - { 1 }over{ k } right )]

[eqn: =1+ {1} over {6} LEFT ( 1- {1} over {n} RIGHT )][eqn: =- {1} over {6n} + {7} over {6} = {15} over {13}]

따라서 자연수 [eqn: n]의 값은 [eqn: 13]이다.

18 [eqn: p ( 1 )]이 참이므로 [eqn: p ( 1 )], [eqn: p ( 3 )], [eqn: p ( 4 )], [eqn: p ( 9 )],

[eqn: p ( 12 )], [eqn: p ( 16 )], [eqn: cdots]이 참이다.

즉, [eqn: n=3 ^{k} TIMES 4 ^{l} `(k,~l=0,~1,~2,~ CDOTS )]이면 명제 [eqn: p ( n )]은 참이다.

[eqn: 144 = 3 ^{ 2 } times 4 ^{ 2 }]이므로 [eqn: p ( 144 )]는 참이다.

19 (ⅰ) [eqn: n = 2]일 때

(좌변)[eqn: = 1 + { 1 }over{ 2 } = { 3 }over{ 2 }], (우변)[eqn: = { 4 }over{ 3 }]

이므로 주어진 부등식이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k`(k GEQ 2)]일 때

주어진 부등식이 성립한다고 가정하면

[eqn: 1 + { 1 }over{ 2 } + { 1 }over{ 3 } + cdots + { 1 }over{ k } > { 2 k }over{ k + 1 }]

위의 부등식의 양변에  [eqn: {1} over {k+1}] 을 더하면

[eqn: 1+ {1} over {2} + CDOTS + {1} over {k} +{1} over {k+1} > {2k} over {k+1} + {1} over {k+1}]

위의 부등식의 우변에서

[eqn: { 2 k }over{ k + 1 } + { 1 }over{ k + 1 } - { 2 ( k + 1 ) }over{ k + 2 }]

[eqn: = { ( 2 k + 1 ) ( k + 2 ) - 2 ( k + 1 ) ^{ 2 } }over{ ( k + 1 ) ( k + 2 ) }]

[eqn: = { k }over{ ( k + 1 ) ( k + 2 ) } > 0] [eqn: ( because] [eqn: k geq 2 )]

[eqn: therefore] (우변)[eqn: =][eqn: {2k} over {k+1} +{1} over {k+1}>] [eqn: {2(k+1)} over {k+2}]

[eqn: therefore] [eqn: 1+ {1} over {2} + CDOTS + {1} over {k} +{1} over {k+1} > {2(k+1)} over {k+2}]

따라서 [eqn: n = k + 1]일 때도 주어진 부등식이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: n geq 2]인 자연수 [eqn: n]에 대하여 주어진 부등식이 성립한다.

난이도별 테스트(중)

20 (ⅰ) [eqn: n =] [eqn: 2] 일 때

(좌변)[eqn: = ( 1 + h ) ^{ 2 } = 1 + 2 h + h ^{ 2 } >][eqn: 1 + 2 h =](우변)

이므로 주어진 부등식이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k`(k GEQ 2)]일 때

주어진 부등식이 성립한다고 가정하면

[eqn: ( 1 + h ) ^{ k } > 1 + kh]

위의 식의 양변에 [eqn: 1 + h]를 곱하면 [eqn: 1 + h > 0]이므로

[eqn: ( 1 + h ) ^{ k } ( 1 + h ) > ( 1 + kh ) ( 1 + h ) > 1 + ( k + 1 ) h]

[eqn: therefore] [eqn: ( 1 + h ) ^{ k + 1 } > 1 + (] [eqn: k + 1] [eqn: )h]

따라서 [eqn: n =][eqn: k + 1]일 때도 주어진 부등식이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: 2] 이상인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 주어진 부등식이 성립한다.